MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odupos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odupos 18291
Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
odupos.d 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
odupos (𝑂 ∈ Poset β†’ 𝐷 ∈ Poset)

Proof of Theorem odupos
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odupos.d . . . 4 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
21fvexi 6898 . . 3 𝐷 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset β†’ 𝐷 ∈ V)
4 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π‘‚)
51, 4odubas 18254 . . 3 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π·)
65a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset β†’ (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π·))
7 eqid 2726 . . . 4 (leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π‘‚)
81, 7oduleval 18252 . . 3 β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π·)
98a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset β†’ β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π·))
104, 7posref 18281 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚)) β†’ π‘Ž(leβ€˜π‘‚)π‘Ž)
11 vex 3472 . . . 4 π‘Ž ∈ V
1211, 11brcnv 5875 . . 3 (π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)π‘Ž ↔ π‘Ž(leβ€˜π‘‚)π‘Ž)
1310, 12sylibr 233 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚)) β†’ π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)π‘Ž)
14 vex 3472 . . . . 5 𝑏 ∈ V
1511, 14brcnv 5875 . . . 4 (π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑏 ↔ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž)
1614, 11brcnv 5875 . . . 4 (𝑏◑(leβ€˜π‘‚)π‘Ž ↔ π‘Ž(leβ€˜π‘‚)𝑏)
1715, 16anbi12ci 627 . . 3 ((π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)π‘Ž) ↔ (π‘Ž(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž))
184, 7posasymb 18282 . . . 4 ((𝑂 ∈ Poset ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž) ↔ π‘Ž = 𝑏))
1918biimpd 228 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏))
2017, 19biimtrid 241 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)) β†’ ((π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏))
21 3anrev 1098 . . . 4 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘‚)) ↔ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚)))
224, 7postr 18283 . . . 4 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚))) β†’ ((𝑐(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž) β†’ 𝑐(leβ€˜π‘‚)π‘Ž))
2321, 22sylan2b 593 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘‚))) β†’ ((𝑐(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž) β†’ 𝑐(leβ€˜π‘‚)π‘Ž))
24 vex 3472 . . . . 5 𝑐 ∈ V
2514, 24brcnv 5875 . . . 4 (𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑐 ↔ 𝑐(leβ€˜π‘‚)𝑏)
2615, 25anbi12ci 627 . . 3 ((π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑐) ↔ (𝑐(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜π‘‚)π‘Ž))
2711, 24brcnv 5875 . . 3 (π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑐 ↔ 𝑐(leβ€˜π‘‚)π‘Ž)
2823, 26, 273imtr4g 296 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‚) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘‚))) β†’ ((π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑏 ∧ 𝑏◑(leβ€˜π‘‚)𝑐) β†’ π‘Žβ—‘(leβ€˜π‘‚)𝑐))
293, 6, 9, 13, 20, 28isposd 18286 1 (𝑂 ∈ Poset β†’ 𝐷 ∈ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  lecple 17211  ODualcodu 18249  Posetcpo 18270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-dec 12679  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ple 17224  df-odu 18250  df-proset 18258  df-poset 18276
This theorem is referenced by:  oduposb  18292  posglbdg  18378  odutos  32641  glbprlem  47853
  Copyright terms: Public domain W3C validator