Theorem shs0i 31419

Description: Hilbert subspace sum with the zero subspace. (Contributed by NM, 14-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shne0.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shs0i	⊢ (𝐴 +ℋ 0ℋ) = 𝐴

Proof of Theorem shs0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shne0.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		h0elsh 31226	. . 3 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
3	1, 2	shsval3i 31358	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ 0ℋ) = (span‘(𝐴 ∪ 0ℋ))
4		sh0le 31410	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0ℋ ⊆ 𝐴
6		ssequn2 4137	. . . 4 ⊢ (0ℋ ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ 0ℋ) = 𝐴)
7	5, 6	mpbi 230	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 0ℋ) = 𝐴
8	7	fveq2i 6820	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 0ℋ)) = (span‘𝐴)
9		spanid 31317	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)
10	1, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (span‘𝐴) = 𝐴
11	3, 8, 10	3eqtri 2757	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 0ℋ) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3898   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   S_ℋ csh 30898   +_ℋ cph 30901  spancspn 30902  0_ℋc0h 30905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076  ax-addf 11077  ax-mulf 11078  ax-hilex 30969  ax-hfvadd 30970  ax-hvcom 30971  ax-hvass 30972  ax-hv0cl 30973  ax-hvaddid 30974  ax-hfvmul 30975  ax-hvmulid 30976  ax-hvmulass 30977  ax-hvdistr1 30978  ax-hvdistr2 30979  ax-hvmul0 30980  ax-hfi 31049  ax-his1 31052  ax-his2 31053  ax-his3 31054  ax-his4 31055

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-icc 13244  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-topgen 17339  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-top 22802  df-topon 22819  df-bases 22854  df-lm 23137  df-haus 23223  df-grpo 30463  df-gid 30464  df-ginv 30465  df-gdiv 30466  df-ablo 30515  df-vc 30529  df-nv 30562  df-va 30565  df-ba 30566  df-sm 30567  df-0v 30568  df-vs 30569  df-nmcv 30570  df-ims 30571  df-hnorm 30938  df-hvsub 30941  df-hlim 30942  df-sh 31177  df-ch 31191  df-ch0 31223  df-shs 31278  df-span 31279

This theorem is referenced by:  shs00i  31420  sumdmdlem2  32389