Theorem hasheq0 14370

Description: Two ways of saying a set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11217	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3062	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 14342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 329	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7		0re 11177	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2869	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fi 9017	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltrdi 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 154	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 378	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 14354	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 701	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 13544	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6865	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21		0nn0 12490	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 14353	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2786	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2774	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26		en0 8993	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 315	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 182	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ≈ cen 8918  Fincfn 8921  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068  +∞cpnf 11207  ℕ₀cn0 12475  ...cfz 13506  ♯chash 14337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-hash 14338

This theorem is referenced by:  hashneq0  14371  hashnncl  14373  hash0  14374  hashelne0d  14375  hashgt0  14395  hashle00  14407  seqcoll2  14472  prprrab  14480  hashle2pr  14484  hashge2el2difr  14488  ccat0  14583  ccat1st1st  14636  wrdind  14729  wrd2ind  14730  swrdccat3blem  14746  rev0  14771  repsw0  14784  cshwidx0  14813  fz1f1o  15728  hashbc0  17032  0hashbc  17034  ram0  17049  cshws0  17128  chnind  18644  chnub  18645  symgvalstruct  19428  gsmsymgrfix  19459  sylow1lem1  19629  sylow1lem4  19632  sylow2blem3  19653  frgpnabllem1  19904  0ringnnzr  20562  01eq0ringOLD  20568  vieta1lem2  26363  tgldimor  28659  uhgr0vsize0  29397  uhgr0edgfi  29398  usgr1v0e  29484  fusgrfisbase  29486  vtxd0nedgb  29646  vtxdusgr0edgnelALT  29654  usgrvd0nedg  29691  vtxdginducedm1lem4  29700  finsumvtxdg2size  29708  cyclnspth  29958  iswwlksnx  29997  umgrclwwlkge2  30150  clwwisshclwws  30174  hashecclwwlkn1  30236  umgrhashecclwwlk  30237  vdn0conngrumgrv2  30355  frgrwopreg  30482  frrusgrord0lem  30498  wlkl0  30526  frgrregord013  30554  frgrregord13  30555  frgrogt3nreg  30556  friendshipgt3  30557  hashne0  32973  wrdt2ind  33092  tocyc01  33259  esplyfval0  33822  vieta  33838  lvecdim0i  33864  hasheuni  34343  signstfvn  34824  signstfveq0a  34831  signshnz  34846  spthcycl  35440  usgrgt2cycl  35441  acycgr1v  35460  umgracycusgr  35465  cusgracyclt3v  35467  elmrsubrn  35831  fsuppind  43133  lindsrng01  49051