Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | pcdvdstr 16760 |
. . . . 5
โข ((๐ โ โ โง (๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ด โฅ ๐ต)) โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต)) |
2 | 1 | ancoms 460 |
. . . 4
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ด โฅ ๐ต) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต)) |
3 | 2 | ralrimiva 3140 |
. . 3
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ด โฅ ๐ต) โ โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต)) |
4 | 3 | 3expia 1122 |
. 2
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด โฅ ๐ต โ โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต))) |
5 | | oveq2 7371 |
. . . . . 6
โข (๐ด = 0 โ (๐ pCnt ๐ด) = (๐ pCnt 0)) |
6 | 5 | breq1d 5121 |
. . . . 5
โข (๐ด = 0 โ ((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต) โ (๐ pCnt 0) โค (๐ pCnt ๐ต))) |
7 | 6 | ralbidv 3171 |
. . . 4
โข (๐ด = 0 โ (โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต) โ โ๐ โ โ (๐ pCnt 0) โค (๐ pCnt ๐ต))) |
8 | | breq1 5114 |
. . . 4
โข (๐ด = 0 โ (๐ด โฅ ๐ต โ 0 โฅ ๐ต)) |
9 | 7, 8 | imbi12d 345 |
. . 3
โข (๐ด = 0 โ ((โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต) โ ๐ด โฅ ๐ต) โ (โ๐ โ โ (๐ pCnt 0) โค (๐ pCnt ๐ต) โ 0 โฅ ๐ต))) |
10 | | gcddvds 16395 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ ((๐ด gcd ๐ต) โฅ ๐ด โง (๐ด gcd ๐ต) โฅ ๐ต)) |
11 | 10 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด gcd ๐ต) โฅ ๐ด) |
12 | | gcdcl 16398 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด gcd ๐ต) โ
โ0) |
13 | 12 | nn0zd 12535 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด gcd ๐ต) โ โค) |
14 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ ๐ด โ
โค) |
15 | | dvdsabsb 16170 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ด gcd ๐ต) โ โค โง ๐ด โ โค) โ ((๐ด gcd ๐ต) โฅ ๐ด โ (๐ด gcd ๐ต) โฅ (absโ๐ด))) |
16 | 13, 14, 15 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ ((๐ด gcd ๐ต) โฅ ๐ด โ (๐ด gcd ๐ต) โฅ (absโ๐ด))) |
17 | 11, 16 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด gcd ๐ต) โฅ (absโ๐ด)) |
18 | 17 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (๐ด gcd ๐ต) โฅ (absโ๐ด)) |
19 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ด = 0 โง ๐ต = 0) โ ๐ด = 0) |
20 | 19 | necon3ai 2965 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ด โ 0 โ ยฌ (๐ด = 0 โง ๐ต = 0)) |
21 | | gcdn0cl 16394 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ยฌ
(๐ด = 0 โง ๐ต = 0)) โ (๐ด gcd ๐ต) โ โ) |
22 | 20, 21 | sylan2 594 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (๐ด gcd ๐ต) โ โ) |
23 | 22 | nnzd 12536 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (๐ด gcd ๐ต) โ โค) |
24 | 22 | nnne0d 12213 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (๐ด gcd ๐ต) โ 0) |
25 | | nnabscl 15223 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด โ 0) โ (absโ๐ด) โ
โ) |
26 | 25 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (absโ๐ด) โ
โ) |
27 | 26 | nnzd 12536 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (absโ๐ด) โ
โค) |
28 | | dvdsval2 16151 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด gcd ๐ต) โ โค โง (๐ด gcd ๐ต) โ 0 โง (absโ๐ด) โ โค) โ ((๐ด gcd ๐ต) โฅ (absโ๐ด) โ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ โค)) |
29 | 23, 24, 27, 28 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ ((๐ด gcd ๐ต) โฅ (absโ๐ด) โ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ โค)) |
30 | 18, 29 | mpbid 231 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ
((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ โค) |
31 | | nnre 12170 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((absโ๐ด)
โ โ โ (absโ๐ด) โ โ) |
32 | | nngt0 12194 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((absโ๐ด)
โ โ โ 0 < (absโ๐ด)) |
33 | 31, 32 | jca 513 |
. . . . . . . . . 10
โข
((absโ๐ด)
โ โ โ ((absโ๐ด) โ โ โง 0 <
(absโ๐ด))) |
34 | | nnre 12170 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ด gcd ๐ต) โ โ โ (๐ด gcd ๐ต) โ โ) |
35 | | nngt0 12194 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ด gcd ๐ต) โ โ โ 0 < (๐ด gcd ๐ต)) |
36 | 34, 35 | jca 513 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ด gcd ๐ต) โ โ โ ((๐ด gcd ๐ต) โ โ โง 0 < (๐ด gcd ๐ต))) |
