Theorem odupos 18404

Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odupos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odupos	⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Proof of Theorem odupos

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odupos.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2	1	fvexi 6899	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ V)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
5	1, 4	odubas 18369	. . 3 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷))
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
8	1, 7	oduleval 18367	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷))
10	4, 7	posref 18396	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
11		vex 3461	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ V
12	11, 11	brcnv 5870	. . 3 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
13	10, 12	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎◡(le‘𝑂)𝑎)
14		vex 3461	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
15	11, 14	brcnv 5870	. . . 4 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑎)
16	14, 11	brcnv 5870	. . . 4 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
17	15, 16	anbi12ci 641	. . 3 ⊢ ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎) ↔ (𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎))
18	4, 7	posasymb 18397	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑏))
19	18	biimpd 232	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
20	17, 19	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
21		3anrev 1118	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂)) ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)))
22	4, 7	postr 18398	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
23	21, 22	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
24		vex 3461	. . . . 5 ⊢ 𝑐 ∈ V
25	14, 24	brcnv 5870	. . . 4 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
26	15, 25	anbi12ci 641	. . 3 ⊢ ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐) ↔ (𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎))
27	11, 24	brcnv 5870	. . 3 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑎)
28	23, 26, 27	3imtr4g 299	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐) → 𝑎◡(le‘𝑂)𝑐))
29	3, 6, 9, 13, 20, 28	isposd 18400	1 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  lecple 17339  ODualcodu 18364  Posetcpo 18385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ple 17352  df-odu 18365  df-proset 18372  df-poset 18391

This theorem is used by:  oduposb  18405  posglbdg  18491  odutos  33352  glbprlem  49800