MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odhash3 18621
Description: An element which generates a finite subgroup has order the size of that subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odhash3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))

Proof of Theorem odhash3
StepHypRef Expression
1 odhash.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odhash.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
31, 2odcl 18584 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
433ad2ant2 1128 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
5 hashcl 13707 . . . . . . 7 ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℕ0)
65nn0red 11945 . . . . . 6 ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ)
7 pnfnre 10671 . . . . . . . . . 10 +∞ ∉ ℝ
87neli 3130 . . . . . . . . 9 ¬ +∞ ∈ ℝ
9 odhash.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
101, 2, 9odhash 18619 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)
1110eleq1d 2902 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
128, 11mtbiri 328 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ)
13123expia 1115 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 → ¬ (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ))
1413necon2ad 3036 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ → (𝑂𝐴) ≠ 0))
156, 14syl5 34 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (𝑂𝐴) ≠ 0))
16153impia 1111 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) ≠ 0)
17 elnnne0 11900 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝐴) ≠ 0))
184, 16, 17sylanbrc 583 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
191, 2, 9odhash2 18620 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂𝐴))
2018, 19syld3an3 1403 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂𝐴))
2120eqcomd 2832 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  {csn 4564  cfv 6352  Fincfn 8498  cr 10525  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  cn 11627  0cn0 11886  chash 13680  Basecbs 16473  mrClscmrc 16844  Grpcgrp 18033  SubGrpcsubg 18203  odcod 18572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-dvds 15598  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-mulg 18155  df-subg 18206  df-od 18576
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator