Theorem renepnf 11381

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11374	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3067	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2852	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 330	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2988	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ℝcr 11223  +∞cpnf 11364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-resscn 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-nel 3066  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-in 4094  df-pw 4562  df-uni 4871  df-pnf 11369

This theorem is used by:  renepnfd  11384  renfdisj  11393  xrnepnf  13271  rexneg  13365  rexadd  13386  xaddnepnf  13391  xaddcom  13394  xaddrid  13395  xnn0xadd0  13401  xnegdi  13402  xpncan  13405  xleadd1a  13407  rexmul  13425  xmulpnf1  13428  xadddilem  13448  rpsup  14030  hashneq0  14532  hash1snb  14588  xrsnsgrp  21741  xaddeq0  33412  icorempo  38465  ovoliunnfl  38771  voliunnfl  38773  volsupnfl  38774  supxrgelem  46552  supxrge  46553  infleinflem1  46584  infleinflem2  46585  xrre4  46624  supminfxr2  46682  climxrre  46963  sge0repnf  47599  voliunsge0lem  47685