Theorem xnn0lenn0nn0 13273

Description: An extended nonnegative integer which is less than or equal to a nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0lenn0nn0	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0* ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem xnn0lenn0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12581	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0* ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ 𝑀 = +∞))
2		2a1 29	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
3		breq1 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = +∞ → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ +∞ ≤ 𝑁))
4	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ +∞ ≤ 𝑁))
5		nn0re 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
7		xgepnf 13193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 = +∞))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 = +∞))
9		pnfnre 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∉ ℝ
10		eleq1 2857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
11		nn0re 12515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
12		pm2.24nel 3083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+∞ ∈ ℝ → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0))
14	10, 13	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
15	14	com13 89	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∉ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = +∞ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
16	9, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = +∞ → 𝑀 ∈ ℕ0))
17	8, 16	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0))
18	17	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (+∞ ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0))
19	4, 18	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0))
20	19	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑀 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
21	2, 20	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ 𝑀 = +∞) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
22	1, 21	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0* → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
23	22	3imp 1126	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0* ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070   class class class wbr 5113  ℝcr 11101  +∞cpnf 11242  ℝ^*cxr 11244   ≤ cle 11246  ℕ₀cn0 12506  ℕ₀^*cxnn0 12579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7416  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-nn 12236  df-n0 12507  df-xnn0 12580

This theorem is referenced by:  xnn0le2is012  13274  fldextrspunfld  34013  fldextrspundgdvdslem  34017  fldextrspundgdvds  34018  rtelextdg2  34064