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Theorem xrsdsreclblem 20843
Description: Lemma for xrsdsreclb 20844. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreclblem (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xrsdsreclblem
StepHypRef Expression
1 necom 2997 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 xrleltne 13064 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
3 mnfxr 11212 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
5 simpl1 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 pnfnre 11196 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∉ ℝ
87neli 3051 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ +∞ ∈ ℝ
9 mnfle 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
105, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝐴)
11 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐵)
124, 5, 6, 10, 11xrlelttrd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
13 xrltne 13082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
144, 6, 12, 13syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
15 xaddpnf1 13145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
166, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
1716eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
188, 17mtbiri 326 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ)
19 ngtmnft 13085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
21 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ)
22 xnegeq 13126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
23 xnegmnf 13129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -𝑒-∞ = +∞
2422, 23eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
2524oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = -∞ → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 +𝑒 +∞))
2625eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2721, 26syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ → (𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2820, 27sylbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (¬ -∞ < 𝐴 → (𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2918, 28mt3d 148 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
30 xrre2 13089 . . . . . . . . . . 11 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
314, 5, 6, 29, 11, 30syl32anc 1378 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
345xnegcld 13219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
35 xnegpnf 13128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -𝑒+∞ = -∞
36 pnfge 13051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
376, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ +∞)
385, 6, 33, 11, 37xrltletrd 13080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < +∞)
39 xltnegi 13135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 < +∞) → -𝑒+∞ < -𝑒𝐴)
405, 33, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -𝑒+∞ < -𝑒𝐴)
4135, 40eqbrtrrid 5141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < -𝑒𝐴)
42 xrltne 13082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -𝑒𝐴) → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
434, 34, 41, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
44 xaddpnf2 13146 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
4534, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
4645eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ((+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
478, 46mtbiri 326 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ)
48 nltpnft 13083 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
496, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
50 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴))
5150eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = +∞ → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5221, 51syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5349, 52sylbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < +∞ → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5447, 53mt3d 148 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 < +∞)
55 xrre2 13089 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
565, 6, 33, 11, 54, 55syl32anc 1378 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5731, 56jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
5857ex 413 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
59583expia 1121 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
60593adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
612, 60sylbird 259 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵𝐴 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
621, 61biimtrid 241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
63623exp 1119 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
6463com34 91 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
65643imp1 1347 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  -𝑒cxne 13030   +𝑒 cxad 13031  distcds 17142  *𝑠cxrs 17382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-xneg 13033  df-xadd 13034
This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  20844
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