Theorem hasheq0 14398

Description: Two ways of saying a set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11249	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3072	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 14370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2854	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7		0re 11209	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2877	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fi 9038	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltrdi 2877	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 155	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 14382	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 13572	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21		0nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 14381	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2794	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2782	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26		en0 9014	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ≈ cen 8939  Fincfn 8942  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100  +∞cpnf 11239  ℕ₀cn0 12503  ...cfz 13534  ♯chash 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366

This theorem is referenced by:  hashneq0  14399  hashnncl  14401  hash0  14402  hashelne0d  14403  hashgt0  14423  hashle00  14435  seqcoll2  14501  prprrab  14509  hashle2pr  14513  hashge2el2difr  14517  ccat0  14612  ccat1st1st  14665  wrdind  14758  wrd2ind  14759  swrdccat3blem  14775  rev0  14800  repsw0  14813  cshwidx0  14842  fz1f1o  15760  hashbc0  17064  0hashbc  17066  ram0  17081  cshws0  17160  chnind  18676  chnub  18677  symgvalstruct  19466  gsmsymgrfix  19497  sylow1lem1  19667  sylow1lem4  19670  sylow2blem3  19691  frgpnabllem1  19942  0ringnnzr  20608  01eq0ringOLD  20614  vieta1lem2  26440  tgldimor  28736  uhgr0vsize0  29529  uhgr0edgfi  29530  usgr1v0e  29616  fusgrfisbase  29618  vtxd0nedgb  29778  vtxdusgr0edgnelALT  29786  usgrvd0nedg  29823  vtxdginducedm1lem4  29832  finsumvtxdg2size  29840  cyclnspth  30090  iswwlksnx  30129  umgrclwwlkge2  30282  clwwisshclwws  30306  hashecclwwlkn1  30368  umgrhashecclwwlk  30369  vdn0conngrumgrv2  30487  frgrwopreg  30614  frrusgrord0lem  30630  wlkl0  30658  frgrregord013  30686  frgrregord13  30687  frgrogt3nreg  30688  friendshipgt3  30689  hashne0  33094  wrdt2ind  33213  tocyc01  33378  esplyfval0  33898  vieta  33914  lvecdim0i  33940  hasheuni  34419  signstfvn  34900  signstfveq0a  34907  signshnz  34922  spthcycl  35519  usgrgt2cycl  35520  acycgr1v  35539  umgracycusgr  35544  cusgracyclt3v  35546  elmrsubrn  35910  fsuppind  43213  lindsrng01  49132