Theorem hasheq0 13720

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 10671	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3093	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 13691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2874	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7		0re 10632	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2898	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fin 8730	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltrdi 2898	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 157	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 380	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 13703	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 12923	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6648	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21		0nn0 11900	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 13702	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2823	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2811	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26		en0 8555	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ≈ cen 8489  Fincfn 8492  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  +∞cpnf 10661  ℕ₀cn0 11885  ...cfz 12885  ♯chash 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687

This theorem is referenced by:  hashneq0  13721  hashnncl  13723  hash0  13724  hashelne0d  13725  hashgt0  13745  hashle00  13757  seqcoll2  13819  prprrab  13827  hashle2pr  13831  hashge2el2difr  13835  ccat0  13920  ccat1st1st  13975  wrdind  14075  wrd2ind  14076  swrdccat3blem  14092  rev0  14117  repsw0  14130  cshwidx0  14159  fz1f1o  15059  hashbc0  16331  0hashbc  16333  ram0  16348  cshws0  16427  symgvalstruct  18517  gsmsymgrfix  18548  sylow1lem1  18715  sylow1lem4  18718  sylow2blem3  18739  frgpnabllem1  18986  0ringnnzr  20035  01eq0ring  20038  vieta1lem2  24907  tgldimor  26296  uhgr0vsize0  27029  uhgr0edgfi  27030  usgr1v0e  27116  fusgrfisbase  27118  vtxd0nedgb  27278  vtxdusgr0edgnelALT  27286  usgrvd0nedg  27323  vtxdginducedm1lem4  27332  finsumvtxdg2size  27340  cyclnspth  27589  iswwlksnx  27626  umgrclwwlkge2  27776  clwwisshclwws  27800  hashecclwwlkn1  27862  umgrhashecclwwlk  27863  vdn0conngrumgrv2  27981  frgrwopreg  28108  frrusgrord0lem  28124  wlkl0  28152  frgrregord013  28180  frgrregord13  28181  frgrogt3nreg  28182  friendshipgt3  28183  wrdt2ind  30653  tocyc01  30810  lvecdim0i  31092  hasheuni  31454  signstfvn  31949  signstfveq0a  31956  signshnz  31971  spthcycl  32489  usgrgt2cycl  32490  acycgr1v  32509  umgracycusgr  32514  cusgracyclt3v  32516  elmrsubrn  32880  fsuppind  39456  lindsrng01  44877