MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odupos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odupos 18373
Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
odupos.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odupos (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Proof of Theorem odupos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odupos.d . . . 4 𝐷 = (ODual‘𝑂)
21fvexi 6920 . . 3 𝐷 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ V)
4 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
51, 4odubas 18336 . . 3 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
65a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷))
7 eqid 2737 . . . 4 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
81, 7oduleval 18334 . . 3 (le‘𝑂) = (le‘𝐷)
98a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset → (le‘𝑂) = (le‘𝐷))
104, 7posref 18364 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
11 vex 3484 . . . 4 𝑎 ∈ V
1211, 11brcnv 5893 . . 3 (𝑎(le‘𝑂)𝑎𝑎(le‘𝑂)𝑎)
1310, 12sylibr 234 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
14 vex 3484 . . . . 5 𝑏 ∈ V
1511, 14brcnv 5893 . . . 4 (𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎)
1614, 11brcnv 5893 . . . 4 (𝑏(le‘𝑂)𝑎𝑎(le‘𝑂)𝑏)
1715, 16anbi12ci 629 . . 3 ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ (𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎))
184, 7posasymb 18365 . . . 4 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑏))
1918biimpd 229 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
2017, 19biimtrid 242 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
21 3anrev 1101 . . . 4 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂)) ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)))
224, 7postr 18366 . . . 4 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
2321, 22sylan2b 594 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
24 vex 3484 . . . . 5 𝑐 ∈ V
2514, 24brcnv 5893 . . . 4 (𝑏(le‘𝑂)𝑐𝑐(le‘𝑂)𝑏)
2615, 25anbi12ci 629 . . 3 ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑐) ↔ (𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎))
2711, 24brcnv 5893 . . 3 (𝑎(le‘𝑂)𝑐𝑐(le‘𝑂)𝑎)
2823, 26, 273imtr4g 296 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑐) → 𝑎(le‘𝑂)𝑐))
293, 6, 9, 13, 20, 28isposd 18368 1 (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  ccnv 5684  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  ODualcodu 18331  Posetcpo 18353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ple 17317  df-odu 18332  df-proset 18340  df-poset 18359
This theorem is referenced by:  oduposb  18374  posglbdg  18460  odutos  32958  glbprlem  48862
  Copyright terms: Public domain W3C validator