Theorem oduposb 18248

Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odupos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduposb	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))

Proof of Theorem oduposb

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odupos.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2	1	odupos 18247	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝐷) = (ODual‘𝐷)
4	3	odupos 18247	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Poset → (ODual‘𝐷) ∈ Poset)
5		fvexd 6847	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (ODual‘𝐷) ∈ V)
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
7		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
8	1, 7	odubas 18212	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
9	3, 8	odubas 18212	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘(ODual‘𝐷))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑂) = (Base‘(ODual‘𝐷)))
11		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
12		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
13	1, 12	oduleval 18210	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
14	3, 13	oduleval 18210	. . . . . . . 8 ⊢ ◡◡(le‘𝑂) = (le‘(ODual‘𝐷))
15	14	eqcomi 2743	. . . . . . 7 ⊢ (le‘(ODual‘𝐷)) = ◡◡(le‘𝑂)
16	15	breqi 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏 ↔ 𝑎◡◡(le‘𝑂)𝑏)
17		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
18		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
19	17, 18	brcnv 5829	. . . . . 6 ⊢ (𝑎◡◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎)
20	18, 17	brcnv 5829	. . . . . 6 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
21	16, 19, 20	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂))) → (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏))
23	5, 6, 10, 11, 22	pospropd 18246	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((ODual‘𝐷) ∈ Poset ↔ 𝑂 ∈ Poset))
24	4, 23	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝐷 ∈ Poset → 𝑂 ∈ Poset))
25	2, 24	impbid2 226	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   class class class wbr 5096  ^◡ccnv 5621  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  lecple 17182  ODualcodu 18207  Posetcpo 18228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-dec 12606  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ple 17195  df-odu 18208  df-proset 18215  df-poset 18234

This theorem is referenced by:  odulatb  18355  oduclatb  18428