37 | | divgt0 12033 |
. . . . . . . . . 10
โข
((((absโ๐ด)
โ โ โง 0 < (absโ๐ด)) โง ((๐ด gcd ๐ต) โ โ โง 0 < (๐ด gcd ๐ต))) โ 0 < ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) |
38 | 33, 36, 37 | syl2an 597 |
. . . . . . . . 9
โข
(((absโ๐ด)
โ โ โง (๐ด gcd
๐ต) โ โ) โ 0
< ((absโ๐ด) /
(๐ด gcd ๐ต))) |
39 | 26, 22, 38 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ 0 <
((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) |
40 | | elnnz 12519 |
. . . . . . . 8
โข
(((absโ๐ด) /
(๐ด gcd ๐ต)) โ โ โ (((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ โค โง 0 <
((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) |
41 | 30, 39, 40 | sylanbrc 584 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ
((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ โ) |
42 | | elnn1uz2 12860 |
. . . . . . 7
โข
(((absโ๐ด) /
(๐ด gcd ๐ต)) โ โ โ (((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1 โจ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ
(โคโฅโ2))) |
43 | 41, 42 | sylib 217 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ
(((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1 โจ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ
(โคโฅโ2))) |
44 | 10 | simprd 497 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด gcd ๐ต) โฅ ๐ต) |
45 | 44 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (๐ด gcd ๐ต) โฅ ๐ต) |
46 | | breq1 5114 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ด gcd ๐ต) = (absโ๐ด) โ ((๐ด gcd ๐ต) โฅ ๐ต โ (absโ๐ด) โฅ ๐ต)) |
47 | 45, 46 | syl5ibcom 244 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ ((๐ด gcd ๐ต) = (absโ๐ด) โ (absโ๐ด) โฅ ๐ต)) |
48 | 26 | nncnd 12179 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (absโ๐ด) โ
โ) |
49 | 22 | nncnd 12179 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (๐ด gcd ๐ต) โ โ) |
50 | | 1cnd 11160 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ 1 โ
โ) |
51 | 48, 49, 50, 24 | divmuld 11963 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ
(((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1 โ ((๐ด gcd ๐ต) ยท 1) = (absโ๐ด))) |
52 | 49 | mulridd 11182 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ ((๐ด gcd ๐ต) ยท 1) = (๐ด gcd ๐ต)) |
53 | 52 | eqeq1d 2734 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (((๐ด gcd ๐ต) ยท 1) = (absโ๐ด) โ (๐ด gcd ๐ต) = (absโ๐ด))) |
54 | 51, 53 | bitrd 279 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ
(((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1 โ (๐ด gcd ๐ต) = (absโ๐ด))) |
55 | | absdvdsb 16169 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด โฅ ๐ต โ (absโ๐ด) โฅ ๐ต)) |
56 | 55 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (๐ด โฅ ๐ต โ (absโ๐ด) โฅ ๐ต)) |
57 | 47, 54, 56 | 3imtr4d 294 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ
(((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1 โ ๐ด โฅ ๐ต)) |
58 | | exprmfct 16592 |
. . . . . . . 8
โข
(((absโ๐ด) /
(๐ด gcd ๐ต)) โ (โคโฅโ2)
โ โ๐ โ
โ ๐ โฅ
((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) |
59 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ๐ โ โ) |
60 | 26 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (absโ๐ด) โ โ) |
61 | 60 | nnzd 12536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (absโ๐ด) โ โค) |
62 | 60 | nnne0d 12213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (absโ๐ด) โ 0) |
63 | 22 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ด gcd ๐ต) โ โ) |
64 | | pcdiv 16736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โ โ โง
((absโ๐ด) โ
โค โง (absโ๐ด)
โ 0) โง (๐ด gcd ๐ต) โ โ) โ (๐ pCnt ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) = ((๐ pCnt (absโ๐ด)) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)))) |
65 | 59, 61, 62, 63, 64 | syl121anc 1376 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) = ((๐ pCnt (absโ๐ด)) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)))) |
66 | | simplll 774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ๐ด โ โค) |
67 | | zq 12889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ด โ โค โ ๐ด โ
โ) |
68 | 66, 67 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ๐ด โ โ) |
69 | | pcabs 16759 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ pCnt (absโ๐ด)) = (๐ pCnt ๐ด)) |
