Theorem oduposb 18092

Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odupos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduposb	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))

Proof of Theorem oduposb

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odupos.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2	1	odupos 18091	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝐷) = (ODual‘𝐷)
4	3	odupos 18091	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Poset → (ODual‘𝐷) ∈ Poset)
5		fvexd 6819	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (ODual‘𝐷) ∈ V)
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
7		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
8	1, 7	odubas 18054	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
9	3, 8	odubas 18054	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘(ODual‘𝐷))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑂) = (Base‘(ODual‘𝐷)))
11		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
12		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
13	1, 12	oduleval 18052	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
14	3, 13	oduleval 18052	. . . . . . . 8 ⊢ ◡◡(le‘𝑂) = (le‘(ODual‘𝐷))
15	14	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ (le‘(ODual‘𝐷)) = ◡◡(le‘𝑂)
16	15	breqi 5087	. . . . . 6 ⊢ (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏 ↔ 𝑎◡◡(le‘𝑂)𝑏)
17		vex 3441	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
18		vex 3441	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
19	17, 18	brcnv 5804	. . . . . 6 ⊢ (𝑎◡◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎)
20	18, 17	brcnv 5804	. . . . . 6 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
21	16, 19, 20	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂))) → (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏))
23	5, 6, 10, 11, 22	pospropd 18090	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((ODual‘𝐷) ∈ Poset ↔ 𝑂 ∈ Poset))
24	4, 23	syl5ib 244	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝐷 ∈ Poset → 𝑂 ∈ Poset))
25	2, 24	impbid2 225	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   class class class wbr 5081  ^◡ccnv 5599  ‘cfv 6458  Basecbs 16957  lecple 17014  ODualcodu 18049  Posetcpo 18070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-dec 12484  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ple 17027  df-odu 18050  df-proset 18058  df-poset 18076

This theorem is referenced by:  odulatb  18197  oduclatb  18270