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Theorem xrsdsreclblem 21719

Description: Lemma for xrsdsreclb 21720. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
xrsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ^*_𝑠)

**Assertion**
Ref	Expression
xrsdsreclblem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

**Proof of Theorem xrsdsreclblem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 3008	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
2		xrleltne 13274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
3		mnfxr 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ^*)
5		simpl1 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
6		simpl2 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
7		pnfnre 11350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ +∞ ∉ ℝ
8	7	neli 3063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
9		mnfle 13264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
10	5, 9	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝐴)
11		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐵)
12	4, 5, 6, 10, 11	xrlelttrd 13289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
13		xrltne 13292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ -∞ < 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
14	4, 6, 12, 13	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
15		xaddpnf1 13356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +_e +∞) = +∞)
16	6, 14, 15	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +_e +∞) = +∞)
17	16	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 +_e +∞) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
18	8, 17	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (𝐵 +_e +∞) ∈ ℝ)
19		ngtmnft 13296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
20	5, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
21		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ)
22		xnegeq 13337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = -∞ → -_e𝐴 = -_e-∞)
23		xnegmnf 13340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -_e-∞ = +∞
24	22, 23	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = -∞ → -_e𝐴 = +∞)
25	24	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐵 +_e -_e𝐴) = (𝐵 +_e +∞))
26	25	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ ↔ (𝐵 +_e +∞) ∈ ℝ))
27	21, 26	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ → (𝐵 +_e +∞) ∈ ℝ))
28	20, 27	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → (¬ -∞ < 𝐴 → (𝐵 +_e +∞) ∈ ℝ))
29	18, 28	mt3d 149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
30		xrre2 13300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
31	4, 5, 6, 29, 11, 30	syl32anc 1405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32		pnfxr 11363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ^*)
34	5	xnegcld 13430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → -_e𝐴 ∈ ℝ^*)
35		xnegpnf 13339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -_e+∞ = -∞
36		pnfge 13259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → 𝐵 ≤ +∞)
37	6, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ +∞)
38	5, 6, 33, 11, 37	xrltletrd 13290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < +∞)
39		xltnegi 13346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < +∞) → -_e+∞ < -_e𝐴)
40	5, 33, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → -_e+∞ < -_e𝐴)
41	35, 40	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < -_e𝐴)
42		xrltne 13292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ -_e𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -∞ < -_e𝐴) → -_e𝐴 ≠ -∞)
43	4, 34, 41, 42	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → -_e𝐴 ≠ -∞)
44		xaddpnf2 13357	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( -_e𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_e𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +_e -_e𝐴) = +∞)
45	34, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → (+∞ +_e -_e𝐴) = +∞)
46	45	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → ((+∞ +_e -_e𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
47	8, 46	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (+∞ +_e -_e𝐴) ∈ ℝ)
48		nltpnft 13294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
49	6, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
50		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +_e -_e𝐴) = (+∞ +_e -_e𝐴))
51	50	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = +∞ → ((𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ ↔ (+∞ +_e -_e𝐴) ∈ ℝ))
52	21, 51	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ → (+∞ +_e -_e𝐴) ∈ ℝ))
53	49, 52	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < +∞ → (+∞ +_e -_e𝐴) ∈ ℝ))
54	47, 53	mt3d 149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 < +∞)
55		xrre2 13300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
56	5, 6, 33, 11, 54, 55	syl32anc 1405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	31, 56	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
58	57	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
59	58	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
60	59	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
61	2, 60	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≠ 𝐴 → ((𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
62	1, 61	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
63	62	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
64	63	com34 92	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ((𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
65	64	3imp1 1366	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 +_e -_e𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2955 class class class wbr 5102 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ℝcr 11199 +∞cpnf 11340 -∞cmnf 11341 ℝ^*cxr 11342 < clt 11343 ≤ cle 11344 -_ecxne 13238 +_e cxad 13239 distcds 17437 ℝ^*_𝑠cxrs 17672

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-ss 3896 df-dif 4047 df-in 4091 df-un 4151 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4584 df-pr 4586 df-op 4590 df-uni 4867 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-id 5545 df-po 5558 df-so 5559 df-xp 5656 df-rel 5657 df-cnv 5658 df-co 5659 df-dm 5660 df-rn 5661 df-res 5662 df-ima 5663 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-er 8717 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-xneg 13241 df-xadd 13242

This theorem is used by: xrsdsreclb 21720

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