Users' Mathboxes Mathbox for Rodolfo Medina < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prtlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prtlem10 35013
Description: Lemma for prter3 35030. (Contributed by Rodolfo Medina, 14-Oct-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
prtlem10 ( Er 𝐴 → (𝑧𝐴 → (𝑧 𝑤 ↔ ∃𝑣𝐴 (𝑧 ∈ [𝑣] 𝑤 ∈ [𝑣] ))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑣   𝑧,𝑣   𝑣,𝐴   𝑣,
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑤)   (𝑧,𝑤)

Proof of Theorem prtlem10
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . 5 (( Er 𝐴𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
2 simpl 476 . . . . . 6 (( Er 𝐴𝑧𝐴) → Er 𝐴)
32, 1erref 8046 . . . . 5 (( Er 𝐴𝑧𝐴) → 𝑧 𝑧)
4 breq1 4889 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 𝑧𝑧 𝑧))
5 breq1 4889 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 𝑤𝑧 𝑤))
64, 5anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑧 → ((𝑣 𝑧𝑣 𝑤) ↔ (𝑧 𝑧𝑧 𝑤)))
76rspcev 3510 . . . . . 6 ((𝑧𝐴 ∧ (𝑧 𝑧𝑧 𝑤)) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑧𝑣 𝑤))
87expr 450 . . . . 5 ((𝑧𝐴𝑧 𝑧) → (𝑧 𝑤 → ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑧𝑣 𝑤)))
91, 3, 8syl2anc 579 . . . 4 (( Er 𝐴𝑧𝐴) → (𝑧 𝑤 → ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑧𝑣 𝑤)))
10 simplll 765 . . . . . 6 (((( Er 𝐴𝑧𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ (𝑣 𝑧𝑣 𝑤)) → Er 𝐴)
11 simprl 761 . . . . . 6 (((( Er 𝐴𝑧𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ (𝑣 𝑧𝑣 𝑤)) → 𝑣 𝑧)
12 simprr 763 . . . . . 6 (((( Er 𝐴𝑧𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ (𝑣 𝑧𝑣 𝑤)) → 𝑣 𝑤)
1310, 11, 12ertr3d 8044 . . . . 5 (((( Er 𝐴𝑧𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ (𝑣 𝑧𝑣 𝑤)) → 𝑧 𝑤)
1413rexlimdva2 3215 . . . 4 (( Er 𝐴𝑧𝐴) → (∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑧𝑣 𝑤) → 𝑧 𝑤))
159, 14impbid 204 . . 3 (( Er 𝐴𝑧𝐴) → (𝑧 𝑤 ↔ ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑧𝑣 𝑤)))
16 vex 3400 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
17 vex 3400 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
1816, 17elec 8068 . . . . 5 (𝑧 ∈ [𝑣] 𝑣 𝑧)
19 vex 3400 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
2019, 17elec 8068 . . . . 5 (𝑤 ∈ [𝑣] 𝑣 𝑤)
2118, 20anbi12i 620 . . . 4 ((𝑧 ∈ [𝑣] 𝑤 ∈ [𝑣] ) ↔ (𝑣 𝑧𝑣 𝑤))
2221rexbii 3223 . . 3 (∃𝑣𝐴 (𝑧 ∈ [𝑣] 𝑤 ∈ [𝑣] ) ↔ ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑧𝑣 𝑤))
2315, 22syl6bbr 281 . 2 (( Er 𝐴𝑧𝐴) → (𝑧 𝑤 ↔ ∃𝑣𝐴 (𝑧 ∈ [𝑣] 𝑤 ∈ [𝑣] )))
2423ex 403 1 ( Er 𝐴 → (𝑧𝐴 → (𝑧 𝑤 ↔ ∃𝑣𝐴 (𝑧 ∈ [𝑣] 𝑤 ∈ [𝑣] ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2106  wrex 3090   class class class wbr 4886   Er wer 8023  [cec 8024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-br 4887  df-opab 4949  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-er 8026  df-ec 8028
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator