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Theorem pc2dvds 16913

Description: A characterization of divisibility in terms of prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pc2dvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐵,𝑝

**Proof of Theorem pc2dvds**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcdvdstr 16910	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
2	1	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
3	2	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
4	3	3expia 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
5		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 0))
6	5	breq1d 5158	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
7	6	ralbidv 3176	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
8		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
9	7, 8	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵)))
10		gcddvds 16537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
11	10	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
12		gcdcl 16540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
13	12	nn0zd 12637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
14		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
15		dvdsabsb 16310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴)))
16	13, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴)))
17	11, 16	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴))
18	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴))
19		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
20	19	necon3ai 2963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
21		gcdn0cl 16536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
22	20, 21	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
24	22	nnne0d 12314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
25		nnabscl 15361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
26	25	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
28		dvdsval2 16290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
29	23, 24, 27, 28	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
30	18, 29	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
31		nnre 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
32		nngt0 12295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → 0 < (abs‘𝐴))
33	31, 32	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴)))
34		nnre 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
35		nngt0 12295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → 0 < (𝐴 gcd 𝐵))
36	34, 35	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵)))
37		divgt0 12134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵))) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
38	33, 36, 37	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
39	26, 22, 38	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
40		elnnz 12621	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
41	30, 39, 40	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
42		elnn1uz2 12965	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2)))
43	41, 42	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2)))
44	10	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
46		breq1 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
47	45, 46	syl5ibcom 245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
48	26	nncnd 12280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
49	22	nncnd 12280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
50		1cnd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
51	48, 49, 50, 24	divmuld 12063	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (abs‘𝐴)))
52	49	mulridd 11276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (𝐴 gcd 𝐵))
53	52	eqeq1d 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (abs‘𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴)))
54	51, 53	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴)))
55		absdvdsb 16309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
56	55	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
57	47, 54, 56	3imtr4d 294	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 → 𝐴 ∥ 𝐵))
58		exprmfct 16738	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
59		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝑝 ∈ ℙ)
60	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
61	60	nnzd 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
62	60	nnne0d 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
63	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
64		pcdiv 16886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
65	59, 61, 62, 63, 64	syl121anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
66		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
67		zq 12994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℚ)
69		pcabs 16909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑝 pCnt 𝐴))
70	59, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑝 pCnt 𝐴))
71	70	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
72	65, 71	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
73		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
74	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
75		pcelnn 16904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
76	59, 74, 75	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
77	73, 76	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ)
78	72, 77	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ)
79	59, 63	pccld 16884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ₀)
80	79	nn0zd 12637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
81		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ≠ 0)
82		pczcl 16882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
83	59, 66, 81, 82	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
84	83	nn0zd 12637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
85		znnsub 12661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ))
86	80, 84, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ))
87	78, 86	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴))
88	79	nn0red 12586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℝ)
89	83	nn0red 12586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
90	88, 89	ltnled 11406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
91	87, 90	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)))
92		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
93		nprmdvds1 16740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
94	93	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
95		gcdid0 16554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
96	66, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
97	96	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
98	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
99	98, 62	dividd 12039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
100	97, 99	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) = 1)
101	100	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) ↔ 𝑝 ∥ 1))
102	94, 101	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)))
103		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐴 gcd 0))
104	103	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 = 0 → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)))
105	104	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0))))
106	73, 105	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐵 = 0 → 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0))))
107	106	necon3bd 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (¬ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) → 𝐵 ≠ 0))
108	102, 107	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐵 ≠ 0)
109		pczcl 16882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ₀)
110	59, 92, 108, 109	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ₀)
111	110	nn0red 12586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
112		lemin 13231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
113	89, 89, 111, 112	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
114		pcgcd 16912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
115	59, 66, 92, 114	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
116	115	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵))))
117	89	leidd 11827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
118	117	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
119	113, 116, 118	3bitr4rd 312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
120	91, 119	mtbird 325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
121	120	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
122	121	reximdva 3166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
123		rexnal 3098	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
124	122, 123	imbitrdi 251	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
125	58, 124	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2) → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
126	57, 125	orim12d 966	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ∨ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
127	43, 126	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ∨ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
128	127	ord 864	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ∥ 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
129	128	con4d 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵))
130		2prm 16726	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
131	130	ne0ii 4350	. . . . 5 ⊢ ℙ ≠ ∅
132		r19.2z 4501	. . . . 5 ⊢ ((ℙ ≠ ∅ ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
133	131, 132	mpan 690	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
134		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
135		zq 12994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
136	135	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℚ)
137		pcxcl 16895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^*)
138	134, 136, 137	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^*)
139		pnfge 13170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^* → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞)
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞)
141	140	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (+∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
142		pc0 16888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 pCnt 0) = +∞)
143	142	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 0) = +∞)
144	143	breq1d 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
145		pnfxr 11313	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
146		xrletri3 13193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
147	138, 145, 146	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
148	141, 144, 147	3bitr4d 311	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) = +∞))
149		pnfnre 11300	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∉ ℝ
150	149	neli 3046	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
151		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
152	150, 151	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
153	109	nn0red 12586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
154	153	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
155	154	an4s 660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
156	155	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 ≠ 0 → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ))
157	156	necon1bd 2956	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ → 𝐵 = 0))
158	152, 157	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → 𝐵 = 0))
159	148, 158	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐵 = 0))
160	159	rexlimdva 3153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐵 = 0))
161		0dvds 16311	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
162	161	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
163	160, 162	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵))
164	133, 163	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵))
165	9, 129, 164	pm2.61ne 3025	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵))
166	4, 165	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2938 ∀wral 3059 ∃wrex 3068 ∅c0 4339 ifcif 4531 class class class wbr 5148 ‘cfv 6563 (class class class)co 7431 ℂcc 11151 ℝcr 11152 0cc0 11153 1c1 11154 · cmul 11158 +∞cpnf 11290 ℝ^*cxr 11292 < clt 11293 ≤ cle 11294 − cmin 11490 / cdiv 11918 ℕcn 12264 2c2 12319 ℕ₀cn0 12524 ℤcz 12611 ℤ_≥cuz 12876 ℚcq 12988 abscabs 15270 ∥ cdvds 16287 gcd cgcd 16528 ℙcprime 16705 pCnt cpc 16870

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230 ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3378 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-pss 3983 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-op 4638 df-uni 4913 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5583 df-eprel 5589 df-po 5597 df-so 5598 df-fr 5641 df-we 5643 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-pred 6323 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8013 df-2nd 8014 df-frecs 8305 df-wrecs 8336 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-1o 8505 df-2o 8506 df-er 8744 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-fin 8988 df-sup 9480 df-inf 9481 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-div 11919 df-nn 12265 df-2 12327 df-3 12328 df-n0 12525 df-z 12612 df-uz 12877 df-q 12989 df-rp 13033 df-fz 13545 df-fl 13829 df-mod 13907 df-seq 14040 df-exp 14100 df-cj 15135 df-re 15136 df-im 15137 df-sqrt 15271 df-abs 15272 df-dvds 16288 df-gcd 16529 df-prm 16706 df-pc 16871

This theorem is referenced by: pc11 16914 pcz 16915 pcprmpw2 16916 pockthg 16940 pgpfi 19638 fislw 19658 gexexlem 19885 ablfac1c 20106 sqff1o 27240 chtublem 27270 bposlem6 27348 aks4d1p7d1 42064 aks4d1p8d2 42067

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