Theorem ramtcl2 16920

Description: The Ramsey number is an integer iff there is a number with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramval.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}

Assertion

Ref	Expression
ramtcl2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ↔ 𝑇 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑥,𝐶   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramtcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ramval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		ramval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}
3	1, 2	ramcl2lem 16918	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
4	3	eleq1d 2816	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℕ0))
5		pnfnre 11150	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∉ ℝ
6	5	neli 3034	. . . . 5 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
7		iftrue 4481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = ∅ → if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) = +∞)
8	7	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = ∅ → (if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
9		nn0re 12387	. . . . . 6 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
10	8, 9	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = ∅ → (if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ))
11	6, 10	mtoi 199	. . . 4 ⊢ (𝑇 = ∅ → ¬ if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℕ0)
12	11	necon2ai 2957	. . 3 ⊢ (if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℕ0 → 𝑇 ≠ ∅)
13	4, 12	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 → 𝑇 ≠ ∅))
14	1, 2	ramtcl 16919	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇 ↔ 𝑇 ≠ ∅))
15	2	ssrab3 4032	. . . 4 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ0
16	15	sseli 3930	. . 3 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
17	14, 16	biimtrrdi 254	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑇 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
18	13, 17	impbid 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ↔ 𝑇 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ifcif 4475  𝒫 cpw 4550  {csn 4576   class class class wbr 5091  ^◡ccnv 5615   “ cima 5619  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ↑_m cmap 8750  infcinf 9325  ℝcr 11002  +∞cpnf 11140   < clt 11143   ≤ cle 11144  ℕ₀cn0 12378  ♯chash 14234   Ramsey cram 16908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-ram 16910

This theorem is referenced by:  rami  16924  ramcl2  16925  ramsey  16939