xrsdsreclblem - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xrsdsreclblem		Structured version Visualization version GIF version

Theorem xrsdsreclblem 21572

Description: Lemma for xrsdsreclb 21573. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
xrsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ^*_𝑠)

**Assertion**
Ref	Expression
xrsdsreclblem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

**Proof of Theorem xrsdsreclblem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 3011	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
2		xrleltne 13174	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
3		mnfxr 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ^*)
5		simpl1 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
6		simpl2 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
7		pnfnre 11254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ +∞ ∉ ℝ
8	7	neli 3066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
9		mnfle 13164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
10	5, 9	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝐴)
11		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐵)
12	4, 5, 6, 10, 11	xrlelttrd 13189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
13		xrltne 13192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ -∞ < 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
14	4, 6, 12, 13	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
15		xaddpnf1 13256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +_𝑒 +∞) = +∞)
16	6, 14, 15	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +_𝑒 +∞) = +∞)
17	16	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
18	8, 17	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ)
19		ngtmnft 13196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
20	5, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
21		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ)
22		xnegeq 13237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = -∞ → -_𝑒𝐴 = -_𝑒-∞)
23		xnegmnf 13240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -_𝑒-∞ = +∞
24	22, 23	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = -∞ → -_𝑒𝐴 = +∞)
25	24	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) = (𝐵 +_𝑒 +∞))
26	25	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ))
27	21, 26	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ → (𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ))
28	20, 27	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (¬ -∞ < 𝐴 → (𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ))
29	18, 28	mt3d 149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
30		xrre2 13200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
31	4, 5, 6, 29, 11, 30	syl32anc 1405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32		pnfxr 11267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ^*)
34	5	xnegcld 13330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
35		xnegpnf 13239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -_𝑒+∞ = -∞
36		pnfge 13159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → 𝐵 ≤ +∞)
37	6, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ +∞)
38	5, 6, 33, 11, 37	xrltletrd 13190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < +∞)
39		xltnegi 13246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < +∞) → -_𝑒+∞ < -_𝑒𝐴)
40	5, 33, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -_𝑒+∞ < -_𝑒𝐴)
41	35, 40	eqbrtrrid 5147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < -_𝑒𝐴)
42		xrltne 13192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -∞ < -_𝑒𝐴) → -_𝑒𝐴 ≠ -∞)
43	4, 34, 41, 42	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -_𝑒𝐴 ≠ -∞)
44		xaddpnf2 13257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) = +∞)
45	34, 43, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) = +∞)
46	45	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ((+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
47	8, 46	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ)
48		nltpnft 13194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
49	6, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
50		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) = (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴))
51	50	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = +∞ → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ))
52	21, 51	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ → (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ))
53	49, 52	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < +∞ → (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ))
54	47, 53	mt3d 149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 < +∞)
55		xrre2 13200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
56	5, 6, 33, 11, 54, 55	syl32anc 1405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	31, 56	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
58	57	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
59	58	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
60	59	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
61	2, 60	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≠ 𝐴 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
62	1, 61	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
63	62	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
64	63	com34 92	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
65	64	3imp1 1366	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 class class class wbr 5109 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℝcr 11103 +∞cpnf 11244 -∞cmnf 11245 ℝ^*cxr 11246 < clt 11247 ≤ cle 11248 -_𝑒cxne 13138 +_𝑒 cxad 13139 distcds 17323 ℝ^*_𝑠cxrs 17558

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-cnex 11160 ax-resscn 11161 ax-1cn 11162 ax-icn 11163 ax-addcl 11164 ax-addrcl 11165 ax-mulcl 11166 ax-mulrcl 11167 ax-mulcom 11168 ax-addass 11169 ax-mulass 11170 ax-distr 11171 ax-i2m1 11172 ax-1ne0 11173 ax-1rid 11174 ax-rnegex 11175 ax-rrecex 11176 ax-cnre 11177 ax-pre-lttri 11178 ax-pre-lttrn 11179 ax-pre-ltadd 11180

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4873 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-id 5556 df-po 5569 df-so 5570 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-er 8690 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11447 df-neg 11448 df-xneg 13141 df-xadd 13142

This theorem is used by: xrsdsreclb 21573

W3C validator