MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramtcl2 16987
Description: The Ramsey number is an integer iff there is a number with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
ramval.t 𝑇 = {𝑛 ∈ β„•0 ∣ βˆ€π‘ (𝑛 ≀ (β™―β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐢𝑀))βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))}
Assertion
Ref Expression
ramtcl2 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ↔ 𝑇 β‰  βˆ…))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,π‘₯,𝐢   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,π‘₯   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,π‘₯,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,π‘₯   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑖,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑏)   𝑅(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑇(π‘₯,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑖,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem ramtcl2
StepHypRef Expression
1 ramval.c . . . . 5 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 ramval.t . . . . 5 𝑇 = {𝑛 ∈ β„•0 ∣ βˆ€π‘ (𝑛 ≀ (β™―β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐢𝑀))βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))}
31, 2ramcl2lem 16985 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
43eleq1d 2814 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ↔ if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ β„•0))
5 pnfnre 11293 . . . . . 6 +∞ βˆ‰ ℝ
65neli 3045 . . . . 5 Β¬ +∞ ∈ ℝ
7 iftrue 4538 . . . . . . 7 (𝑇 = βˆ… β†’ if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) = +∞)
87eleq1d 2814 . . . . . 6 (𝑇 = βˆ… β†’ (if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ β„•0 ↔ +∞ ∈ β„•0))
9 nn0re 12519 . . . . . 6 (+∞ ∈ β„•0 β†’ +∞ ∈ ℝ)
108, 9biimtrdi 252 . . . . 5 (𝑇 = βˆ… β†’ (if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ β„•0 β†’ +∞ ∈ ℝ))
116, 10mtoi 198 . . . 4 (𝑇 = βˆ… β†’ Β¬ if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ β„•0)
1211necon2ai 2967 . . 3 (if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ β„•0 β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
134, 12biimtrdi 252 . 2 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 β†’ 𝑇 β‰  βˆ…))
141, 2ramtcl 16986 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇 ↔ 𝑇 β‰  βˆ…))
152ssrab3 4080 . . . 4 𝑇 βŠ† β„•0
1615sseli 3978 . . 3 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇 β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
1714, 16syl6bir 253 . 2 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑇 β‰  βˆ… β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0))
1813, 17impbid 211 1 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ↔ 𝑇 β‰  βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  ifcif 4532  π’« cpw 4606  {csn 4632   class class class wbr 5152  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   ↑m cmap 8851  infcinf 9472  β„cr 11145  +∞cpnf 11283   < clt 11286   ≀ cle 11287  β„•0cn0 12510  β™―chash 14329   Ramsey cram 16975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-ram 16977
This theorem is referenced by:  rami  16991  ramcl2  16992  ramsey  17006
  Copyright terms: Public domain W3C validator