MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0lenn0nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0lenn0nn0 13264
Description: An extended nonnegative integer which is less than or equal to a nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
xnn0lenn0nn0 ((𝑀 ∈ ℕ0*𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem xnn0lenn0nn0
StepHypRef Expression
1 elxnn0 12584 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0* ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 = +∞))
2 2a1 28 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0)))
3 breq1 5155 . . . . . . 7 (𝑀 = +∞ → (𝑀𝑁 ↔ +∞ ≤ 𝑁))
43adantr 479 . . . . . 6 ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ +∞ ≤ 𝑁))
5 nn0re 12519 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
65rexrd 11302 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ*)
7 xgepnf 13184 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑁𝑁 = +∞))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ≤ 𝑁𝑁 = +∞))
9 pnfnre 11293 . . . . . . . . 9 +∞ ∉ ℝ
10 eleq1 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
11 nn0re 12519 . . . . . . . . . . . 12 (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
12 pm2.24nel 3056 . . . . . . . . . . . 12 (+∞ ∈ ℝ → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (+∞ ∈ ℕ0 → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0))
1410, 13biimtrdi 252 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
1514com13 88 . . . . . . . . 9 (+∞ ∉ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = +∞ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
169, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = +∞ → 𝑀 ∈ ℕ0))
178, 16sylbid 239 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ≤ 𝑁𝑀 ∈ ℕ0))
1817adantl 480 . . . . . 6 ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (+∞ ≤ 𝑁𝑀 ∈ ℕ0))
194, 18sylbid 239 . . . . 5 ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0))
2019ex 411 . . . 4 (𝑀 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0)))
212, 20jaoi 855 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 = +∞) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0)))
221, 21sylbi 216 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0* → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑁𝑀 ∈ ℕ0)))
23223imp 1108 1 ((𝑀 ∈ ℕ0*𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wnel 3043   class class class wbr 5152  cr 11145  +∞cpnf 11283  *cxr 11285  cle 11287  0cn0 12510  0*cxnn0 12582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-nn 12251  df-n0 12511  df-xnn0 12583
This theorem is referenced by:  xnn0le2is012  13265
  Copyright terms: Public domain W3C validator