Theorem odupos 18343

Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odupos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odupos	⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Proof of Theorem odupos

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odupos.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2	1	fvexi 6900	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ V)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
5	1, 4	odubas 18307	. . 3 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷))
7		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
8	1, 7	oduleval 18305	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷))
10	4, 7	posref 18335	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
11		vex 3467	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ V
12	11, 11	brcnv 5873	. . 3 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
13	10, 12	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎◡(le‘𝑂)𝑎)
14		vex 3467	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
15	11, 14	brcnv 5873	. . . 4 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑎)
16	14, 11	brcnv 5873	. . . 4 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
17	15, 16	anbi12ci 629	. . 3 ⊢ ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎) ↔ (𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎))
18	4, 7	posasymb 18336	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑏))
19	18	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
20	17, 19	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
21		3anrev 1100	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂)) ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)))
22	4, 7	postr 18337	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
23	21, 22	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
24		vex 3467	. . . . 5 ⊢ 𝑐 ∈ V
25	14, 24	brcnv 5873	. . . 4 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
26	15, 25	anbi12ci 629	. . 3 ⊢ ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐) ↔ (𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎))
27	11, 24	brcnv 5873	. . 3 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑎)
28	23, 26, 27	3imtr4g 296	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐) → 𝑎◡(le‘𝑂)𝑐))
29	3, 6, 9, 13, 20, 28	isposd 18339	1 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   class class class wbr 5123  ^◡ccnv 5664  ‘cfv 6541  Basecbs 17230  lecple 17281  ODualcodu 18302  Posetcpo 18324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-dec 12717  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ple 17294  df-odu 18303  df-proset 18311  df-poset 18330

This theorem is referenced by:  oduposb  18344  posglbdg  18430  odutos  32902  glbprlem  48846