Theorem chne0i 32055

Description: A nonzero closed subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chne0i	⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31829	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3	2	shne0i 32050	1 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  0_ℎc0v 31526   C_ℋ cch 31531  0_ℋc0h 31537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-hilex 31601  ax-hv0cl 31605

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-sh 31809  df-ch 31823  df-ch0 31855

This theorem is used by:  chne0  32096  hne0  32149  h1datomi  32183  riesz3i  32664  pjnmopi  32750