Theorem hasheq0 14288

Description: Two ways of saying a set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11175	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3031	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 14260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7		0re 11136	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2836	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fi 8974	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltrdi 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 154	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 14272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 13466	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6829	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21		0nn0 12417	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 14271	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2754	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2742	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26		en0 8950	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 313	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 181	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ≈ cen 8876  Fincfn 8879  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029  +∞cpnf 11165  ℕ₀cn0 12402  ...cfz 13428  ♯chash 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256

This theorem is referenced by:  hashneq0  14289  hashnncl  14291  hash0  14292  hashelne0d  14293  hashgt0  14313  hashle00  14325  seqcoll2  14390  prprrab  14398  hashle2pr  14402  hashge2el2difr  14406  ccat0  14501  ccat1st1st  14553  wrdind  14646  wrd2ind  14647  swrdccat3blem  14663  rev0  14688  repsw0  14701  cshwidx0  14730  fz1f1o  15635  hashbc0  16935  0hashbc  16937  ram0  16952  cshws0  17031  symgvalstruct  19294  gsmsymgrfix  19325  sylow1lem1  19495  sylow1lem4  19498  sylow2blem3  19519  frgpnabllem1  19770  0ringnnzr  20428  01eq0ringOLD  20434  vieta1lem2  26235  tgldimor  28465  uhgr0vsize0  29202  uhgr0edgfi  29203  usgr1v0e  29289  fusgrfisbase  29291  vtxd0nedgb  29452  vtxdusgr0edgnelALT  29460  usgrvd0nedg  29497  vtxdginducedm1lem4  29506  finsumvtxdg2size  29514  cyclnspth  29764  iswwlksnx  29803  umgrclwwlkge2  29953  clwwisshclwws  29977  hashecclwwlkn1  30039  umgrhashecclwwlk  30040  vdn0conngrumgrv2  30158  frgrwopreg  30285  frrusgrord0lem  30301  wlkl0  30329  frgrregord013  30357  frgrregord13  30358  frgrogt3nreg  30359  friendshipgt3  30360  hashne0  32768  wrdt2ind  32908  chnind  32966  chnub  32967  tocyc01  33073  lvecdim0i  33580  hasheuni  34054  signstfvn  34539  signstfveq0a  34546  signshnz  34561  spthcycl  35104  usgrgt2cycl  35105  acycgr1v  35124  umgracycusgr  35129  cusgracyclt3v  35131  elmrsubrn  35495  fsuppind  42566  lindsrng01  48457