MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pc2dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pc2dvds 16841
Description: A characterization of divisibility in terms of prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pc2dvds ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘   ๐ต,๐‘

Proof of Theorem pc2dvds
StepHypRef Expression
1 pcdvdstr 16838 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))
21ancoms 458 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆฅ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))
32ralrimiva 3142 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆฅ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))
433expia 1119 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)))
5 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) = (๐‘ pCnt 0))
65breq1d 5152 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†” (๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)))
76ralbidv 3173 . . . 4 (๐ด = 0 โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)))
8 breq1 5145 . . . 4 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” 0 โˆฅ ๐ต))
97, 8imbi12d 344 . . 3 (๐ด = 0 โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†’ ๐ด โˆฅ ๐ต) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†’ 0 โˆฅ ๐ต)))
10 gcddvds 16471 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต))
1110simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด)
12 gcdcl 16474 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
1312nn0zd 12608 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค)
14 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
15 dvdsabsb 16246 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โ†” (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ (absโ€˜๐ด)))
1613, 14, 15syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โ†” (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ (absโ€˜๐ด)))
1711, 16mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ (absโ€˜๐ด))
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ (absโ€˜๐ด))
19 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด = 0)
2019necon3ai 2961 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0))
21 gcdn0cl 16470 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•)
2220, 21sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•)
2322nnzd 12609 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค)
2422nnne0d 12286 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0)
25 nnabscl 15298 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12609 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
28 dvdsval2 16227 . . . . . . . . . 10 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0 โˆง (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ (absโ€˜๐ด) โ†” ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค))
2923, 24, 27, 28syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ (absโ€˜๐ด) โ†” ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค))
3018, 29mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
31 nnre 12243 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
32 nngt0 12267 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (absโ€˜๐ด))
3331, 32jca 511 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ด)))
34 nnre 12243 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„)
35 nngt0 12267 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (๐ด gcd ๐ต))
3634, 35jca 511 . . . . . . . . . 10 ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด gcd ๐ต)))
37 divgt0 12106 . . . . . . . . . 10 ((((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ด)) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ 0 < ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))
3833, 36, 37syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))
3926, 22, 38syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 < ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))
40 elnnz 12592 . . . . . . . 8 (((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„• โ†” (((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))))
4130, 39, 40sylanbrc 582 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„•)
42 elnn1uz2 12933 . . . . . . 7 (((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„• โ†” (((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1 โˆจ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
4341, 42sylib 217 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1 โˆจ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
4410simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต)
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต)
46 breq1 5145 . . . . . . . . 9 ((๐ด gcd ๐ต) = (absโ€˜๐ด) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต โ†” (absโ€˜๐ด) โˆฅ ๐ต))
4745, 46syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = (absโ€˜๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆฅ ๐ต))
4826nncnd 12252 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4922nncnd 12252 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
50 1cnd 11233 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5148, 49, 50, 24divmuld 12036 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1 โ†” ((๐ด gcd ๐ต) ยท 1) = (absโ€˜๐ด)))
5249mulridd 11255 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท 1) = (๐ด gcd ๐ต))
5352eqeq1d 2730 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((๐ด gcd ๐ต) ยท 1) = (absโ€˜๐ด) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = (absโ€˜๐ด)))
5451, 53bitrd 279 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1 โ†” (๐ด gcd ๐ต) = (absโ€˜๐ด)))
55 absdvdsb 16245 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” (absโ€˜๐ด) โˆฅ ๐ต))
5655adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” (absโ€˜๐ด) โˆฅ ๐ต))
5747, 54, 563imtr4d 294 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1 โ†’ ๐ด โˆฅ ๐ต))
58 exprmfct 16668 . . . . . . . 8 (((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))
59 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
6026adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
6160nnzd 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
6260nnne0d 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰  0)
6322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•)
64 pcdiv 16814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ด) โ‰  0) โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ pCnt ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) = ((๐‘ pCnt (absโ€˜๐ด)) โˆ’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต))))
6559, 61, 62, 63, 64syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) = ((๐‘ pCnt (absโ€˜๐ด)) โˆ’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต))))
66 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
67 zq 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
69 pcabs 16837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ pCnt (absโ€˜๐ด)) = (๐‘ pCnt ๐ด))
7059, 68, 69syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt (absโ€˜๐ด)) = (๐‘ pCnt ๐ด))
7170oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((๐‘ pCnt (absโ€˜๐ด)) โˆ’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต))) = ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆ’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต))))
7265, 71eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) = ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆ’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต))))
73 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))
7441adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„•)
75 pcelnn 16832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ pCnt ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))))
7659, 74, 75syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((๐‘ pCnt ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))))
7773, 76mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต))) โˆˆ โ„•)
7872, 77eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆ’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต))) โˆˆ โ„•)
7959, 63pccld 16812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
8079nn0zd 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
81 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ๐ด โ‰  0)
82 pczcl 16810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
8359, 66, 81, 82syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
8483nn0zd 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
85 znnsub 12632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) < (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆ’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต))) โˆˆ โ„•))
