Theorem odhash3 19797

Description: An element which generates a finite subgroup has order the size of that subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odhash3	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))

Proof of Theorem odhash3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odhash.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odhash.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3	1, 2	odcl 19757	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
5		hashcl 14505	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 12673	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ)
7		pnfnre 11355	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∉ ℝ
8	7	neli 3063	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
9		odhash.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
10	1, 2, 9	odhash 19795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)
11	10	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
12	8, 11	mtbiri 330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ)
13	12	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ¬ (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ))
14	13	necon2ad 2970	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
15	6, 14	syl5 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
16	15	3impia 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
17		elnnne0 12625	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
18	4, 16, 17	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
19	1, 2, 9	odhash2 19796	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂‘𝐴))
20	18, 19	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂‘𝐴))
21	20	eqcomd 2766	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {csn 4584  ‘cfv 6541  Fincfn 8978  ℝcr 11204  0cc0 11205  +∞cpnf 11345  ℕcn 12340  ℕ₀cn0 12611  ♯chash 14479  Basecbs 17394  mrClscmrc 17760  Grpcgrp 19151  SubGrpcsubg 19337  odcod 19745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-acn 10028  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-mod 14015  df-seq 14150  df-exp 14210  df-hash 14480  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-dvds 16430  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-0g 17619  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-mulg 19285  df-subg 19340  df-od 19749

This theorem is used by: (None)