MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pospropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pospropd 18284
Description: Posethood is determined only by structure components and only by the value of the relation within the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pospropd.kv (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
pospropd.lv (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ π‘Š)
pospropd.kb (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
pospropd.lb (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
pospropd.xy ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
pospropd (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐿 ∈ Poset))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem pospropd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pospropd.xy . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦))
21ralrimivva 3198 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦))
3 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
43, 3jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡))
5 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑦))
6 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑦))
75, 6bibi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦) ↔ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑦)))
8 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘Ž β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž))
9 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘Ž β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑦 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž))
108, 9bibi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘Ž β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑦) ↔ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž)))
117, 10rspc2va 3622 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž))
124, 11sylan 578 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž))
13 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏 β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏))
14 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏 β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑦 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏))
1513, 14bibi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑦) ↔ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏)))
167, 15rspc2va 3622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏))
17163adantl3 1166 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏))
18 3simpb 1147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡))
19183comr 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡))
20 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑦))
21 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦 ↔ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑦))
2220, 21bibi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦) ↔ (𝑏(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑦)))
23 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑏(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž))
24 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑏(leβ€˜πΏ)𝑦 ↔ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž))
2523, 24bibi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘Ž β†’ ((𝑏(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑦) ↔ (𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž ↔ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž)))
2622, 25rspc2va 3622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ (𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž ↔ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž))
2719, 26sylan 578 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ (𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž ↔ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž))
2817, 27anbi12d 629 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) ↔ (π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž)))
2928imbi1d 340 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ (((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ↔ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏)))
30 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑐 β†’ (𝑏(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐))
31 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑐 β†’ (𝑏(leβ€˜πΏ)𝑦 ↔ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐))
3230, 31bibi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑐 β†’ ((𝑏(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑦) ↔ (𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐 ↔ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐)))
3322, 32rspc2va 3622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ (𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐 ↔ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐))
34333adantl1 1164 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ (𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐 ↔ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐))
3517, 34anbi12d 629 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) ↔ (π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐)))
36 3simpb 1147 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡))
37 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑐 β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐))
38 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑐 β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑦 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))
3937, 38bibi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑐 β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑦) ↔ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐)))
407, 39rspc2va 3622 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))
4136, 40sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐 ↔ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))
4235, 41imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ (((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐) ↔ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐)))
4312, 29, 423anbi123d 1434 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜πΏ)𝑦)) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ (π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))))
442, 43sylan2 591 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ (π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))))
4544ancoms 457 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ (π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))))
46453exp2 1352 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (𝑐 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ (π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐)))))))
4746imp42 425 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ (π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))))
4847ralbidva 3173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))))
49482ralbidva 3214 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))))
50 pospropd.kb . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
51 raleq 3320 . . . . . . 7 (𝐡 = (Baseβ€˜πΎ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐))))
5251raleqbi1dv 3331 . . . . . 6 (𝐡 = (Baseβ€˜πΎ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐))))
5352raleqbi1dv 3331 . . . . 5 (𝐡 = (Baseβ€˜πΎ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐))))
5450, 53syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐))))
55 pospropd.lb . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
56 raleq 3320 . . . . . . 7 (𝐡 = (Baseβ€˜πΏ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐)) ↔ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))))
5756raleqbi1dv 3331 . . . . . 6 (𝐡 = (Baseβ€˜πΏ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐)) ↔ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))))
5857raleqbi1dv 3331 . . . . 5 (𝐡 = (Baseβ€˜πΏ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐)) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))))
5955, 58syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐)) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))))
6049, 54, 593bitr3d 308 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))))
61 pospropd.kv . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
6261elexd 3493 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
6362biantrurd 531 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)) ↔ (𝐾 ∈ V ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐)))))
64 pospropd.lv . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ π‘Š)
6564elexd 3493 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ V)
6665biantrurd 531 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐)) ↔ (𝐿 ∈ V ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐)))))
6760, 63, 663bitr3d 308 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ V ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐))) ↔ (𝐿 ∈ V ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐)))))
68 eqid 2730 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
69 eqid 2730 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7068, 69ispos 18271 . 2 (𝐾 ∈ Poset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘Ž(leβ€˜πΎ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΎ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑐))))
71 eqid 2730 . . 3 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
72 eqid 2730 . . 3 (leβ€˜πΏ) = (leβ€˜πΏ)
7371, 72ispos 18271 . 2 (𝐿 ∈ Poset ↔ (𝐿 ∈ V ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(π‘Ž(leβ€˜πΏ)π‘Ž ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏) ∧ ((π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΏ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΏ)𝑐))))
7467, 70, 733bitr4g 313 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐿 ∈ Poset))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  lecple 17208  Posetcpo 18264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-nul 5305
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-iota 6494  df-fv 6550  df-poset 18270
This theorem is referenced by:  oduposb  18286  postcpos  47787
  Copyright terms: Public domain W3C validator