Theorem hasheq0 14514

Description: Two ways of saying a set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11357	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3063	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 14486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7		0re 11317	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2868	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fi 9077	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltrdi 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 155	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 14498	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 13685	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6893	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21		0nn0 12628	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 14497	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2773	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26		en0 9052	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4277   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ≈ cen 8977  Fincfn 8980  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208  +∞cpnf 11347  ℕ₀cn0 12613  ...cfz 13646  ♯chash 14481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-hash 14482

This theorem is used by:  hashneq0  14515  hashnncl  14517  hash0  14518  hashelne0d  14519  hashgt0  14539  hashle00  14551  seqcoll2  14617  prprrab  14625  hashle2pr  14629  hashge2el2difr  14633  ccat0  14728  ccat1st1st  14784  wrdind  14879  wrd2ind  14880  swrdccat3blem  14896  rev0  14921  repsw0  14936  cshwidx0  14965  fz1f1o  15885  hashbc0  17192  0hashbc  17194  ram0  17209  cshws0  17288  chnind  18804  chnub  18805  symgvalstruct  19620  gsmsymgrfix  19651  sylow1lem1  19821  sylow1lem4  19824  sylow2blem3  19845  frgpnabllem1  20096  0ringnnzr  20785  01eq0ringOLD  20791  vieta1lem2  26643  tgldimor  28974  uhgr0vsize0  29829  uhgr0edgfi  29830  usgr1v0e  29916  fusgrfisbase  29918  vtxd0nedgb  30078  vtxdusgr0edgnelALT  30086  usgrvd0nedg  30123  vtxdginducedm1lem4  30132  finsumvtxdg2size  30140  cyclnspth  30398  spthcycl  30401  iswwlksnx  30438  umgrclwwlkge2  30591  clwwisshclwws  30615  hashecclwwlkn1  30677  umgrhashecclwwlk  30678  vdn0conngrumgrv2  30806  frgrwopreg  30933  frrusgrord0lem  30949  wlkl0  30977  frgrregord013  31005  frgrregord13  31006  frgrogt3nreg  31007  friendshipgt3  31008  hashne0  33451  wrdt2ind  33566  tocyc01  33729  esplyfval0  34246  vieta  34262  lvecdim0i  34288  hasheuni  34767  signstfvn  35248  signstfveq0a  35255  signshnz  35270  usgrgt2cycl  35989  acycgr1v  35994  umgracycusgr  35999  cusgracyclt3v  36001  elmrsubrn  36375  fsuppind  43727  lindsrng01  49688