8680, 84, 85syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) < (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆ’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต))) โˆˆ โ„•))
8778, 86mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) < (๐‘ pCnt ๐ด))
8879nn0red 12557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„)
8983nn0red 12557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„)
9088, 89ltnled 11385 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) < (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” ยฌ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต))))
9187, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ยฌ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)))
92 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
93 nprmdvds1 16670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ 1)
9493ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ 1)
95 gcdid0 16488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด gcd 0) = (absโ€˜๐ด))
9666, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐ด gcd 0) = (absโ€˜๐ด))
9796oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd 0)) = ((absโ€˜๐ด) / (absโ€˜๐ด)))
9848adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
9998, 62dividd 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (absโ€˜๐ด)) = 1)
10097, 99eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd 0)) = 1)
101100breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd 0)) โ†” ๐‘ โˆฅ 1))
10294, 101mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd 0)))
103 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ด gcd 0))
104103oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ต = 0 โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd 0)))
105104breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ต = 0 โ†’ (๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ†” ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd 0))))
10673, 105syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐ต = 0 โ†’ ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd 0))))
107106necon3bd 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (ยฌ ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd 0)) โ†’ ๐ต โ‰  0))
108102, 107mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ๐ต โ‰  0)
109 pczcl 16810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„•0)
11059, 92, 108, 109syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„•0)
111110nn0red 12557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„)
112 lemin 13197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))))
11389, 89, 111, 112syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))))
114 pcgcd 16840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
11559, 66, 92, 114syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
116115breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต))))
11789leidd 11804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))
118117biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))))
119113, 116, 1183bitr4rd 312 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†” (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต))))
12091, 119mtbird 325 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ ยฌ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))
121120expr 456 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ยฌ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)))
122121reximdva 3164 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)))
123 rexnal 3096 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†” ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))
124122, 123imbitrdi 250 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)))
12558, 124syl5 34 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)))
12657, 125orim12d 963 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1 โˆจ ((absโ€˜๐ด) / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โˆจ ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))))
12743, 126mpd 15 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โˆจ ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)))
128127ord 863 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (ยฌ ๐ด โˆฅ ๐ต โ†’ ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)))
129128con4d 115 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†’ ๐ด โˆฅ ๐ต))
130 2prm 16656 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„™
131130ne0ii 4333 . . . . 5 โ„™ โ‰  โˆ…
132 r19.2z 4490 . . . . 5 ((โ„™ โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))
133131, 132mpan 689 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))
134 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
135 zq 12962 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
136135adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
137 pcxcl 16823 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„*)
138134, 136, 137syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„*)
139 pnfge 13136 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„* โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค +โˆž)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค +โˆž)
141140biantrurd 532 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†” ((๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค +โˆž โˆง +โˆž โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))))
142 pc0 16816 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ pCnt 0) = +โˆž)
143142adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt 0) = +โˆž)
144143breq1d 5152 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†” +โˆž โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)))
145 pnfxr 11292 . . . . . . . . 9 +โˆž โˆˆ โ„*
146 xrletri3 13159 . . . . . . . . 9 (((๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ต) = +โˆž โ†” ((๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค +โˆž โˆง +โˆž โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))))
147138, 145, 146sylancl 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ต) = +โˆž โ†” ((๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค +โˆž โˆง +โˆž โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต))))
148141, 144, 1473bitr4d 311 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†” (๐‘ pCnt ๐ต) = +โˆž))
149 pnfnre 11279 . . . . . . . . . 10 +โˆž โˆ‰ โ„
150149neli 3044 . . . . . . . . 9 ยฌ +โˆž โˆˆ โ„
151 eleq1 2817 . . . . . . . . 9 ((๐‘ pCnt ๐ต) = +โˆž โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ โ†” +โˆž โˆˆ โ„))
152150, 151mtbiri 327 . . . . . . . 8 ((๐‘ pCnt ๐ต) = +โˆž โ†’ ยฌ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„)
153109nn0red 12557 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„)
154153adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„)
155154an4s 659 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„)
156155expr 456 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„))
157156necon1bd 2954 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (ยฌ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต = 0))
158152, 157syl5 34 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ต) = +โˆž โ†’ ๐ต = 0))
159148, 158sylbid 239 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†’ ๐ต = 0))
160159rexlimdva 3151 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†’ ๐ต = 0))
161 0dvds 16247 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐ต โ†” ๐ต = 0))
162161adantl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โˆฅ ๐ต โ†” ๐ต = 0))
163160, 162sylibrd 259 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†’ 0 โˆฅ ๐ต))
164133, 163syl5 34 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†’ 0 โˆฅ ๐ต))
1659, 129, 164pm2.61ne 3023 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต) โ†’ ๐ด โˆฅ ๐ต))
1664, 165impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2936  โˆ€wral 3057  โˆƒwrex 3066  โˆ…c0 4318  ifcif 4524   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  โ„cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   ยท cmul 11137  +โˆžcpnf 11269  โ„*cxr 11271   < clt 11272   โ‰ค cle 11273   โˆ’ cmin 11468   / cdiv 11895  โ„•cn 12236  2c2 12291  โ„•0cn0 12496  โ„คcz 12582  โ„คโ‰ฅcuz 12846  โ„šcq 12956  abscabs 15207   โˆฅ cdvds 16224   gcd cgcd 16462  โ„™cprime 16635   pCnt cpc 16798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-gcd 16463  df-prm 16636  df-pc 16799
This theorem is referenced by:  pc11  16842  pcz  16843  pcprmpw2  16844  pockthg  16868  pgpfi  19553  fislw  19573  gexexlem  19800  ablfac1c  20021  sqff1o  27107  chtublem  27137  bposlem6  27215  aks4d1p7d1  41547  aks4d1p8d2  41550
  Copyright terms: Public domain W3C validator