Theorem hasheq0 14305

Description: Two ways of saying a set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11237	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3047	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 14277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 326	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7		0re 11198	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2840	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fin 9154	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltrdi 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 154	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 14289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 13504	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6881	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21		0nn0 12469	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 14288	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2744	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26		en0 8996	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 312	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 181	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4318   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393   ≈ cen 8919  Fincfn 8922  ℝcr 11091  0cc0 11092  1c1 11093  +∞cpnf 11227  ℕ₀cn0 12454  ...cfz 13466  ♯chash 14272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-hash 14273

This theorem is referenced by:  hashneq0  14306  hashnncl  14308  hash0  14309  hashelne0d  14310  hashgt0  14330  hashle00  14342  seqcoll2  14408  prprrab  14416  hashle2pr  14420  hashge2el2difr  14424  ccat0  14508  ccat1st1st  14560  wrdind  14654  wrd2ind  14655  swrdccat3blem  14671  rev0  14696  repsw0  14709  cshwidx0  14738  fz1f1o  15638  hashbc0  16920  0hashbc  16922  ram0  16937  cshws0  17017  symgvalstruct  19228  symgvalstructOLD  19229  gsmsymgrfix  19260  sylow1lem1  19430  sylow1lem4  19433  sylow2blem3  19454  frgpnabllem1  19701  0ringnnzr  20252  01eq0ringOLD  20256  vieta1lem2  25753  tgldimor  27618  uhgr0vsize0  28361  uhgr0edgfi  28362  usgr1v0e  28448  fusgrfisbase  28450  vtxd0nedgb  28610  vtxdusgr0edgnelALT  28618  usgrvd0nedg  28655  vtxdginducedm1lem4  28664  finsumvtxdg2size  28672  cyclnspth  28922  iswwlksnx  28959  umgrclwwlkge2  29109  clwwisshclwws  29133  hashecclwwlkn1  29195  umgrhashecclwwlk  29196  vdn0conngrumgrv2  29314  frgrwopreg  29441  frrusgrord0lem  29457  wlkl0  29485  frgrregord013  29513  frgrregord13  29514  frgrogt3nreg  29515  friendshipgt3  29516  wrdt2ind  31988  tocyc01  32148  lvecdim0i  32529  hasheuni  32914  signstfvn  33411  signstfveq0a  33418  signshnz  33433  spthcycl  33951  usgrgt2cycl  33952  acycgr1v  33971  umgracycusgr  33976  cusgracyclt3v  33978  elmrsubrn  34342  fsuppind  40951  lindsrng01  46797