Theorem hasheq0 14508

Description: Two ways of saying a set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11351	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3064	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 14480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7		0re 11311	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2869	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fi 9071	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltrdi 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 155	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 14492	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 13679	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6889	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21		0nn0 12622	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 14491	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2786	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2774	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26		en0 9046	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ≈ cen 8971  Fincfn 8974  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202  +∞cpnf 11341  ℕ₀cn0 12607  ...cfz 13640  ♯chash 14475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-hash 14476

This theorem is used by:  hashneq0  14509  hashnncl  14511  hash0  14512  hashelne0d  14513  hashgt0  14533  hashle00  14545  seqcoll2  14611  prprrab  14619  hashle2pr  14623  hashge2el2difr  14627  ccat0  14722  ccat1st1st  14777  wrdind  14872  wrd2ind  14873  swrdccat3blem  14889  rev0  14914  repsw0  14929  cshwidx0  14958  fz1f1o  15877  hashbc0  17184  0hashbc  17186  ram0  17201  cshws0  17280  chnind  18796  chnub  18797  symgvalstruct  19612  gsmsymgrfix  19643  sylow1lem1  19813  sylow1lem4  19816  sylow2blem3  19837  frgpnabllem1  20088  0ringnnzr  20777  01eq0ringOLD  20783  vieta1lem2  26635  tgldimor  28966  uhgr0vsize0  29821  uhgr0edgfi  29822  usgr1v0e  29908  fusgrfisbase  29910  vtxd0nedgb  30070  vtxdusgr0edgnelALT  30078  usgrvd0nedg  30115  vtxdginducedm1lem4  30124  finsumvtxdg2size  30132  cyclnspth  30390  spthcycl  30393  iswwlksnx  30430  umgrclwwlkge2  30583  clwwisshclwws  30607  hashecclwwlkn1  30669  umgrhashecclwwlk  30670  vdn0conngrumgrv2  30798  frgrwopreg  30925  frrusgrord0lem  30941  wlkl0  30969  frgrregord013  30997  frgrregord13  30998  frgrogt3nreg  30999  friendshipgt3  31000  hashne0  33402  wrdt2ind  33517  tocyc01  33680  esplyfval0  34197  vieta  34213  lvecdim0i  34239  hasheuni  34718  signstfvn  35199  signstfveq0a  35206  signshnz  35221  usgrgt2cycl  35910  acycgr1v  35915  umgracycusgr  35920  cusgracyclt3v  35922  elmrsubrn  36286  fsuppind  43620  lindsrng01  49581