MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsreclblem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xrsdsreclblem 21192
Description: Lemma for xrsdsreclb 21193. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d 𝐷 = (distβ€˜β„*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreclblem (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))
Proof of Theorem xrsdsreclblem
StepHypRef Expression
1 necom 2993 . . . . 5 (𝐴 β‰  𝐡 ↔ 𝐡 β‰  𝐴)
2 xrleltne 13129 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 𝐡 β‰  𝐴))
3 mnfxr 11276 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
5 simpl1 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
6 simpl2 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
7 pnfnre 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ βˆ‰ ℝ
87neli 3047 . . . . . . . . . . . . 13 Β¬ +∞ ∈ ℝ
9 mnfle 13119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ 𝐴)
105, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -∞ ≀ 𝐴)
11 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐴 < 𝐡)
124, 5, 6, 10, 11xrlelttrd 13144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -∞ < 𝐡)
13 xrltne 13147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  -∞)
144, 6, 12, 13syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐡 β‰  -∞)
15 xaddpnf1 13210 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 β‰  -∞) β†’ (𝐡 +𝑒 +∞) = +∞)
166, 14, 15syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐡 +𝑒 +∞) = +∞)
1716eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ ((𝐡 +𝑒 +∞) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
188, 17mtbiri 327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ Β¬ (𝐡 +𝑒 +∞) ∈ ℝ)
19 ngtmnft 13150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴 = -∞ ↔ Β¬ -∞ < 𝐴))
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 = -∞ ↔ Β¬ -∞ < 𝐴))
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ)
22 xnegeq 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = -∞ β†’ -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
23 xnegmnf 13194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -𝑒-∞ = +∞
2422, 23eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = -∞ β†’ -𝑒𝐴 = +∞)
2524oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = -∞ β†’ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐡 +𝑒 +∞))
2625eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = -∞ β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (𝐡 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2721, 26syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 = -∞ β†’ (𝐡 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2820, 27sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (Β¬ -∞ < 𝐴 β†’ (𝐡 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2918, 28mt3d 148 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -∞ < 𝐴)
30 xrre2 13154 . . . . . . . . . . 11 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
314, 5, 6, 29, 11, 30syl32anc 1377 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32 pnfxr 11273 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
345xnegcld 13284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
35 xnegpnf 13193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -𝑒+∞ = -∞
36 pnfge 13115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐡 ∈ ℝ* β†’ 𝐡 ≀ +∞)
376, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ≀ +∞)
385, 6, 33, 11, 37xrltletrd 13145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐴 < +∞)
39 xltnegi 13200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) β†’ -𝑒+∞ < -𝑒𝐴)
405, 33, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -𝑒+∞ < -𝑒𝐴)
4135, 40eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -∞ < -𝑒𝐴)
42 xrltne 13147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -𝑒𝐴) β†’ -𝑒𝐴 β‰  -∞)
434, 34, 41, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ -𝑒𝐴 β‰  -∞)
44 xaddpnf2 13211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 β‰  -∞) β†’ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
4534, 43, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
4645eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ ((+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
478, 46mtbiri 327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ Β¬ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ)
48 nltpnft 13148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ ℝ* β†’ (𝐡 = +∞ ↔ Β¬ 𝐡 < +∞))
496, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐡 = +∞ ↔ Β¬ 𝐡 < +∞))
50 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 = +∞ β†’ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴))
5150eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 = +∞ β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5221, 51syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐡 = +∞ β†’ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5349, 52sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝐡 < +∞ β†’ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5447, 53mt3d 148 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐡 < +∞)
55 xrre2 13154 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐡 ∧ 𝐡 < +∞)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
565, 6, 33, 11, 54, 55syl32anc 1377 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5731, 56jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
5857ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))
59583expia 1120 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))
60593adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))
612, 60sylbird 260 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐡 β‰  𝐴 β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))
621, 61biimtrid 241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))
63623exp 1118 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐡 ∈ ℝ* β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))))
6463com34 91 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐡 ∈ ℝ* β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))))
65643imp1 1346 1 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11113  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  -𝑒cxne 13094   +𝑒 cxad 13095  distcds 17211  β„*𝑠cxrs 17451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-xneg 13097  df-xadd 13098
This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  21193
  Copyright terms: Public domain W3C validator