Theorem ramtcl2 17109

Description: The Ramsey number is an integer iff there is a number with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramval.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}

Assertion

Ref	Expression
ramtcl2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ↔ 𝑇 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑥,𝐶   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖, 𝑛, 𝑠, 𝑎, 𝑏)   𝑅(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝑇(𝑥, 𝑓, 𝑖, 𝑛, 𝑠, 𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝐹(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑖, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem ramtcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ramval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		ramval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}
3	1, 2	ramcl2lem 17107	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
4	3	eleq1d 2847	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℕ0))
5		pnfnre 11278	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∉ ℝ
6	5	neli 3065	. . . . 5 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
7		iftrue 4491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = ∅ → if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) = +∞)
8	7	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = ∅ → (if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
9		nn0re 12541	. . . . . 6 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
10	8, 9	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = ∅ → (if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ))
11	6, 10	mtoi 202	. . . 4 ⊢ (𝑇 = ∅ → ¬ if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℕ0)
12	11	necon2ai 2986	. . 3 ⊢ (if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℕ0 → 𝑇 ≠ ∅)
13	4, 12	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 → 𝑇 ≠ ∅))
14	1, 2	ramtcl 17108	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇 ↔ 𝑇 ≠ ∅))
15	2	ssrab3 4033	. . . 4 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ0
16	15	sseli 3930	. . 3 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
17	14, 16	biimtrrdi 257	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑇 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
18	13, 17	impbid 215	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ↔ 𝑇 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560  {csn 4587   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419   ↑_m cmap 8830  infcinf 9415  ℝcr 11127  +∞cpnf 11268   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℕ₀cn0 12532  ♯chash 14398   Ramsey cram 17097

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-ram 17099

This theorem is used by:  rami  17113  ramcl2  17114  ramsey  17128