MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odhash3 19609
Description: An element which generates a finite subgroup has order the size of that subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odhash3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))

Proof of Theorem odhash3
StepHypRef Expression
1 odhash.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odhash.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
31, 2odcl 19569 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
433ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
5 hashcl 14392 . . . . . . 7 ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℕ0)
65nn0red 12586 . . . . . 6 ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ)
7 pnfnre 11300 . . . . . . . . . 10 +∞ ∉ ℝ
87neli 3046 . . . . . . . . 9 ¬ +∞ ∈ ℝ
9 odhash.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
101, 2, 9odhash 19607 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)
1110eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
128, 11mtbiri 327 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ)
13123expia 1120 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 → ¬ (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ))
1413necon2ad 2953 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ → (𝑂𝐴) ≠ 0))
156, 14syl5 34 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (𝑂𝐴) ≠ 0))
16153impia 1116 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) ≠ 0)
17 elnnne0 12538 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝐴) ≠ 0))
184, 16, 17sylanbrc 583 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
191, 2, 9odhash2 19608 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂𝐴))
2018, 19syld3an3 1408 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂𝐴))
2120eqcomd 2741 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {csn 4631  cfv 6563  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  cn 12264  0cn0 12524  chash 14366  Basecbs 17245  mrClscmrc 17628  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  odcod 19557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-od 19561
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator