Theorem renepnf 11263

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11256	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3065	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2850	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 330	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2986	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ℝcr 11105  +∞cpnf 11246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-resscn 11163

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-3an 1104  df-tru 1572  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-nel 3064  df-rab 3416  df-v 3456  df-in 3911  df-ss 3921  df-pw 4563  df-uni 4872  df-pnf 11251

This theorem is used by:  renepnfd  11266  renfdisj  11275  xrnepnf  13149  rexneg  13243  rexadd  13264  xaddnepnf  13269  xaddcom  13272  xaddrid  13273  xnn0xadd0  13279  xnegdi  13280  xpncan  13283  xleadd1a  13285  rexmul  13303  xmulpnf1  13306  xadddilem  13326  rpsup  13906  hashneq0  14407  hash1snb  14463  xrsnsgrp  21569  xaddeq0  33109  icorempo  38025  ovoliunnfl  38341  voliunnfl  38343  volsupnfl  38344  supxrgelem  46081  supxrge  46082  infleinflem1  46113  infleinflem2  46114  xrre4  46153  supminfxr2  46211  climxrre  46492  sge0repnf  47128  voliunsge0lem  47214