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Theorem xrsdsreclblem 20065
Description: Lemma for xrsdsreclb 20066. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreclblem (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xrsdsreclblem
StepHypRef Expression
1 necom 2990 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 xrleltne 12178 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
3 mnfxr 10350 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
5 simpl1 1242 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 simpl2 1244 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 pnfnre 10335 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∉ ℝ
87neli 3042 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ +∞ ∈ ℝ
9 mnfle 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
105, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝐴)
11 simpl3 1246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐵)
124, 5, 6, 10, 11xrlelttrd 12193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
13 xrltne 12196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
144, 6, 12, 13syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
15 xaddpnf1 12259 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
166, 14, 15syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
1716eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
188, 17mtbiri 318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ)
19 ngtmnft 12199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
21 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ)
22 xnegeq 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
23 xnegmnf 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -𝑒-∞ = +∞
2422, 23syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
2524oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = -∞ → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 +𝑒 +∞))
2625eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2721, 26syl5ibcom 236 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ → (𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2820, 27sylbird 251 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (¬ -∞ < 𝐴 → (𝐵 +𝑒 +∞) ∈ ℝ))
2918, 28mt3d 142 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
30 xrre2 12203 . . . . . . . . . . 11 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
314, 5, 6, 29, 11, 30syl32anc 1497 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32 pnfxr 10346 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
345xnegcld 12332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
35 xnegpnf 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -𝑒+∞ = -∞
36 pnfge 12164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
376, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ +∞)
385, 6, 33, 11, 37xrltletrd 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < +∞)
39 xltnegi 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 < +∞) → -𝑒+∞ < -𝑒𝐴)
405, 33, 38, 39syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -𝑒+∞ < -𝑒𝐴)
4135, 40syl5eqbrr 4845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < -𝑒𝐴)
42 xrltne 12196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -𝑒𝐴) → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
434, 34, 41, 42syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
44 xaddpnf2 12260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
4534, 43, 44syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) = +∞)
4645eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ((+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
478, 46mtbiri 318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ)
48 nltpnft 12197 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
496, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
50 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴))
5150eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = +∞ → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5221, 51syl5ibcom 236 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5349, 52sylbird 251 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < +∞ → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ))
5447, 53mt3d 142 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 < +∞)
55 xrre2 12203 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
565, 6, 33, 11, 54, 55syl32anc 1497 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5731, 56jca 507 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
5857ex 401 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
59583expia 1150 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
60593adant3 1162 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
612, 60sylbird 251 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵𝐴 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
621, 61syl5bi 233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
63623exp 1148 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
6463com34 91 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
65643imp1 1456 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  -𝑒cxne 12143   +𝑒 cxad 12144  distcds 16225  *𝑠cxrs 16428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-xneg 12146  df-xadd 12147
This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  20066
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