70 | 59, 68, 69 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt (absโ๐ด)) = (๐ pCnt ๐ด)) |
71 | 70 | oveq1d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((๐ pCnt (absโ๐ด)) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต))) = ((๐ pCnt ๐ด) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)))) |
72 | 65, 71 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) = ((๐ pCnt ๐ด) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)))) |
73 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) |
74 | 41 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ โ) |
75 | | pcelnn 16754 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โ โ โง
((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ โ) โ ((๐ pCnt ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) โ โ โ ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) |
76 | 59, 74, 75 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((๐ pCnt ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) โ โ โ ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) |
77 | 73, 76 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) โ โ) |
78 | 72, 77 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((๐ pCnt ๐ด) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต))) โ โ) |
79 | 59, 63 | pccld 16734 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) โ
โ0) |
80 | 79 | nn0zd 12535 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) โ โค) |
81 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ๐ด โ 0) |
82 | | pczcl 16732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โ โ โง (๐ด โ โค โง ๐ด โ 0)) โ (๐ pCnt ๐ด) โ
โ0) |
83 | 59, 66, 81, 82 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt ๐ด) โ
โ0) |
84 | 83 | nn0zd 12535 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt ๐ด) โ โค) |
85 | | znnsub 12559 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) โ โค โง (๐ pCnt ๐ด) โ โค) โ ((๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) < (๐ pCnt ๐ด) โ ((๐ pCnt ๐ด) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต))) โ โ)) |
86 | 80, 84, 85 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) < (๐ pCnt ๐ด) โ ((๐ pCnt ๐ด) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต))) โ โ)) |
87 | 78, 86 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) < (๐ pCnt ๐ด)) |
88 | 79 | nn0red 12484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) โ โ) |
89 | 83 | nn0red 12484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt ๐ด) โ โ) |
90 | 88, 89 | ltnled 11312 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) < (๐ pCnt ๐ด) โ ยฌ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)))) |
91 | 87, 90 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ยฌ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต))) |
92 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ๐ต โ โค) |
93 | | nprmdvds1 16594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ โ โ ยฌ
๐ โฅ
1) |
94 | 93 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ยฌ ๐ โฅ 1) |
95 | | gcdid0 16412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข (๐ด โ โค โ (๐ด gcd 0) = (absโ๐ด)) |
96 | 66, 95 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ด gcd 0) = (absโ๐ด)) |
97 | 96 | oveq2d 7379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd 0)) = ((absโ๐ด) / (absโ๐ด))) |
98 | 48 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (absโ๐ด) โ โ) |
99 | 98, 62 | dividd 11939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((absโ๐ด) / (absโ๐ด)) = 1) |
100 | 97, 99 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd 0)) = 1) |
101 | 100 | breq2d 5123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd 0)) โ ๐ โฅ 1)) |
102 | 94, 101 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ยฌ ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd 0))) |
103 | | oveq2 7371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ต = 0 โ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ด gcd 0)) |
104 | 103 | oveq2d 7379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ต = 0 โ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = ((absโ๐ด) / (๐ด gcd 0))) |
