Theorem odhash3 19254

Description: An element which generates a finite subgroup has order the size of that subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odhash3	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))

Proof of Theorem odhash3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odhash.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odhash.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3	1, 2	odcl 19217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
5		hashcl 14149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 12373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ)
7		pnfnre 11095	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∉ ℝ
8	7	neli 3048	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
9		odhash.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
10	1, 2, 9	odhash 19252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)
11	10	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
12	8, 11	mtbiri 326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ)
13	12	3expia 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ¬ (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ))
14	13	necon2ad 2955	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
15	6, 14	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
16	15	3impia 1116	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
17		elnnne0 12326	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
18	4, 16, 17	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
19	1, 2, 9	odhash2 19253	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂‘𝐴))
20	18, 19	syld3an3 1408	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂‘𝐴))
21	20	eqcomd 2742	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  {csn 4570  ‘cfv 6465  Fincfn 8782  ℝcr 10949  0cc0 10950  +∞cpnf 11085  ℕcn 12052  ℕ₀cn0 12312  ♯chash 14123  Basecbs 16986  mrClscmrc 17366  Grpcgrp 18650  SubGrpcsubg 18822  odcod 19205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-oadd 8349  df-omul 8350  df-er 8547  df-map 8666  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-sup 9277  df-inf 9278  df-oi 9345  df-card 9774  df-acn 9777  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-rp 12810  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-fl 13591  df-mod 13669  df-seq 13801  df-exp 13862  df-hash 14124  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-dvds 16040  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-0g 17226  df-mre 17369  df-mrc 17370  df-acs 17372  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-submnd 18505  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-sbg 18655  df-mulg 18774  df-subg 18825  df-od 19209

This theorem is referenced by: (None)