Theorem hasheq0 14395

Description: Two ways of saying a set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11245	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3066	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 14367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7		0re 11205	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2871	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fi 9035	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 155	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 14379	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 13568	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21		0nn0 12514	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 14378	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2776	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26		en0 9011	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096  +∞cpnf 11235  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  ♯chash 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363

This theorem is referenced by:  hashneq0  14396  hashnncl  14398  hash0  14399  hashelne0d  14400  hashgt0  14420  hashle00  14432  seqcoll2  14498  prprrab  14506  hashle2pr  14510  hashge2el2difr  14514  ccat0  14609  ccat1st1st  14662  wrdind  14755  wrd2ind  14756  swrdccat3blem  14772  rev0  14797  repsw0  14810  cshwidx0  14839  fz1f1o  15757  hashbc0  17060  0hashbc  17062  ram0  17077  cshws0  17156  chnind  18672  chnub  18673  symgvalstruct  19462  gsmsymgrfix  19493  sylow1lem1  19663  sylow1lem4  19666  sylow2blem3  19687  frgpnabllem1  19938  0ringnnzr  20623  01eq0ringOLD  20629  vieta1lem2  26472  tgldimor  28771  uhgr0vsize0  29589  uhgr0edgfi  29590  usgr1v0e  29676  fusgrfisbase  29678  vtxd0nedgb  29838  vtxdusgr0edgnelALT  29846  usgrvd0nedg  29883  vtxdginducedm1lem4  29892  finsumvtxdg2size  29900  cyclnspth  30150  iswwlksnx  30189  umgrclwwlkge2  30342  clwwisshclwws  30366  hashecclwwlkn1  30428  umgrhashecclwwlk  30429  vdn0conngrumgrv2  30547  frgrwopreg  30674  frrusgrord0lem  30690  wlkl0  30718  frgrregord013  30746  frgrregord13  30747  frgrogt3nreg  30748  friendshipgt3  30749  hashne0  33154  wrdt2ind  33273  tocyc01  33438  esplyfval0  33954  vieta  33970  lvecdim0i  33996  hasheuni  34475  signstfvn  34956  signstfveq0a  34963  signshnz  34978  spthcycl  35621  usgrgt2cycl  35622  acycgr1v  35641  umgracycusgr  35646  cusgracyclt3v  35648  elmrsubrn  36012  fsuppind  43322  lindsrng01  49248