Theorem hasheq0 14417

Description: Two ways of saying a set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11265	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3068	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 14389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7		0re 11225	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2873	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fi 9046	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 155	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 14401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 13589	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21		0nn0 12534	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 14400	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2790	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2778	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26		en0 9021	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ≈ cen 8946  Fincfn 8949  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116  +∞cpnf 11255  ℕ₀cn0 12519  ...cfz 13551  ♯chash 14384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-hash 14385

This theorem is used by:  hashneq0  14418  hashnncl  14420  hash0  14421  hashelne0d  14422  hashgt0  14442  hashle00  14454  seqcoll2  14520  prprrab  14528  hashle2pr  14532  hashge2el2difr  14536  ccat0  14631  ccat1st1st  14686  wrdind  14781  wrd2ind  14782  swrdccat3blem  14798  rev0  14823  repsw0  14838  cshwidx0  14867  fz1f1o  15784  hashbc0  17087  0hashbc  17089  ram0  17104  cshws0  17183  chnind  18699  chnub  18700  symgvalstruct  19511  gsmsymgrfix  19542  sylow1lem1  19712  sylow1lem4  19715  sylow2blem3  19736  frgpnabllem1  19987  0ringnnzr  20673  01eq0ringOLD  20679  vieta1lem2  26523  tgldimor  28822  uhgr0vsize0  29647  uhgr0edgfi  29648  usgr1v0e  29734  fusgrfisbase  29736  vtxd0nedgb  29896  vtxdusgr0edgnelALT  29904  usgrvd0nedg  29941  vtxdginducedm1lem4  29950  finsumvtxdg2size  29958  cyclnspth  30216  spthcycl  30219  iswwlksnx  30256  umgrclwwlkge2  30409  clwwisshclwws  30433  hashecclwwlkn1  30495  umgrhashecclwwlk  30496  vdn0conngrumgrv2  30618  frgrwopreg  30745  frrusgrord0lem  30761  wlkl0  30789  frgrregord013  30817  frgrregord13  30818  frgrogt3nreg  30819  friendshipgt3  30820  hashne0  33224  wrdt2ind  33339  tocyc01  33502  esplyfval0  34018  vieta  34034  lvecdim0i  34060  hasheuni  34539  signstfvn  35021  signstfveq0a  35028  signshnz  35043  usgrgt2cycl  35667  acycgr1v  35678  umgracycusgr  35683  cusgracyclt3v  35685  elmrsubrn  36049  fsuppind  43380  lindsrng01  49305