Theorem odupos 18294

Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odupos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odupos	⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Proof of Theorem odupos

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odupos.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2	1	fvexi 6875	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ V)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
5	1, 4	odubas 18259	. . 3 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷))
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
8	1, 7	oduleval 18257	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷))
10	4, 7	posref 18286	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
11		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ V
12	11, 11	brcnv 5849	. . 3 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
13	10, 12	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎◡(le‘𝑂)𝑎)
14		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
15	11, 14	brcnv 5849	. . . 4 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑎)
16	14, 11	brcnv 5849	. . . 4 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
17	15, 16	anbi12ci 629	. . 3 ⊢ ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎) ↔ (𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎))
18	4, 7	posasymb 18287	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑏))
19	18	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
20	17, 19	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
21		3anrev 1100	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂)) ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)))
22	4, 7	postr 18288	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
23	21, 22	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
24		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑐 ∈ V
25	14, 24	brcnv 5849	. . . 4 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
26	15, 25	anbi12ci 629	. . 3 ⊢ ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐) ↔ (𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎))
27	11, 24	brcnv 5849	. . 3 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑎)
28	23, 26, 27	3imtr4g 296	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐) → 𝑎◡(le‘𝑂)𝑐))
29	3, 6, 9, 13, 20, 28	isposd 18290	1 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5640  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  lecple 17234  ODualcodu 18254  Posetcpo 18275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-dec 12657  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ple 17247  df-odu 18255  df-proset 18262  df-poset 18281

This theorem is referenced by:  oduposb  18295  posglbdg  18381  odutos  32901  glbprlem  48957