Theorem pospropd 18505

Description: Posethood is determined only by structure components and only by the value of the relation within the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pospropd.kv	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
pospropd.lv	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑊)
pospropd.kb	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
pospropd.lb	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
pospropd.xy	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
pospropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐿 ∈ Poset))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem pospropd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pospropd.xy	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦))
2	1	ralrimivva 3205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦))
3		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
4	3, 3	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
5		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑎(le‘𝐾)𝑦))
6		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(le‘𝐿)𝑦 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑦))
7	5, 6	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑎(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑦)))
8		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑎(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑎(le‘𝐾)𝑎))
9		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑎(le‘𝐿)𝑦 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑎))
10	8, 9	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝑎(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑎)))
11	7, 10	rspc2va 3587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑎))
12	4, 11	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑎))
13		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑎(le‘𝐾)𝑏))
14		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(le‘𝐿)𝑦 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑏))
15	13, 14	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑎(le‘𝐾)𝑏 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑏)))
16	7, 15	rspc2va 3587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑎(le‘𝐾)𝑏 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑏))
17	16	3adantl3 1187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑎(le‘𝐾)𝑏 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑏))
18		3simpb 1167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
19	18	3comr 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
20		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑏(le‘𝐾)𝑦))
21		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥(le‘𝐿)𝑦 ↔ 𝑏(le‘𝐿)𝑦))
22	20, 21	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑏(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑏(le‘𝐿)𝑦)))
23		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑏(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑏(le‘𝐾)𝑎))
24		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑏(le‘𝐿)𝑦 ↔ 𝑏(le‘𝐿)𝑎))
25	23, 24	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝑏(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑏(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑏(le‘𝐾)𝑎 ↔ 𝑏(le‘𝐿)𝑎)))
26	22, 25	rspc2va 3587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑏(le‘𝐾)𝑎 ↔ 𝑏(le‘𝐿)𝑎))
27	19, 26	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑏(le‘𝐾)𝑎 ↔ 𝑏(le‘𝐿)𝑎))
28	17, 27	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎)))
29	28	imbi1d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏)))
30		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑏(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑏(le‘𝐾)𝑐))
31		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑏(le‘𝐿)𝑦 ↔ 𝑏(le‘𝐿)𝑐))
32	30, 31	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ((𝑏(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑏(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑏(le‘𝐾)𝑐 ↔ 𝑏(le‘𝐿)𝑐)))
33	22, 32	rspc2va 3587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑏(le‘𝐾)𝑐 ↔ 𝑏(le‘𝐿)𝑐))
34	33	3adantl1 1185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑏(le‘𝐾)𝑐 ↔ 𝑏(le‘𝐿)𝑐))
35	17, 34	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐)))
36		3simpb 1167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵))
37		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑎(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑎(le‘𝐾)𝑐))
38		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑎(le‘𝐿)𝑦 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑐))
39	37, 38	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ((𝑎(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑎(le‘𝐾)𝑐 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑐)))
40	7, 39	rspc2va 3587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑎(le‘𝐾)𝑐 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑐))
41	36, 40	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑎(le‘𝐾)𝑐 ↔ 𝑎(le‘𝐿)𝑐))
42	35, 41	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐) ↔ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)))
43	12, 29, 42	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → ((𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
44	2, 43	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) → ((𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
45	44	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
46	45	3exp2 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝑐 ∈ 𝐵 → ((𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)))))))
47	46	imp42 432	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
48	47	ralbidva 3183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
49	48	2ralbidva 3224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
50		pospropd.kb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
51		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = (Base‘𝐾) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐))))
52	51	raleqbi1dv 3329	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = (Base‘𝐾) → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐))))
53	52	raleqbi1dv 3329	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (Base‘𝐾) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐))))
54	50, 53	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐))))
55		pospropd.lb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
56		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = (Base‘𝐿) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
57	56	raleqbi1dv 3329	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = (Base‘𝐿) → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)) ↔ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
58	57	raleqbi1dv 3329	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (Base‘𝐿) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
59	55, 58	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
60	49, 54, 59	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
61		pospropd.kv	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
62	61	elexd 3473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
63	62	biantrurd 542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)))))
64		pospropd.lv	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑊)
65	64	elexd 3473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ V)
66	65	biantrurd 542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)) ↔ (𝐿 ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)))))
67	60, 63, 66	3bitr3d 312	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐))) ↔ (𝐿 ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)))))
68		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
69		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
70	68, 69	ispos 18494	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Poset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐))))
71		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
72		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘𝐿) = (le‘𝐿)
73	71, 72	ispos 18494	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ Poset ↔ (𝐿 ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
74	67, 70, 73	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐿 ∈ Poset))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  lecple 17441  Posetcpo 18487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6547  df-poset 18493

This theorem is used by:  oduposb  18507  postcpos  50799