Theorem renepnf 11188

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11181	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3039	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2825	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 327	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2962	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ℝcr 11032  +∞cpnf 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-nel 3038  df-rab 3391  df-v 3432  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-uni 4852  df-pnf 11176

This theorem is referenced by:  renepnfd  11191  renfdisj  11200  xrnepnf  13064  rexneg  13158  rexadd  13179  xaddnepnf  13184  xaddcom  13187  xaddrid  13188  xnn0xadd0  13194  xnegdi  13195  xpncan  13198  xleadd1a  13200  rexmul  13218  xmulpnf1  13221  xadddilem  13241  rpsup  13820  hashneq0  14321  hash1snb  14376  xrsnsgrp  21401  xaddeq0  32845  icorempo  37685  ovoliunnfl  38001  voliunnfl  38003  volsupnfl  38004  supxrgelem  45789  supxrge  45790  infleinflem1  45821  infleinflem2  45822  xrre4  45861  supminfxr2  45919  climxrre  46200  sge0repnf  46836  voliunsge0lem  46922