MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashclb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashclb 13709
Description: Reverse closure of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashclb (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem hashclb
StepHypRef Expression
1 hashcl 13707 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2 nn0re 11895 . . 3 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
3 pnfnre 10671 . . . . . . 7 +∞ ∉ ℝ
43neli 3130 . . . . . 6 ¬ +∞ ∈ ℝ
5 hashinf 13685 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
65eleq1d 2902 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
74, 6mtbiri 328 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
87ex 413 . . . 4 (𝐴𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ))
98con4d 115 . . 3 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ → 𝐴 ∈ Fin))
102, 9syl5 34 . 2 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐴 ∈ Fin))
111, 10impbid2 227 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107  cfv 6352  Fincfn 8498  cr 10525  +∞cpnf 10661  0cn0 11886  chash 13680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-hash 13681
This theorem is referenced by:  hashvnfin  13711  hashnfinnn0  13712  hashdifsnp1  13844  wrdnfi  13889  wrdnfiOLD  13890  ramub1  16354  pgpfi1  18640  iscygodd  18927  prmcyg  18934  lt6abl  18935  ablfacrplem  19107  ablfacrp  19108  ablfacrp2  19109  znfi  20622  dchrfi  25745  dchrsum2  25758  isfusgrcl  27017  fusgrfis  27026  cusgrsize2inds  27149  finsumvtxdg2size  27246  esumcst  31208  frlmpwfi  39563  idomsubgmo  39663  sge0rpcpnf  42569
  Copyright terms: Public domain W3C validator