Theorem xnn0lenn0nn0 13322

Description: An extended nonnegative integer which is less than or equal to a nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0lenn0nn0	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0* ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem xnn0lenn0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12628	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0* ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ 𝑀 = +∞))
2		2a1 29	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
3		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = +∞ → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ +∞ ≤ 𝑁))
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ +∞ ≤ 𝑁))
5		nn0re 12562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
7		xgepnf 13242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 = +∞))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 = +∞))
9		pnfnre 11299	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∉ ℝ
10		eleq1 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
11		nn0re 12562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
12		pm2.24nel 3074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+∞ ∈ ℝ → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0))
14	10, 13	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ∉ ℝ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
15	14	com13 89	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∉ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = +∞ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
16	9, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = +∞ → 𝑀 ∈ ℕ0))
17	8, 16	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+∞ ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0))
18	17	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (+∞ ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0))
19	4, 18	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 = +∞ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0))
20	19	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑀 = +∞ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
21	2, 20	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ 𝑀 = +∞) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
22	1, 21	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0* → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
23	22	3imp 1128	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0* ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3061   class class class wbr 5103  ℝcr 11148  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   ≤ cle 11293  ℕ₀cn0 12553  ℕ₀^*cxnn0 12626

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7419  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-nn 12283  df-n0 12554  df-xnn0 12627

This theorem is used by:  xnn0le2is012  13323  fldextrspunfld  34219  fldextrspundgdvdslem  34223  fldextrspundgdvds  34224  rtelextdg2  34270  findcard4  38528