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Theorem pc2dvds 15863

Description: A characterization of divisibility in terms of prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pc2dvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐵,𝑝

**Proof of Theorem pc2dvds**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcdvdstr 15860	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
2	1	ancoms 450	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
3	2	ralrimiva 3112	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
4	3	3expia 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
5		oveq2 6849	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 0))
6	5	breq1d 4818	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
7	6	ralbidv 3132	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
8		breq1 4811	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
9	7, 8	imbi12d 335	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵)))
10		gcddvds 15507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
11	10	simpld 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
12		gcdcl 15510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
13	12	nn0zd 11726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
14		simpl 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
15		dvdsabsb 15287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴)))
16	13, 14, 15	syl2anc 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴)))
17	11, 16	mpbid 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴))
18	17	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴))
19		simpl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
20	19	necon3ai 2961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
21		gcdn0cl 15506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
22	20, 21	sylan2 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
23	22	nnzd 11727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
24	22	nnne0d 11321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
25		nnabscl 14351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
26	25	adantlr 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 11727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
28		dvdsval2 15269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
29	23, 24, 27, 28	syl3anc 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
30	18, 29	mpbid 223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
31		nnre 11281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
32		nngt0 11305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → 0 < (abs‘𝐴))
33	31, 32	jca 507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴)))
34		nnre 11281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
35		nngt0 11305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → 0 < (𝐴 gcd 𝐵))
36	34, 35	jca 507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵)))
37		divgt0 11144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵))) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
38	33, 36, 37	syl2an 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
39	26, 22, 38	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
40		elnnz 11633	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
41	30, 39, 40	sylanbrc 578	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
42		elnn1uz2 11965	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2)))
43	41, 42	sylib 209	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2)))
44	10	simprd 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
45	44	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
46		breq1 4811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
47	45, 46	syl5ibcom 236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
48	26	nncnd 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
49	22	nncnd 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
50		1cnd 10287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
51	48, 49, 50, 24	divmuld 11076	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (abs‘𝐴)))
52	49	mulid1d 10310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (𝐴 gcd 𝐵))
53	52	eqeq1d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (abs‘𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴)))
54	51, 53	bitrd 270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴)))
55		absdvdsb 15286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
56	55	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
57	47, 54, 56	3imtr4d 285	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 → 𝐴 ∥ 𝐵))
58		exprmfct 15696	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
59		simprl 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝑝 ∈ ℙ)
60	26	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
61	60	nnzd 11727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
62	60	nnne0d 11321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
63	22	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
64		pcdiv 15837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
65	59, 61, 62, 63, 64	syl121anc 1494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
66		simplll 791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
67		zq 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℚ)
69		pcabs 15859	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑝 pCnt 𝐴))
70	59, 68, 69	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑝 pCnt 𝐴))
71	70	oveq1d 6856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
72	65, 71	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
73		simprr 789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
74	41	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
75		pcelnn 15854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
76	59, 74, 75	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
77	73, 76	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ)
78	72, 77	eqeltrrd 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ)
79	59, 63	pccld 15835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ₀)
80	79	nn0zd 11726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
81		simplr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ≠ 0)
82		pczcl 15833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
83	59, 66, 81, 82	syl12anc 865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
84	83	nn0zd 11726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
85		znnsub 11669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ))
86	80, 84, 85	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ))
87	78, 86	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴))
88	79	nn0red 11598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℝ)
89	83	nn0red 11598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
90	88, 89	ltnled 10437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
91	87, 90	mpbid 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)))
92		simpllr 793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
93		nprmdvds1 15698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
94	93	ad2antrl 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
95		gcdid0 15523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
96	66, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
97	96	oveq2d 6857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
98	48	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
99	98, 62	dividd 11052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
100	97, 99	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) = 1)
101	100	breq2d 4820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) ↔ 𝑝 ∥ 1))
102	94, 101	mtbird 316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)))
103		oveq2 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐴 gcd 0))
104	103	oveq2d 6857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 = 0 → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)))
105	104	breq2d 4820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0))))
106	73, 105	syl5ibcom 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐵 = 0 → 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0))))
107	106	necon3bd 2950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (¬ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) → 𝐵 ≠ 0))
108	102, 107	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐵 ≠ 0)
109		pczcl 15833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ₀)
110	59, 92, 108, 109	syl12anc 865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ₀)
111	110	nn0red 11598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
112		lemin 12224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
113	89, 89, 111, 112	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
114		pcgcd 15862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
115	59, 66, 92, 114	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
116	115	breq2d 4820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵))))
117	89	leidd 10847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
118	117	biantrurd 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
119	113, 116, 118	3bitr4rd 303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
120	91, 119	mtbird 316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
121	120	expr 448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
122	121	reximdva 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
123		rexnal 3140	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
124	122, 123	syl6ib 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
125	58, 124	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2) → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
126	57, 125	orim12d 987	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ∨ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
127	43, 126	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ∨ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
128	127	ord 890	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ∥ 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
129	128	con4d 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵))
130		2prm 15686	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
131	130	ne0ii 4087	. . . . 5 ⊢ ℙ ≠ ∅
132		r19.2z 4218	. . . . 5 ⊢ ((ℙ ≠ ∅ ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
133	131, 132	mpan 681	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
134		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
135		zq 11994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
136	135	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℚ)
137		pcxcl 15845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^*)
138	134, 136, 137	syl2anr 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^*)
139		pnfge 12163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^* → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞)
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞)
141	140	biantrurd 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (+∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
142		pc0 15839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 pCnt 0) = +∞)
143	142	adantl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 0) = +∞)
144	143	breq1d 4818	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
145		pnfxr 10345	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
146		xrletri3 12186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
147	138, 145, 146	sylancl 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
148	141, 144, 147	3bitr4d 302	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) = +∞))
149		pnfnre 10334	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∉ ℝ
150	149	neli 3041	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
151		eleq1 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
152	150, 151	mtbiri 318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
153	109	nn0red 11598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
154	153	adantll 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
155	154	an4s 650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
156	155	expr 448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 ≠ 0 → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ))
157	156	necon1bd 2954	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ → 𝐵 = 0))
158	152, 157	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → 𝐵 = 0))
159	148, 158	sylbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐵 = 0))
160	159	rexlimdva 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐵 = 0))
161		0dvds 15288	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
162	161	adantl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
163	160, 162	sylibrd 250	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵))
164	133, 163	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵))
165	9, 129, 164	pm2.61ne 3021	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵))
166	4, 165	impbid 203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 197 ∧ wa 384 ∨ wo 873 ∧ w3a 1107 = wceq 1652 ∈ wcel 2155 ≠ wne 2936 ∀wral 3054 ∃wrex 3055 ∅c0 4078 ifcif 4242 class class class wbr 4808 ‘cfv 6067 (class class class)co 6841 ℂcc 10186 ℝcr 10187 0cc0 10188 1c1 10189 · cmul 10193 +∞cpnf 10324 ℝ^*cxr 10326 < clt 10327 ≤ cle 10328 − cmin 10519 / cdiv 10937 ℕcn 11273 2c2 11326 ℕ₀cn0 11537 ℤcz 11623 ℤ_≥cuz 11885 ℚcq 11988 abscabs 14260 ∥ cdvds 15266 gcd cgcd 15498 ℙcprime 15666 pCnt cpc 15821

