MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odupos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odupos 18320
Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
odupos.d 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
odupos (𝑂 ∈ Poset β†’ 𝐷 ∈ Poset)

Proof of Theorem odupos
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odupos.d . . . 4 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
21fvexi 6911 . . 3 𝐷 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset β†’ 𝐷 ∈ V)
4 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π‘‚)
51, 4odubas 18283 . . 3 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π·)
65a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset β†’ (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π·))
7 eqid 2728 . . . 4 (leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π‘‚)
81, 7oduleval 18281 . . 3 β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π·)
98a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset β†’ β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π·))
104, 7posref 18310 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚)) β†’ π‘Ž(leβ€˜π‘‚)π‘Ž)
11 vex 3475 . . . 4 π‘Ž ∈ V
1211, 11brcnv 5885 . . 3 (π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)π‘Ž ↔ π‘Ž(leβ€˜π‘‚)π‘Ž)
1310, 12sylibr 233 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚)) β†’ π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)π‘Ž)
14 vex 3475 . . . . 5 𝑏 ∈ V
1511, 14brcnv 5885 . . . 4 (π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑏 ↔ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž)
1614, 11brcnv 5885 . . . 4 (𝑏◑(leβ€˜π‘‚)π‘Ž ↔ π‘Ž(leβ€˜π‘‚)𝑏)
1715, 16anbi12ci 628 . . 3 ((π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)π‘Ž) ↔ (π‘Ž(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž))
184, 7posasymb 18311 . . . 4 ((𝑂 ∈ Poset ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž) ↔ π‘Ž = 𝑏))
1918biimpd 228 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏))
2017, 19biimtrid 241 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)) β†’ ((π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏))
21 3anrev 1099 . . . 4 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)) ↔ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚)))
224, 7postr 18312 . . . 4 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚))) β†’ ((𝑐(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž) β†’ 𝑐(leβ€˜π‘‚)π‘Ž))
2321, 22sylan2b 593 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘‚))) β†’ ((𝑐(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž) β†’ 𝑐(leβ€˜π‘‚)π‘Ž))
24 vex 3475 . . . . 5 𝑐 ∈ V
2514, 24brcnv 5885 . . . 4 (𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑐 ↔ 𝑐(leβ€˜π‘‚)𝑏)
2615, 25anbi12ci 628 . . 3 ((π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑐) ↔ (𝑐(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž))
2711, 24brcnv 5885 . . 3 (π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑐 ↔ 𝑐(leβ€˜π‘‚)π‘Ž)
2823, 26, 273imtr4g 296 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘‚))) β†’ ((π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑐) β†’ π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑐))
293, 6, 9, 13, 20, 28isposd 18315 1 (𝑂 ∈ Poset β†’ 𝐷 ∈ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5677  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  ODualcodu 18278  Posetcpo 18299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-dec 12709  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ple 17253  df-odu 18279  df-proset 18287  df-poset 18305
This theorem is referenced by:  oduposb  18321  posglbdg  18407  odutos  32708  glbprlem  47984
  Copyright terms: Public domain W3C validator