Theorem isposixOLD 18274

Description: Obsolete proof of isposix 18273 as of 30-Oct-2024. Properties that determine a poset (explicit structure version). Note that the numeric indices of the structure components are not mentioned explicitly in either the theorem or its proof (Remark: That is not true - it becomes true with the new proof!). (Contributed by NM, 9-Nov-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isposix.a	⊢ 𝐵 ∈ V
isposix.b	⊢ ≤ ∈ V
isposix.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩}
isposix.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝑥)
isposix.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
isposix.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))

Assertion

Ref	Expression
isposixOLD	⊢ 𝐾 ∈ Poset

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥, ≤ ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isposixOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isposix.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩}
2		prex 5430	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2830	. 2 ⊢ 𝐾 ∈ V
4		isposix.a	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		df-ple 17212	. . . 4 ⊢ le = Slot ;10
6		1lt10 12811	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
7		10nn 12688	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8	1, 5, 6, 7	2strbas 17162	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐾))
9	4, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		isposix.b	. . 3 ⊢ ≤ ∈ V
11	1, 5, 6, 7	2strop 17163	. . 3 ⊢ ( ≤ ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		isposix.1	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝑥)
14		isposix.2	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
15		isposix.3	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
16	3, 9, 12, 13, 14, 15	isposi 18272	1 ⊢ 𝐾 ∈ Poset

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {cpr 4628  ⟨cop 4632   class class class wbr 5146  ‘cfv 6539  0cc0 11105  1c1 11106  ;cdc 12672  ndxcnx 17121  Basecbs 17139  lecple 17199  Posetcpo 18255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-fz 13480  df-struct 17075  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ple 17212  df-poset 18261

This theorem is referenced by: (None)