Theorem odhash3 19443

Description: An element which generates a finite subgroup has order the size of that subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odhash3	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))

Proof of Theorem odhash3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odhash.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odhash.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3	1, 2	odcl 19403	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
5		hashcl 14315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 12532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ)
7		pnfnre 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∉ ℝ
8	7	neli 3048	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
9		odhash.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
10	1, 2, 9	odhash 19441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)
11	10	eleq1d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
12	8, 11	mtbiri 326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ)
13	12	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ¬ (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ))
14	13	necon2ad 2955	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
15	6, 14	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
16	15	3impia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
17		elnnne0 12485	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
18	4, 16, 17	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
19	1, 2, 9	odhash2 19442	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂‘𝐴))
20	18, 19	syld3an3 1409	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂‘𝐴))
21	20	eqcomd 2738	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂‘𝐴) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {csn 4628  ‘cfv 6543  Fincfn 8938  ℝcr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  ♯chash 14289  Basecbs 17143  mrClscmrc 17526  Grpcgrp 18818  SubGrpcsubg 18999  odcod 19391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-od 19395

This theorem is referenced by: (None)