Theorem renepnf 11309

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11302	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3048	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2829	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 327	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2970	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-nel 3047  df-rab 3437  df-v 3482  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-uni 4908  df-pnf 11297

This theorem is referenced by:  renepnfd  11312  renfdisj  11321  xrnepnf  13160  rexneg  13253  rexadd  13274  xaddnepnf  13279  xaddcom  13282  xaddrid  13283  xnn0xadd0  13289  xnegdi  13290  xpncan  13293  xleadd1a  13295  rexmul  13313  xmulpnf1  13316  xadddilem  13336  rpsup  13906  hashneq0  14403  hash1snb  14458  xrsnsgrp  21420  xaddeq0  32757  icorempo  37352  ovoliunnfl  37669  voliunnfl  37671  volsupnfl  37672  supxrgelem  45348  supxrge  45349  infleinflem1  45381  infleinflem2  45382  xrre4  45422  supminfxr2  45480  climxrre  45765  sge0repnf  46401  voliunsge0lem  46487