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1890 ax-4 1904 ax-5 2005 ax-6 2069 ax-7 2105 ax-8 2157 ax-9 2164 ax-10 2183 ax-11 2198 ax-12 2211 ax-13 2349 ax-ext 2742 ax-sep 4940 ax-nul 4948 ax-pow 5000 ax-pr 5061 ax-un 7146 ax-cnex 10244 ax-resscn 10245 ax-1cn 10246 ax-icn 10247 ax-addcl 10248 ax-addrcl 10249 ax-mulcl 10250 ax-mulrcl 10251 ax-mulcom 10252 ax-addass 10253 ax-mulass 10254 ax-distr 10255 ax-i2m1 10256 ax-1ne0 10257 ax-1rid 10258 ax-rnegex 10259 ax-rrecex 10260 ax-cnre 10261 ax-pre-lttri 10262 ax-pre-lttrn 10263 ax-pre-ltadd 10264 ax-pre-mulgt0 10265 ax-pre-sup 10266

This theorem depends on definitions: df-bi 198 df-an 385 df-or 874 df-3or 1108 df-3an 1109 df-tru 1656 df-ex 1875 df-nf 1879 df-sb 2062 df-mo 2564 df-eu 2581 df-clab 2751 df-cleq 2757 df-clel 2760 df-nfc 2895 df-ne 2937 df-nel 3040 df-ral 3059 df-rex 3060 df-reu 3061 df-rmo 3062 df-rab 3063 df-v 3351 df-sbc 3596 df-csb 3691 df-dif 3734 df-un 3736 df-in 3738 df-ss 3745 df-pss 3747 df-nul 4079 df-if 4243 df-pw 4316 df-sn 4334 df-pr 4336 df-tp 4338 df-op 4340 df-uni 4594 df-iun 4677 df-br 4809 df-opab 4871 df-mpt 4888 df-tr 4911 df-id 5184 df-eprel 5189 df-po 5197 df-so 5198 df-fr 5235 df-we 5237 df-xp 5282 df-rel 5283 df-cnv 5284 df-co 5285 df-dm 5286 df-rn 5287 df-res 5288 df-ima 5289 df-pred 5864 df-ord 5910 df-on 5911 df-lim 5912 df-suc 5913 df-iota 6030 df-fun 6069 df-fn 6070 df-f 6071 df-f1 6072 df-fo 6073 df-f1o 6074 df-fv 6075 df-riota 6802 df-ov 6844 df-oprab 6845 df-mpt2 6846 df-om 7263 df-1st 7365 df-2nd 7366 df-wrecs 7609 df-recs 7671 df-rdg 7709 df-1o 7763 df-2o 7764 df-er 7946 df-en 8160 df-dom 8161 df-sdom 8162 df-fin 8163 df-sup 8554 df-inf 8555 df-pnf 10329 df-mnf 10330 df-xr 10331 df-ltxr 10332 df-le 10333 df-sub 10521 df-neg 10522 df-div 10938 df-nn 11274 df-2 11334 df-3 11335 df-n0 11538 df-z 11624 df-uz 11886 df-q 11989 df-rp 12028 df-fz 12533 df-fl 12800 df-mod 12876 df-seq 13008 df-exp 13067 df-cj 14125 df-re 14126 df-im 14127 df-sqrt 14261 df-abs 14262 df-dvds 15267 df-gcd 15499 df-prm 15667 df-pc 15822

This theorem is referenced by: pc11 15864 pcz 15865 pcprmpw2 15866 pockthg 15890 pgpfi 18285 fislw 18305 gexexlem 18520 ablfac1c 18736 sqff1o 25198 chtublem 25226 bposlem6 25304

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