Theorem shne0i 31983

Description: A nonzero subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shne0.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shne0i	⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2956	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℋ)
2		df-rex 3087	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ))
3		nss 3994	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ))
4		shne0.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5		shle0 31977	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ)
7	6	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℋ)
8	2, 3, 7	3bitr2ri 303	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 = 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ)
9		elch0 31789	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
10	9	necon3bbii 3002	. . 3 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 ≠ 0ℎ)
11	10	rexbii 3109	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)
12	1, 8, 11	3bitri 300	1 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3898  0_ℎc0v 31459   S_ℋ csh 31463  0_ℋc0h 31470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-hilex 31534  ax-hv0cl 31538

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5653  df-cnv 5655  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-sh 31742  df-ch0 31788

This theorem is used by:  chne0i  31988  shatomici  32893