Theorem nn0nepnf 12564

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11225	. . . . 5 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3065	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		nn0re 12492	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
4	2, 3	mto 199	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
5		eleq1 2852	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
6	4, 5	mtbiri 329	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℕ0)
7	6	necon2ai 2988	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ℝcr 11074  +∞cpnf 11215  ℕ₀cn0 12483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-pnf 11220  df-nn 12213  df-n0 12484

This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  12566  xnn0n0n1ge2b  13136