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Theorem pc2dvds 16856
Description: A characterization of divisibility in terms of prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pc2dvds ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem pc2dvds
StepHypRef Expression
1 pcdvdstr 16853 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
21ancoms 457 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
32ralrimiva 3135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
433expia 1118 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
5 oveq2 7427 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 0))
65breq1d 5159 . . . . 5 (𝐴 = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
76ralbidv 3167 . . . 4 (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
8 breq1 5152 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
97, 8imbi12d 343 . . 3 (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵)))
10 gcddvds 16486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
1110simpld 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
12 gcdcl 16489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
1312nn0zd 12622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
14 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
15 dvdsabsb 16261 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴)))
1613, 14, 15syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴)))
1711, 16mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴))
1817adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴))
19 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
2019necon3ai 2954 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
21 gcdn0cl 16485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
2220, 21sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
2322nnzd 12623 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
2422nnne0d 12300 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
25 nnabscl 15313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
2625adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
2726nnzd 12623 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
28 dvdsval2 16242 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
2923, 24, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
3018, 29mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
31 nnre 12257 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
32 nngt0 12281 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → 0 < (abs‘𝐴))
3331, 32jca 510 . . . . . . . . . 10 ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴)))
34 nnre 12257 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
35 nngt0 12281 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → 0 < (𝐴 gcd 𝐵))
3634, 35jca 510 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵)))
37 divgt0 12120 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵))) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
3833, 36, 37syl2an 594 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
3926, 22, 38syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
40 elnnz 12606 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
4130, 39, 40sylanbrc 581 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
42 elnn1uz2 12947 . . . . . . 7 (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ‘2)))
4341, 42sylib 217 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ‘2)))
4410simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
4544adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
46 breq1 5152 . . . . . . . . 9 ((𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
4745, 46syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
4826nncnd 12266 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
4922nncnd 12266 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
50 1cnd 11246 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
5148, 49, 50, 24divmuld 12050 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (abs‘𝐴)))
5249mulridd 11268 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (𝐴 gcd 𝐵))
5352eqeq1d 2727 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (abs‘𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴)))
5451, 53bitrd 278 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴)))
55 absdvdsb 16260 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
5655adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
5747, 54, 563imtr4d 293 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 → 𝐴𝐵))
58 exprmfct 16683 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
59 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝑝 ∈ ℙ)
6026adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
6160nnzd 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
6260nnne0d 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
6322adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
64 pcdiv 16829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
6559, 61, 62, 63, 64syl121anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
66 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
67 zq 12976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℚ)
69 pcabs 16852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑝 pCnt 𝐴))
7059, 68, 69syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑝 pCnt 𝐴))
7170oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
7265, 71eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
73 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
7441adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
75 pcelnn 16847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
7659, 74, 75syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
7773, 76mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ)
7872, 77eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ)
7959, 63pccld 16827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0)
8079nn0zd 12622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
81 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ≠ 0)
82 pczcl 16825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
8359, 66, 81, 82syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
8483nn0zd 12622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
85 znnsub 12646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ))
8680, 84, 85syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ))
8778, 86mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴))
8879nn0red 12571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℝ)
8983nn0red 12571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
9088, 89ltnled 11398 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
9187, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)))
92 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
93 nprmdvds1 16685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
9493ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
95 gcdid0 16503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
9666, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
9796oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
9848adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
9998, 62dividd 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
10097, 99eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) = 1)
101100breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) ↔ 𝑝 ∥ 1))
10294, 101mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)))
103 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 = 0 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐴 gcd 0))
104103oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 = 0 → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)))
105104breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 = 0 → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0))))
10673, 105syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐵 = 0 → 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0))))
107106necon3bd 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (¬ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) → 𝐵 ≠ 0))
108102, 107mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐵 ≠ 0)
109 pczcl 16825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
11059, 92, 108, 109syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
111110nn0red 12571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
112 lemin 13211 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
11389, 89, 111, 112syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
114 pcgcd 16855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
11559, 66, 92, 114syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
116115breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵))))
11789leidd 11817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
118117biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
119113, 116, 1183bitr4rd 311 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
12091, 119mtbird 324 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
121120expr 455 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
122121reximdva 3157 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
123 rexnal 3089 . . . . . . . . 9 (∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
124122, 123imbitrdi 250 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
12558, 124syl5 34 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ‘2) → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
12657, 125orim12d 962 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵 ∨ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
12743, 126mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝐵 ∨ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
128127ord 862 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
129128con4d 115 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴𝐵))
130 2prm 16671 . . . . . 6 2 ∈ ℙ
131130ne0ii 4337 . . . . 5 ℙ ≠ ∅
132 r19.2z 4496 . . . . 5 ((ℙ ≠ ∅ ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
133131, 132mpan 688 . . . 4 (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
134 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
135 zq 12976 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
136135adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℚ)
137 pcxcl 16838 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*)
138134, 136, 137syl2anr 595 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*)
139 pnfge 13150 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ* → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞)
141140biantrurd 531 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (+∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
142 pc0 16831 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 pCnt 0) = +∞)
143142adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 0) = +∞)
144143breq1d 5159 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
145 pnfxr 11305 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
146 xrletri3 13173 . . . . . . . . 9 (((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
147138, 145, 146sylancl 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
148141, 144, 1473bitr4d 310 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) = +∞))
149 pnfnre 11292 . . . . . . . . . 10 +∞ ∉ ℝ
150149neli 3037 . . . . . . . . 9 ¬ +∞ ∈ ℝ
151 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
152150, 151mtbiri 326 . . . . . . . 8 ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
153109nn0red 12571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
154153adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
155154an4s 658 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
156155expr 455 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 ≠ 0 → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ))
157156necon1bd 2947 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ → 𝐵 = 0))
158152, 157syl5 34 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → 𝐵 = 0))
159148, 158sylbid 239 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐵 = 0))
160159rexlimdva 3144 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐵 = 0))
161 0dvds 16262 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
162161adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
163160, 162sylibrd 258 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵))
164133, 163syl5 34 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵))
1659, 129, 164pm2.61ne 3016 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴𝐵))
1664, 165impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  c0 4322  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11143  cr 11144  0cc0 11145  1c1 11146   · cmul 11150  +∞cpnf 11282  *cxr 11284   < clt 11285  cle 11286  cmin 11481   / cdiv 11908  cn 12250  2c2 12305  0cn0 12510  cz 12596  cuz 12860  cq 12970  abscabs 15222  cdvds 16239   gcd cgcd 16477  cprime 16650   pCnt cpc 16813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-inf 9473  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fl 13798  df-mod 13876  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-dvds 16240  df-gcd 16478  df-prm 16651  df-pc 16814
This theorem is referenced by:  pc11  16857  pcz  16858  pcprmpw2  16859  pockthg  16883  pgpfi  19577  fislw  19597  gexexlem  19824  ablfac1c  20045  sqff1o  27164  chtublem  27194  bposlem6  27272  aks4d1p7d1  41687  aks4d1p8d2  41690
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