MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0lenn0nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0lenn0nn0 12624
Description: An extended nonnegative integer which is less than or equal to a nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
xnn0lenn0nn0 ((𝑀 ∈ ℕ0*𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem xnn0lenn0nn0
StepHypRef Expression
1 elxnn0 11955 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0* ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 = +∞))
2 2a1 28 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0)))
3 breq1 5050 . . . . . . 7 (𝑀 = +∞ → (𝑀𝑁 ↔ +∞ ≤ 𝑁))
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ +∞ ≤ 𝑁))
5 nn0re 11892 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
65rexrd 10676 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ*)
7 xgepnf 12544 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑁𝑁 = +∞))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ≤ 𝑁𝑁 = +∞))
9 pnfnre 10667 . . . . . . . . 9 +∞ ∉ ℝ
10 eleq1 2903 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
11 nn0re 11892 . . . . . . . . . . . 12 (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
12 elnelall 3130 . . . . . . . . . . . 12 (+∞ ∈ ℝ → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (+∞ ∈ ℕ0 → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0))
1410, 13syl6bi 256 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
1514com13 88 . . . . . . . . 9 (+∞ ∉ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = +∞ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
169, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = +∞ → 𝑀 ∈ ℕ0))
178, 16sylbid 243 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ≤ 𝑁𝑀 ∈ ℕ0))
1817adantl 485 . . . . . 6 ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (+∞ ≤ 𝑁𝑀 ∈ ℕ0))
194, 18sylbid 243 . . . . 5 ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0))
2019ex 416 . . . 4 (𝑀 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0)))
212, 20jaoi 854 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 = +∞) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0)))
221, 21sylbi 220 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0* → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0)))
23223imp 1108 1 ((𝑀 ∈ ℕ0*𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wnel 3117   class class class wbr 5047  cr 10521  +∞cpnf 10657  *cxr 10659  cle 10661  0cn0 11883  0*cxnn0 11953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-om 7564  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-nn 11624  df-n0 11884  df-xnn0 11954
This theorem is referenced by:  xnn0le2is012  12625
  Copyright terms: Public domain W3C validator