Theorem xnn0lenn0nn0 13189

Description: An extended nonnegative integer which is less than or equal to a nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0lenn0nn0	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0* ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem xnn0lenn0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12504	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0* ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ 𝑀 = +∞))
2		2a1 28	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
3		breq1 5076	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = +∞ → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ +∞ ≤ 𝑁))
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ +∞ ≤ 𝑁))
5		nn0re 12438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
7		xgepnf 13109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 = +∞))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 = +∞))
9		pnfnre 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∉ ℝ
10		eleq1 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
11		nn0re 12438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
12		pm2.24nel 3051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+∞ ∈ ℝ → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0))
14	10, 13	biimtrdi 254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
15	14	com13 88	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∉ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = +∞ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
16	9, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = +∞ → 𝑀 ∈ ℕ0))
17	8, 16	sylbid 241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0))
18	17	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (+∞ ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0))
19	4, 18	sylbid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0))
20	19	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑀 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
21	2, 20	jaoi 863	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ 𝑀 = +∞) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
22	1, 21	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0* → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
23	22	3imp 1116	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0* ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3038   class class class wbr 5073  ℝcr 11029  +∞cpnf 11168  ℝ^*cxr 11170   ≤ cle 11172  ℕ₀cn0 12429  ℕ₀^*cxnn0 12502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-nn 12167  df-n0 12430  df-xnn0 12503

This theorem is referenced by:  xnn0le2is012  13190  fldextrspunfld  33869  fldextrspundgdvdslem  33873  fldextrspundgdvds  33874  rtelextdg2  33920