Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheq0 13716
 Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hasheq0 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0
StepHypRef Expression
1 pnfnre 10674 . . . . . . 7 +∞ ∉ ℝ
21neli 3123 . . . . . 6 ¬ +∞ ∈ ℝ
3 hashinf 13687 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
43eleq1d 2895 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
52, 4mtbiri 329 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6 id 22 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7 0re 10635 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
86, 7syl6eqel 2919 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
95, 8nsyl 142 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11 0fin 8738 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
1210, 11syl6eqel 2919 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
1312con3i 157 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
1413adantl 484 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
159, 142falsed 379 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
1615ex 415 . 2 (𝐴𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17 hashen 13699 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
1811, 17mpan2 689 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19 fz10 12920 . . . . . 6 (1...0) = ∅
2019fveq2i 6666 . . . . 5 (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21 0nn0 11904 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
22 hashfz1 13698 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
2321, 22ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘(1...0)) = 0
2420, 23eqtr3i 2844 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2524eqeq2i 2832 . . 3 ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26 en0 8564 . . 3 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2718, 25, 263bitr3g 315 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
2816, 27pm2.61d2 183 1 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∅c0 4289   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ≈ cen 8498  Fincfn 8501  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530  +∞cpnf 10664  ℕ0cn0 11889  ...cfz 12884  ♯chash 13682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-hash 13683 This theorem is referenced by:  hashneq0  13717  hashnncl  13719  hash0  13720  hashelne0d  13721  hashgt0  13741  hashle00  13753  seqcoll2  13815  prprrab  13823  hashle2pr  13827  hashge2el2difr  13831  ccat0  13921  ccat1st1st  13976  wrdind  14076  wrd2ind  14077  swrdccat3blem  14093  rev0  14118  repsw0  14131  cshwidx0  14160  fz1f1o  15059  hashbc0  16333  0hashbc  16335  ram0  16350  cshws0  16427  symgvalstruct  18517  gsmsymgrfix  18548  sylow1lem1  18715  sylow1lem4  18718  sylow2blem3  18739  frgpnabllem1  18985  0ringnnzr  20034  01eq0ring  20037  vieta1lem2  24892  tgldimor  26280  uhgr0vsize0  27013  uhgr0edgfi  27014  usgr1v0e  27100  fusgrfisbase  27102  vtxd0nedgb  27262  vtxdusgr0edgnelALT  27270  usgrvd0nedg  27307  vtxdginducedm1lem4  27316  finsumvtxdg2size  27324  cyclnspth  27573  iswwlksnx  27610  umgrclwwlkge2  27761  clwwisshclwws  27785  hashecclwwlkn1  27848  umgrhashecclwwlk  27849  vdn0conngrumgrv2  27967  frgrwopreg  28094  frrusgrord0lem  28110  wlkl0  28138  frgrregord013  28166  frgrregord13  28167  frgrogt3nreg  28168  friendshipgt3  28169  wrdt2ind  30620  tocyc01  30753  lvecdim0i  30992  hasheuni  31332  signstfvn  31827  signstfveq0a  31834  signshnz  31849  spthcycl  32364  usgrgt2cycl  32365  acycgr1v  32384  umgracycusgr  32389  cusgracyclt3v  32391  elmrsubrn  32755  lindsrng01  44508
 Copyright terms: Public domain W3C validator