105 | 104 | breq2d 5123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ต = 0 โ (๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd 0)))) |
106 | 73, 105 | syl5ibcom 244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ต = 0 โ ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd 0)))) |
107 | 106 | necon3bd 2954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (ยฌ ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd 0)) โ ๐ต โ 0)) |
108 | 102, 107 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ๐ต โ 0) |
109 | | pczcl 16732 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ โ โง (๐ต โ โค โง ๐ต โ 0)) โ (๐ pCnt ๐ต) โ
โ0) |
110 | 59, 92, 108, 109 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt ๐ต) โ
โ0) |
111 | 110 | nn0red 12484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt ๐ต) โ โ) |
112 | | lemin 13122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ pCnt ๐ด) โ โ โง (๐ pCnt ๐ด) โ โ โง (๐ pCnt ๐ต) โ โ) โ ((๐ pCnt ๐ด) โค if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), (๐ pCnt ๐ด), (๐ pCnt ๐ต)) โ ((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ด) โง (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต)))) |
113 | 89, 89, 111, 112 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((๐ pCnt ๐ด) โค if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), (๐ pCnt ๐ด), (๐ pCnt ๐ต)) โ ((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ด) โง (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต)))) |
114 | | pcgcd 16762 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), (๐ pCnt ๐ด), (๐ pCnt ๐ต))) |
115 | 59, 66, 92, 114 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), (๐ pCnt ๐ด), (๐ pCnt ๐ต))) |
116 | 115 | breq2d 5123 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) โ (๐ pCnt ๐ด) โค if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), (๐ pCnt ๐ด), (๐ pCnt ๐ต)))) |
117 | 89 | leidd 11731 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ด)) |
118 | 117 | biantrurd 534 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต) โ ((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ด) โง (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต)))) |
119 | 113, 116,
118 | 3bitr4rd 312 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต) โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)))) |
120 | 91, 119 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง (๐ โ โ โง ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ ยฌ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต)) |
121 | 120 | expr 458 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โง ๐ โ โ) โ (๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ ยฌ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต))) |
122 | 121 | reximdva 3162 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (โ๐ โ โ ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ โ๐ โ โ ยฌ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต))) |
123 | | rexnal 3100 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ
โ ยฌ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต) โ ยฌ โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต)) |
124 | 122, 123 | syl6ib 251 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (โ๐ โ โ ๐ โฅ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ ยฌ โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต))) |
125 | 58, 124 | syl5 34 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ
(((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ (โคโฅโ2)
โ ยฌ โ๐
โ โ (๐ pCnt
๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต))) |
126 | 57, 125 | orim12d 964 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ
((((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1 โจ ((absโ๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ (โคโฅโ2))
โ (๐ด โฅ ๐ต โจ ยฌ โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต)))) |
127 | 43, 126 | mpd 15 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (๐ด โฅ ๐ต โจ ยฌ โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต))) |
128 | 127 | ord 863 |
. . . 4
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (ยฌ ๐ด โฅ ๐ต โ ยฌ โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต))) |
