Theorem hasheq0 14548

Description: Two ways of saying a set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11389	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3067	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 14520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7		0re 11349	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2872	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fi 9108	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 155	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 14532	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 13718	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6919	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21		0nn0 12661	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 14531	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2776	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26		en0 9083	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ≈ cen 9008  Fincfn 9011  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240  +∞cpnf 11379  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  ♯chash 14515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516

This theorem is used by:  hashneq0  14549  hashnncl  14551  hash0  14552  hashelne0d  14553  hashgt0  14573  hashle00  14585  seqcoll2  14651  prprrab  14659  hashle2pr  14663  hashge2el2difr  14667  ccat0  14762  ccat1st1st  14818  wrdind  14913  wrd2ind  14914  swrdccat3blem  14930  rev0  14955  repsw0  14970  cshwidx0  14999  fz1f1o  15920  hashbc0  17227  0hashbc  17229  ram0  17244  cshws0  17323  chnind  18845  chnub  18846  symgvalstruct  19662  gsmsymgrfix  19693  sylow1lem1  19863  sylow1lem4  19866  sylow2blem3  19887  frgpnabllem1  20138  0ringnnzr  20827  01eq0ringOLD  20833  vieta1lem2  26689  tgldimor  29022  uhgr0vsize0  29877  uhgr0edgfi  29878  usgr1v0e  29964  fusgrfisbase  29966  vtxd0nedgb  30126  vtxdusgr0edgnelALT  30134  usgrvd0nedg  30171  vtxdginducedm1lem4  30180  finsumvtxdg2size  30188  cyclnspth  30446  spthcycl  30449  iswwlksnx  30486  umgrclwwlkge2  30639  clwwisshclwws  30663  hashecclwwlkn1  30725  umgrhashecclwwlk  30726  vdn0conngrumgrv2  30854  frgrwopreg  30981  frrusgrord0lem  30997  wlkl0  31025  frgrregord013  31053  frgrregord13  31054  frgrogt3nreg  31055  friendshipgt3  31056  hashne0  33497  wrdt2ind  33612  tocyc01  33778  esplyfval0  34307  vieta  34323  lvecdim0i  34349  hasheuni  34828  signstfvn  35309  signstfveq0a  35316  signshnz  35331  usgrgt2cycl  36107  acycgr1v  36112  umgracycusgr  36117  cusgracyclt3v  36119  elmrsubrn  36493  fsuppind  43884  lindsrng01  49911