Theorem odupos 18095

Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odupos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odupos	⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Proof of Theorem odupos

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odupos.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2	1	fvexi 6818	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ V)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
5	1, 4	odubas 18058	. . 3 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷))
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
8	1, 7	oduleval 18056	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷))
10	4, 7	posref 18085	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
11		vex 3441	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ V
12	11, 11	brcnv 5804	. . 3 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
13	10, 12	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎◡(le‘𝑂)𝑎)
14		vex 3441	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
15	11, 14	brcnv 5804	. . . 4 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑎)
16	14, 11	brcnv 5804	. . . 4 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
17	15, 16	anbi12ci 629	. . 3 ⊢ ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎) ↔ (𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎))
18	4, 7	posasymb 18086	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑏))
19	18	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
20	17, 19	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
21		3anrev 1101	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂)) ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)))
22	4, 7	postr 18087	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
23	21, 22	sylan2b 595	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
24		vex 3441	. . . . 5 ⊢ 𝑐 ∈ V
25	14, 24	brcnv 5804	. . . 4 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
26	15, 25	anbi12ci 629	. . 3 ⊢ ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐) ↔ (𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝑂)𝑎))
27	11, 24	brcnv 5804	. . 3 ⊢ (𝑎◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑎)
28	23, 26, 27	3imtr4g 296	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑎◡(le‘𝑂)𝑏 ∧ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐) → 𝑎◡(le‘𝑂)𝑐))
29	3, 6, 9, 13, 20, 28	isposd 18090	1 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   class class class wbr 5081  ^◡ccnv 5599  ‘cfv 6458  Basecbs 16961  lecple 17018  ODualcodu 18053  Posetcpo 18074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-dec 12488  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ple 17031  df-odu 18054  df-proset 18062  df-poset 18080

This theorem is referenced by:  oduposb  18096  posglbdg  18182  odutos  31295  glbprlem  46503