129 | 128 | con4d 115 |
. . 3
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ด โ 0) โ (โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต) โ ๐ด โฅ ๐ต)) |
130 | | 2prm 16580 |
. . . . . 6
โข 2 โ
โ |
131 | 130 | ne0ii 4303 |
. . . . 5
โข โ
โ โ
|
132 | | r19.2z 4458 |
. . . . 5
โข ((โ
โ โ
โง โ๐ โ โ (๐ pCnt 0) โค (๐ pCnt ๐ต)) โ โ๐ โ โ (๐ pCnt 0) โค (๐ pCnt ๐ต)) |
133 | 131, 132 | mpan 689 |
. . . 4
โข
(โ๐ โ
โ (๐ pCnt 0) โค
(๐ pCnt ๐ต) โ โ๐ โ โ (๐ pCnt 0) โค (๐ pCnt ๐ต)) |
134 | | id 22 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ) |
135 | | zq 12889 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ต โ โค โ ๐ต โ
โ) |
136 | 135 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ ๐ต โ
โ) |
137 | | pcxcl 16745 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ pCnt ๐ต) โ
โ*) |
138 | 134, 136,
137 | syl2anr 598 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt ๐ต) โ
โ*) |
139 | | pnfge 13061 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ pCnt ๐ต) โ โ* โ (๐ pCnt ๐ต) โค +โ) |
140 | 138, 139 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt ๐ต) โค +โ) |
141 | 140 | biantrurd 534 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โ โ) โ
(+โ โค (๐ pCnt
๐ต) โ ((๐ pCnt ๐ต) โค +โ โง +โ โค (๐ pCnt ๐ต)))) |
142 | | pc0 16738 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ (๐ pCnt 0) =
+โ) |
143 | 142 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt 0) =
+โ) |
144 | 143 | breq1d 5121 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โ โ) โ ((๐ pCnt 0) โค (๐ pCnt ๐ต) โ +โ โค (๐ pCnt ๐ต))) |
145 | | pnfxr 11219 |
. . . . . . . . 9
โข +โ
โ โ* |
146 | | xrletri3 13084 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ pCnt ๐ต) โ โ* โง +โ
โ โ*) โ ((๐ pCnt ๐ต) = +โ โ ((๐ pCnt ๐ต) โค +โ โง +โ โค (๐ pCnt ๐ต)))) |
147 | 138, 145,
146 | sylancl 587 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โ โ) โ ((๐ pCnt ๐ต) = +โ โ ((๐ pCnt ๐ต) โค +โ โง +โ โค (๐ pCnt ๐ต)))) |
148 | 141, 144,
147 | 3bitr4d 311 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โ โ) โ ((๐ pCnt 0) โค (๐ pCnt ๐ต) โ (๐ pCnt ๐ต) = +โ)) |
149 | | pnfnre 11206 |
. . . . . . . . . 10
โข +โ
โ โ |
150 | 149 | neli 3048 |
. . . . . . . . 9
โข ยฌ
+โ โ โ |
151 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ pCnt ๐ต) = +โ โ ((๐ pCnt ๐ต) โ โ โ +โ โ
โ)) |
152 | 150, 151 | mtbiri 327 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ pCnt ๐ต) = +โ โ ยฌ (๐ pCnt ๐ต) โ โ) |
153 | 109 | nn0red 12484 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ โ โง (๐ต โ โค โง ๐ต โ 0)) โ (๐ pCnt ๐ต) โ โ) |
154 | 153 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โง (๐ต โ โค โง ๐ต โ 0)) โ (๐ pCnt ๐ต) โ โ) |
155 | 154 | an4s 659 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง (๐ โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (๐ pCnt ๐ต) โ โ) |
156 | 155 | expr 458 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โ โ) โ (๐ต โ 0 โ (๐ pCnt ๐ต) โ โ)) |
157 | 156 | necon1bd 2958 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โ โ) โ (ยฌ
(๐ pCnt ๐ต) โ โ โ ๐ต = 0)) |
158 | 152, 157 | syl5 34 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โ โ) โ ((๐ pCnt ๐ต) = +โ โ ๐ต = 0)) |
159 | 148, 158 | sylbid 239 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โ โ) โ ((๐ pCnt 0) โค (๐ pCnt ๐ต) โ ๐ต = 0)) |
160 | 159 | rexlimdva 3149 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ
(โ๐ โ โ
(๐ pCnt 0) โค (๐ pCnt ๐ต) โ ๐ต = 0)) |
161 | | 0dvds 16171 |
. . . . . 6
โข (๐ต โ โค โ (0
โฅ ๐ต โ ๐ต = 0)) |
162 | 161 | adantl 483 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (0
โฅ ๐ต โ ๐ต = 0)) |
163 | 160, 162 | sylibrd 259 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ
(โ๐ โ โ
(๐ pCnt 0) โค (๐ pCnt ๐ต) โ 0 โฅ ๐ต)) |
164 | 133, 163 | syl5 34 |
. . 3
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ
(โ๐ โ โ
(๐ pCnt 0) โค (๐ pCnt ๐ต) โ 0 โฅ ๐ต)) |
165 | 9, 129, 164 | pm2.61ne 3027 |
. 2
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ
(โ๐ โ โ
(๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต) โ ๐ด โฅ ๐ต)) |
166 | 4, 165 | impbid 211 |
1
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด โฅ ๐ต โ โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต))) |