Theorem renepnf 10424

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 10418	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3077	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2847	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 319	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2998	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ℝcr 10271  +∞cpnf 10408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-uni 4672  df-pnf 10413

This theorem is referenced by:  renepnfd  10427  renfdisj  10437  xrnepnf  12263  rexneg  12354  rexadd  12375  xaddnepnf  12380  xaddcom  12383  xaddid1  12384  xnn0xadd0  12389  xnegdi  12390  xpncan  12393  xleadd1a  12395  rexmul  12413  xmulpnf1  12416  xadddilem  12436  rpsup  12984  hashneq0  13470  hash1snb  13521  xrsnsgrp  20178  xaddeq0  30083  icorempt2  33794  ovoliunnfl  34077  voliunnfl  34079  volsupnfl  34080  supxrgelem  40461  supxrge  40462  infleinflem1  40494  infleinflem2  40495  xrre4  40544  supminfxr2  40604  climxrre  40890  sge0repnf  41527  voliunsge0lem  41613