Theorem hasheq0 14427

Description: Two ways of saying a set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11274	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3063	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 14399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7		0re 11234	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2868	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fi 9049	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltrdi 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 155	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 14411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 13599	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6881	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21		0nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 14410	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2773	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26		en0 9024	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ≈ cen 8949  Fincfn 8952  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125  +∞cpnf 11264  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13561  ♯chash 14394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-hash 14395

This theorem is used by:  hashneq0  14428  hashnncl  14430  hash0  14431  hashelne0d  14432  hashgt0  14452  hashle00  14464  seqcoll2  14530  prprrab  14538  hashle2pr  14542  hashge2el2difr  14546  ccat0  14641  ccat1st1st  14696  wrdind  14791  wrd2ind  14792  swrdccat3blem  14808  rev0  14833  repsw0  14848  cshwidx0  14877  fz1f1o  15796  hashbc0  17097  0hashbc  17099  ram0  17114  cshws0  17193  chnind  18709  chnub  18710  symgvalstruct  19524  gsmsymgrfix  19555  sylow1lem1  19725  sylow1lem4  19728  sylow2blem3  19749  frgpnabllem1  20000  0ringnnzr  20686  01eq0ringOLD  20692  vieta1lem2  26543  tgldimor  28844  uhgr0vsize0  29699  uhgr0edgfi  29700  usgr1v0e  29786  fusgrfisbase  29788  vtxd0nedgb  29948  vtxdusgr0edgnelALT  29956  usgrvd0nedg  29993  vtxdginducedm1lem4  30002  finsumvtxdg2size  30010  cyclnspth  30268  spthcycl  30271  iswwlksnx  30308  umgrclwwlkge2  30461  clwwisshclwws  30485  hashecclwwlkn1  30547  umgrhashecclwwlk  30548  vdn0conngrumgrv2  30676  frgrwopreg  30803  frrusgrord0lem  30819  wlkl0  30847  frgrregord013  30875  frgrregord13  30876  frgrogt3nreg  30877  friendshipgt3  30878  hashne0  33280  wrdt2ind  33395  tocyc01  33558  esplyfval0  34074  vieta  34090  lvecdim0i  34116  hasheuni  34595  signstfvn  35077  signstfveq0a  35084  signshnz  35099  usgrgt2cycl  35723  acycgr1v  35728  umgracycusgr  35733  cusgracyclt3v  35735  elmrsubrn  36099  fsuppind  43436  lindsrng01  49398