Theorem shne0i 30701

Description: A nonzero subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shne0.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shne0i	⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2942	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℋ)
2		df-rex 3072	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ))
3		nss 4047	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ))
4		shne0.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5		shle0 30695	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ)
7	6	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℋ)
8	2, 3, 7	3bitr2ri 300	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 = 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ)
9		elch0 30507	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
10	9	necon3bbii 2989	. . 3 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 ≠ 0ℎ)
11	10	rexbii 3095	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)
12	1, 8, 11	3bitri 297	1 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  0_ℎc0v 30177   S_ℋ csh 30181  0_ℋc0h 30188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-hilex 30252  ax-hv0cl 30256

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-sh 30460  df-ch0 30506

This theorem is referenced by:  chne0i  30706  shatomici  31611