MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsreclblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsdsreclblem 20866
Description: Lemma for xrsdsreclb 20867. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d 𝐷 = (distβ€˜β„*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreclblem (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xrsdsreclblem
StepHypRef Expression
1 necom 2994 . . . . 5 (𝐴 β‰  𝐡 ↔ 𝐡 β‰  𝐴)
2 xrleltne 13073 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 𝐡 β‰  𝐴))
3 mnfxr 11220 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
5 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
6 simpl2 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
7 pnfnre 11204 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ βˆ‰ ℝ
87neli 3048 . . . . . . . . . . . . 13 Β¬ +∞ ∈ ℝ
9 mnfle 13063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ 𝐴)
105, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -∞ ≀ 𝐴)
11 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐴 < 𝐡)
124, 5, 6, 10, 11xrlelttrd 13088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -∞ < 𝐡)
13 xrltne 13091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  -∞)
144, 6, 12, 13syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐡 β‰  -∞)
15 xaddpnf1 13154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 β‰  -∞) β†’ (𝐡 +𝑒 +∞) = +∞)
166, 14, 15syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐡 +𝑒 +∞) = +∞)
1716eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ ((𝐡 +𝑒 +∞) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
188, 17mtbiri 327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ Β¬ (𝐡 +𝑒 +∞) ∈ ℝ)
19 ngtmnft 13094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴 = -∞ ↔ Β¬ -∞ < 𝐴))
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 = -∞ ↔ Β¬ -∞ < 𝐴))
21 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ)
22 xnegeq 13135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = -∞ β†’ -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
23 xnegmnf 13138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -𝑒-∞ = +∞
2422, 23eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = -∞ β†’ -𝑒𝐴 = +∞)
2524oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = -∞ β†’ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐡 +𝑒 +∞))
2625eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = -∞ β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (𝐡 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2721, 26syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 = -∞ β†’ (𝐡 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2820, 27sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (Β¬ -∞ < 𝐴 β†’ (𝐡 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2918, 28mt3d 148 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -∞ < 𝐴)
30 xrre2 13098 . . . . . . . . . . 11 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
314, 5, 6, 29, 11, 30syl32anc 1379 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32 pnfxr 11217 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
345xnegcld 13228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
35 xnegpnf 13137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -𝑒+∞ = -∞
36 pnfge 13059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐡 ∈ ℝ* β†’ 𝐡 ≀ +∞)
376, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ≀ +∞)
385, 6, 33, 11, 37xrltletrd 13089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐴 < +∞)
39 xltnegi 13144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) β†’ -𝑒+∞ < -𝑒𝐴)
405, 33, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -𝑒+∞ < -𝑒𝐴)
4135, 40eqbrtrrid 5145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -∞ < -𝑒𝐴)
42 xrltne 13091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -𝑒𝐴) β†’ -𝑒𝐴 β‰  -∞)
434, 34, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -𝑒𝐴 β‰  -∞)
44 xaddpnf2 13155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 β‰  -∞) β†’ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
4534, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
4645eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ ((+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
478, 46mtbiri 327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ Β¬ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ)
48 nltpnft 13092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ ℝ* β†’ (𝐡 = +∞ ↔ Β¬ 𝐡 < +∞))
496, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐡 = +∞ ↔ Β¬ 𝐡 < +∞))
50 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 = +∞ β†’ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴))
5150eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 = +∞ β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5221, 51syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐡 = +∞ β†’ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5349, 52sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝐡 < +∞ β†’ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5447, 53mt3d 148 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐡 < +∞)
55 xrre2 13098 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐡 ∧ 𝐡 < +∞)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
565, 6, 33, 11, 54, 55syl32anc 1379 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5731, 56jca 513 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
5857ex 414 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))
59583expia 1122 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))
60593adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))
612, 60sylbird 260 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐡 β‰  𝐴 β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))
621, 61biimtrid 241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))
63623exp 1120 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐡 ∈ ℝ* β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))))
6463com34 91 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐡 ∈ ℝ* β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))))
65643imp1 1348 1 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  +∞cpnf 11194  -∞cmnf 11195  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  -𝑒cxne 13038   +𝑒 cxad 13039  distcds 17150  β„*𝑠cxrs 17390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-xneg 13041  df-xadd 13042
This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  20867
  Copyright terms: Public domain W3C validator