Theorem shne0i 31480

Description: A nonzero subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shne0.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shne0i	⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2947	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℋ)
2		df-rex 3077	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ))
3		nss 4073	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ))
4		shne0.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5		shle0 31474	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ)
7	6	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℋ)
8	2, 3, 7	3bitr2ri 300	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 = 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ)
9		elch0 31286	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
10	9	necon3bbii 2994	. . 3 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 ≠ 0ℎ)
11	10	rexbii 3100	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)
12	1, 8, 11	3bitri 297	1 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  0_ℎc0v 30956   S_ℋ csh 30960  0_ℋc0h 30967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-hilex 31031  ax-hv0cl 31035

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-sh 31239  df-ch0 31285

This theorem is referenced by:  chne0i  31485  shatomici  32390