Theorem shs0i 30565

Description: Hilbert subspace sum with the zero subspace. (Contributed by NM, 14-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shne0.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shs0i	⊢ (𝐴 +ℋ 0ℋ) = 𝐴

Proof of Theorem shs0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shne0.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		h0elsh 30372	. . 3 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
3	1, 2	shsval3i 30504	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ 0ℋ) = (span‘(𝐴 ∪ 0ℋ))
4		sh0le 30556	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0ℋ ⊆ 𝐴
6		ssequn2 4179	. . . 4 ⊢ (0ℋ ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ 0ℋ) = 𝐴)
7	5, 6	mpbi 229	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 0ℋ) = 𝐴
8	7	fveq2i 6881	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 0ℋ)) = (span‘𝐴)
9		spanid 30463	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)
10	1, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (span‘𝐴) = 𝐴
11	3, 8, 10	3eqtri 2763	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 0ℋ) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3942   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393   S_ℋ csh 30044   +_ℋ cph 30047  spancspn 30048  0_ℋc0h 30051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172  ax-hilex 30115  ax-hfvadd 30116  ax-hvcom 30117  ax-hvass 30118  ax-hv0cl 30119  ax-hvaddid 30120  ax-hfvmul 30121  ax-hvmulid 30122  ax-hvmulass 30123  ax-hvdistr1 30124  ax-hvdistr2 30125  ax-hvmul0 30126  ax-hfi 30195  ax-his1 30198  ax-his2 30199  ax-his3 30200  ax-his4 30201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-icc 13313  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-topgen 17371  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-top 22325  df-topon 22342  df-bases 22378  df-lm 22662  df-haus 22748  df-grpo 29609  df-gid 29610  df-ginv 29611  df-gdiv 29612  df-ablo 29661  df-vc 29675  df-nv 29708  df-va 29711  df-ba 29712  df-sm 29713  df-0v 29714  df-vs 29715  df-nmcv 29716  df-ims 29717  df-hnorm 30084  df-hvsub 30087  df-hlim 30088  df-sh 30323  df-ch 30337  df-ch0 30369  df-shs 30424  df-span 30425

This theorem is referenced by:  shs00i  30566  sumdmdlem2  31535