MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odupos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odupos 17488
Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
odupos.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odupos (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Proof of Theorem odupos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odupos.d . . . 4 𝐷 = (ODual‘𝑂)
21fvexi 6447 . . 3 𝐷 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ V)
4 eqid 2825 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
51, 4odubas 17486 . . 3 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
65a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷))
7 eqid 2825 . . . 4 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
81, 7oduleval 17484 . . 3 (le‘𝑂) = (le‘𝐷)
98a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset → (le‘𝑂) = (le‘𝐷))
104, 7posref 17304 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
11 vex 3417 . . . 4 𝑎 ∈ V
1211, 11brcnv 5537 . . 3 (𝑎(le‘𝑂)𝑎𝑎(le‘𝑂)𝑎)
1310, 12sylibr 226 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
14 vex 3417 . . . . 5 𝑏 ∈ V
1511, 14brcnv 5537 . . . 4 (𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎)
1614, 11brcnv 5537 . . . 4 (𝑏(le‘𝑂)𝑎𝑎(le‘𝑂)𝑏)
1715, 16anbi12ci 623 . . 3 ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ (𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎))
184, 7posasymb 17305 . . . 4 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑏))
1918biimpd 221 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
2017, 19syl5bi 234 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
21 3anrev 1132 . . . 4 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂)) ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)))
224, 7postr 17306 . . . 4 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
2321, 22sylan2b 589 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
24 vex 3417 . . . . 5 𝑐 ∈ V
2514, 24brcnv 5537 . . . 4 (𝑏(le‘𝑂)𝑐𝑐(le‘𝑂)𝑏)
2615, 25anbi12ci 623 . . 3 ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑐) ↔ (𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎))
2711, 24brcnv 5537 . . 3 (𝑎(le‘𝑂)𝑐𝑐(le‘𝑂)𝑎)
2823, 26, 273imtr4g 288 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑐) → 𝑎(le‘𝑂)𝑐))
293, 6, 9, 13, 20, 28isposd 17308 1 (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3414   class class class wbr 4873  ccnv 5341  cfv 6123  Basecbs 16222  lecple 16312  Posetcpo 17293  ODualcodu 17481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-dec 11822  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ple 16325  df-proset 17281  df-poset 17299  df-odu 17482
This theorem is referenced by:  oduposb  17489  posglbd  17503  odutos  30208
  Copyright terms: Public domain W3C validator