Theorem odupos 18283

Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odupos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odupos	⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Proof of Theorem odupos

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odupos.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2	1	fvexi 6841	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ V)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
5	1, 4	odubas 18248	. . 3 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷))
7		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
8	1, 7	oduleval 18246	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷))
10	4, 7	posref 18275	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
11		vex 3435	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ V
12	11, 11	brcnv 5824	. . 3 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
13	10, 12	sylibr 235	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎◡(le‘𝑂)𝑎)
14		vex 3435	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
15	11, 14	brcnv 5824	. . . 4 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑎)
16	14, 11	brcnv 5824	. . . 4 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
17	15, 16	anbi12ci 635	. . 3 ⊢ ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎) ↔ (𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎))
18	4, 7	posasymb 18276	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑏))
19	18	biimpd 230	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
20	17, 19	biimtrid 243	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
21		3anrev 1106	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂)) ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)))
22	4, 7	postr 18277	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
23	21, 22	sylan2b 600	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
24		vex 3435	. . . . 5 ⊢ 𝑐 ∈ V
25	14, 24	brcnv 5824	. . . 4 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
26	15, 25	anbi12ci 635	. . 3 ⊢ ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐) ↔ (𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎))
27	11, 24	brcnv 5824	. . 3 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑎)
28	23, 26, 27	3imtr4g 297	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐) → 𝑎◡(le‘𝑂)𝑐))
29	3, 6, 9, 13, 20, 28	isposd 18279	1 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072  ^◡ccnv 5617  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  lecple 17218  ODualcodu 18243  Posetcpo 18264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-dec 12636  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ple 17231  df-odu 18244  df-proset 18251  df-poset 18270

This theorem is referenced by:  oduposb  18284  posglbdg  18370  odutos  33047  glbprlem  49455