Theorem nn0nepnf 12711

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11374	. . . . 5 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3067	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		nn0re 12639	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
4	2, 3	mto 200	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
5		eleq1 2852	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
6	4, 5	mtbiri 330	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℕ0)
7	6	necon2ai 2988	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ℝcr 11223  +∞cpnf 11364  ℕ₀cn0 12630

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-pnf 11369  df-nn 12360  df-n0 12631

This theorem is used by:  nn0nepnfd  12713  xnn0n0n1ge2b  13285