MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odhash3 19538
Description: An element which generates a finite subgroup has order the size of that subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odhash3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))

Proof of Theorem odhash3
StepHypRef Expression
1 odhash.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odhash.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
31, 2odcl 19498 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
433ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
5 hashcl 14355 . . . . . . 7 ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℕ0)
65nn0red 12571 . . . . . 6 ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ)
7 pnfnre 11293 . . . . . . . . . 10 +∞ ∉ ℝ
87neli 3045 . . . . . . . . 9 ¬ +∞ ∈ ℝ
9 odhash.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
101, 2, 9odhash 19536 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)
1110eleq1d 2814 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
128, 11mtbiri 326 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ)
13123expia 1118 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 → ¬ (♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ))
1413necon2ad 2952 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((♯‘(𝐾‘{𝐴})) ∈ ℝ → (𝑂𝐴) ≠ 0))
156, 14syl5 34 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin → (𝑂𝐴) ≠ 0))
16153impia 1114 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) ≠ 0)
17 elnnne0 12524 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝐴) ≠ 0))
184, 16, 17sylanbrc 581 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
191, 2, 9odhash2 19537 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂𝐴))
2018, 19syld3an3 1406 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂𝐴))
2120eqcomd 2734 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐾‘{𝐴}) ∈ Fin) → (𝑂𝐴) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  {csn 4632  cfv 6553  Fincfn 8970  cr 11145  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  cn 12250  0cn0 12510  chash 14329  Basecbs 17187  mrClscmrc 17570  Grpcgrp 18897  SubGrpcsubg 19082  odcod 19486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-od 19490
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator