Theorem shne0i 31384

Description: A nonzero subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shne0.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shne0i	⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2927	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℋ)
2		df-rex 3055	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ))
3		nss 4014	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ))
4		shne0.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5		shle0 31378	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ)
7	6	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℋ)
8	2, 3, 7	3bitr2ri 300	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 = 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ)
9		elch0 31190	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
10	9	necon3bbii 2973	. . 3 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 ≠ 0ℎ)
11	10	rexbii 3077	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)
12	1, 8, 11	3bitri 297	1 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  0_ℎc0v 30860   S_ℋ csh 30864  0_ℋc0h 30871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-hilex 30935  ax-hv0cl 30939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-cnv 5649  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-sh 31143  df-ch0 31189

This theorem is referenced by:  chne0i  31389  shatomici  32294