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Theorem xrsdsreclblem 21384

Description: Lemma for xrsdsreclb 21385. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
xrsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ^*_𝑠)

**Assertion**
Ref	Expression
xrsdsreclblem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

**Proof of Theorem xrsdsreclblem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2986	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
2		xrleltne 13073	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
3		mnfxr 11203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ^*)
5		simpl1 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
6		simpl2 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
7		pnfnre 11187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ +∞ ∉ ℝ
8	7	neli 3039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
9		mnfle 13063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝐴)
11		simpl3 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐵)
12	4, 5, 6, 10, 11	xrlelttrd 13088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
13		xrltne 13091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ -∞ < 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
14	4, 6, 12, 13	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
15		xaddpnf1 13155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +_𝑒 +∞) = +∞)
16	6, 14, 15	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +_𝑒 +∞) = +∞)
17	16	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
18	8, 17	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ)
19		ngtmnft 13095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
20	5, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ)
22		xnegeq 13136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = -∞ → -_𝑒𝐴 = -_𝑒-∞)
23		xnegmnf 13139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -_𝑒-∞ = +∞
24	22, 23	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = -∞ → -_𝑒𝐴 = +∞)
25	24	oveq2d 7386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) = (𝐵 +_𝑒 +∞))
26	25	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ))
27	21, 26	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ → (𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ))
28	20, 27	sylbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (¬ -∞ < 𝐴 → (𝐵 +_𝑒 +∞) ∈ ℝ))
29	18, 28	mt3d 148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
30		xrre2 13099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
31	4, 5, 6, 29, 11, 30	syl32anc 1381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32		pnfxr 11200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ^*)
34	5	xnegcld 13229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
35		xnegpnf 13138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -_𝑒+∞ = -∞
36		pnfge 13058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → 𝐵 ≤ +∞)
37	6, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ +∞)
38	5, 6, 33, 11, 37	xrltletrd 13089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 < +∞)
39		xltnegi 13145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < +∞) → -_𝑒+∞ < -_𝑒𝐴)
40	5, 33, 38, 39	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -_𝑒+∞ < -_𝑒𝐴)
41	35, 40	eqbrtrrid 5136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -∞ < -_𝑒𝐴)
42		xrltne 13091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -∞ < -_𝑒𝐴) → -_𝑒𝐴 ≠ -∞)
43	4, 34, 41, 42	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → -_𝑒𝐴 ≠ -∞)
44		xaddpnf2 13156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) = +∞)
45	34, 43, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) = +∞)
46	45	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ((+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
47	8, 46	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → ¬ (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ)
48		nltpnft 13093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
49	6, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
50		oveq1 7377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) = (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴))
51	50	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = +∞ → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ))
52	21, 51	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 = +∞ → (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ))
53	49, 52	sylbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < +∞ → (+∞ +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ))
54	47, 53	mt3d 148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 < +∞)
55		xrre2 13099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
56	5, 6, 33, 11, 54, 55	syl32anc 1381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	31, 56	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
58	57	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
59	58	3expia 1122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
60	59	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
61	2, 60	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≠ 𝐴 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
62	1, 61	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
63	62	3exp 1120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
64	63	com34 91	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))))
65	64	3imp1 1349	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 class class class wbr 5100 ‘cfv 6502 (class class class)co 7370 ℝcr 11039 +∞cpnf 11177 -∞cmnf 11178 ℝ^*cxr 11179 < clt 11180 ≤ cle 11181 -_𝑒cxne 13037 +_𝑒 cxad 13038 distcds 17200 ℝ^*_𝑠cxrs 17435

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5245 ax-nul 5255 ax-pow 5314 ax-pr 5381 ax-un 7692 ax-cnex 11096 ax-resscn 11097 ax-1cn 11098 ax-icn 11099 ax-addcl 11100 ax-addrcl 11101 ax-mulcl 11102 ax-mulrcl 11103 ax-mulcom 11104 ax-addass 11105 ax-mulass 11106 ax-distr 11107 ax-i2m1 11108 ax-1ne0 11109 ax-1rid 11110 ax-rnegex 11111 ax-rrecex 11112 ax-cnre 11113 ax-pre-lttri 11114 ax-pre-lttrn 11115 ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-id 5529 df-po 5542 df-so 5543 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6458 df-fun 6504 df-fn 6505 df-f 6506 df-f1 6507 df-fo 6508 df-f1o 6509 df-fv 6510 df-riota 7327 df-ov 7373 df-oprab 7374 df-mpo 7375 df-er 8647 df-en 8898 df-dom 8899 df-sdom 8900 df-pnf 11182 df-mnf 11183 df-xr 11184 df-ltxr 11185 df-le 11186 df-sub 11380 df-neg 11381 df-xneg 13040 df-xadd 13041

This theorem is referenced by: xrsdsreclb 21385

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