Theorem oduposb 18233

Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odupos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduposb	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))

Proof of Theorem oduposb

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odupos.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2	1	odupos 18232	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝐷) = (ODual‘𝐷)
4	3	odupos 18232	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Poset → (ODual‘𝐷) ∈ Poset)
5		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (ODual‘𝐷) ∈ V)
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
7		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
8	1, 7	odubas 18197	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
9	3, 8	odubas 18197	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘(ODual‘𝐷))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑂) = (Base‘(ODual‘𝐷)))
11		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
12		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
13	1, 12	oduleval 18195	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
14	3, 13	oduleval 18195	. . . . . . . 8 ⊢ ◡◡(le‘𝑂) = (le‘(ODual‘𝐷))
15	14	eqcomi 2740	. . . . . . 7 ⊢ (le‘(ODual‘𝐷)) = ◡◡(le‘𝑂)
16	15	breqi 5095	. . . . . 6 ⊢ (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏 ↔ 𝑎◡◡(le‘𝑂)𝑏)
17		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
18		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
19	17, 18	brcnv 5821	. . . . . 6 ⊢ (𝑎◡◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎)
20	18, 17	brcnv 5821	. . . . . 6 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
21	16, 19, 20	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂))) → (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏))
23	5, 6, 10, 11, 22	pospropd 18231	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((ODual‘𝐷) ∈ Poset ↔ 𝑂 ∈ Poset))
24	4, 23	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝐷 ∈ Poset → 𝑂 ∈ Poset))
25	2, 24	impbid2 226	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  lecple 17168  ODualcodu 18192  Posetcpo 18213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-dec 12589  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ple 17181  df-odu 18193  df-proset 18200  df-poset 18219

This theorem is referenced by:  odulatb  18340  oduclatb  18413