MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramtcl2 16950
Description: The Ramsey number is an integer iff there is a number with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
ramval.t 𝑇 = {𝑛 ∈ β„•0 ∣ βˆ€π‘ (𝑛 ≀ (β™―β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐢𝑀))βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))}
Assertion
Ref Expression
ramtcl2 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ↔ 𝑇 β‰  βˆ…))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,π‘₯,𝐢   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,π‘₯   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,π‘₯,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,π‘₯   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑖,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑏)   𝑅(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑇(π‘₯,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑖,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem ramtcl2
StepHypRef Expression
1 ramval.c . . . . 5 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 ramval.t . . . . 5 𝑇 = {𝑛 ∈ β„•0 ∣ βˆ€π‘ (𝑛 ≀ (β™―β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐢𝑀))βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))}
31, 2ramcl2lem 16948 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
43eleq1d 2812 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ↔ if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ β„•0))
5 pnfnre 11256 . . . . . 6 +∞ βˆ‰ ℝ
65neli 3042 . . . . 5 Β¬ +∞ ∈ ℝ
7 iftrue 4529 . . . . . . 7 (𝑇 = βˆ… β†’ if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) = +∞)
87eleq1d 2812 . . . . . 6 (𝑇 = βˆ… β†’ (if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ β„•0 ↔ +∞ ∈ β„•0))
9 nn0re 12482 . . . . . 6 (+∞ ∈ β„•0 β†’ +∞ ∈ ℝ)
108, 9biimtrdi 252 . . . . 5 (𝑇 = βˆ… β†’ (if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ β„•0 β†’ +∞ ∈ ℝ))
116, 10mtoi 198 . . . 4 (𝑇 = βˆ… β†’ Β¬ if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ β„•0)
1211necon2ai 2964 . . 3 (if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ β„•0 β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
134, 12biimtrdi 252 . 2 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 β†’ 𝑇 β‰  βˆ…))
141, 2ramtcl 16949 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇 ↔ 𝑇 β‰  βˆ…))
152ssrab3 4075 . . . 4 𝑇 βŠ† β„•0
1615sseli 3973 . . 3 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇 β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
1714, 16syl6bir 254 . 2 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑇 β‰  βˆ… β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0))
1813, 17impbid 211 1 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ↔ 𝑇 β‰  βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  π’« cpw 4597  {csn 4623   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406   ↑m cmap 8819  infcinf 9435  β„cr 11108  +∞cpnf 11246   < clt 11249   ≀ cle 11250  β„•0cn0 12473  β™―chash 14292   Ramsey cram 16938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-ram 16940
This theorem is referenced by:  rami  16954  ramcl2  16955  ramsey  16969
  Copyright terms: Public domain W3C validator