HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ssjo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssjo 31475
Description: The lattice join of a subset with its orthocomplement is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ssjo (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 (⊥‘𝐴)) = ℋ)

Proof of Theorem ssjo
StepHypRef Expression
1 ocss 31313 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
2 sshjval 31378 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → (𝐴 (⊥‘𝐴)) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))))
31, 2mpdan 687 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 (⊥‘𝐴)) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))))
4 ssun1 4187 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))
51ancli 548 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ))
6 unss 4199 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) ↔ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
75, 6sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
8 occon 31315 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴)))
97, 8mpdan 687 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴)))
104, 9mpi 20 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴))
11 ssun2 4188 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))
12 occon 31315 . . . . . . . . 9 (((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ) → ((⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
131, 7, 12syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
1411, 13mpi 20 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
1510, 14ssind 4248 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
16 ocsh 31311 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ S )
17 ocin 31324 . . . . . . 7 ((⊥‘𝐴) ∈ S → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0)
1915, 18sseqtrd 4035 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ 0)
20 ocsh 31311 . . . . . 6 ((𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ∈ S )
21 sh0le 31468 . . . . . 6 ((⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ∈ S → 0 ⊆ (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))))
227, 20, 213syl 18 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → 0 ⊆ (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))))
2319, 22eqssd 4012 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) = 0)
2423fveq2d 6910 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))) = (⊥‘0))
25 choc0 31354 . . 3 (⊥‘0) = ℋ
2624, 25eqtrdi 2790 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))) = ℋ)
273, 26eqtrd 2774 1 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 (⊥‘𝐴)) = ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cun 3960  cin 3961  wss 3962  cfv 6562  (class class class)co 7430  chba 30947   S csh 30956  cort 30958   chj 30961  0c0h 30963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-lm 23252  df-haus 23338  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-hnorm 30996  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-chj 31338
This theorem is referenced by:  chjoi  31516
  Copyright terms: Public domain W3C validator