Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0lenn0nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0lenn0nn0 12392
 Description: An extended nonnegative integer which is less than or equal to a nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
xnn0lenn0nn0 ((𝑀 ∈ ℕ0*𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem xnn0lenn0nn0
StepHypRef Expression
1 elxnn0 11721 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0* ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 = +∞))
2 2a1 28 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0)))
3 breq1 4891 . . . . . . 7 (𝑀 = +∞ → (𝑀𝑁 ↔ +∞ ≤ 𝑁))
43adantr 474 . . . . . 6 ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ +∞ ≤ 𝑁))
5 nn0re 11657 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
65rexrd 10428 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ*)
7 xgepnf 12313 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑁𝑁 = +∞))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ≤ 𝑁𝑁 = +∞))
9 pnfnre 10420 . . . . . . . . 9 +∞ ∉ ℝ
10 eleq1 2847 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
11 nn0re 11657 . . . . . . . . . . . 12 (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
12 elnelall 3088 . . . . . . . . . . . 12 (+∞ ∈ ℝ → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (+∞ ∈ ℕ0 → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0))
1410, 13syl6bi 245 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
1514com13 88 . . . . . . . . 9 (+∞ ∉ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = +∞ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
169, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = +∞ → 𝑀 ∈ ℕ0))
178, 16sylbid 232 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ≤ 𝑁𝑀 ∈ ℕ0))
1817adantl 475 . . . . . 6 ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (+∞ ≤ 𝑁𝑀 ∈ ℕ0))
194, 18sylbid 232 . . . . 5 ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0))
2019ex 403 . . . 4 (𝑀 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0)))
212, 20jaoi 846 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 = +∞) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0)))
221, 21sylbi 209 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0* → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0)))
23223imp 1098 1 ((𝑀 ∈ ℕ0*𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3075   class class class wbr 4888  ℝcr 10273  +∞cpnf 10410  ℝ*cxr 10412   ≤ cle 10414  ℕ0cn0 11647  ℕ0*cxnn0 11719 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-nn 11380  df-n0 11648  df-xnn0 11720 This theorem is referenced by:  xnn0le2is012  12393
 Copyright terms: Public domain W3C validator