Theorem ssjo 32042

Description: The lattice join of a subset with its orthocomplement is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ssjo	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ℋ)

Proof of Theorem ssjo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocss 31880	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
2		sshjval 31945	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))))
3	1, 2	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))))
4		ssun1 4124	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))
5	1	ancli 558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ))
6		unss 4136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) ↔ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
7	5, 6	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
8		occon 31882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴)))
9	7, 8	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴)))
10	4, 9	mpi 21	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴))
11		ssun2 4125	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))
12		occon 31882	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ) → ((⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
13	1, 7, 12	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
14	11, 13	mpi 21	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
15	10, 14	ssind 4186	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
16		ocsh 31878	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
17		ocin 31891	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
18	16, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
19	15, 18	sseqtrd 3967	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ 0ℋ)
20		ocsh 31878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ∈ Sℋ )
21		sh0le 32035	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))))
22	7, 20, 21	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))))
23	19, 22	eqssd 3948	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
24	23	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))) = (⊥‘0ℋ))
25		choc0 31921	. . 3 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
26	24, 25	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))) = ℋ)
27	3, 26	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ℋchba 31514   S_ℋ csh 31523  ⊥cort 31525   ∨_ℋ chj 31528  0_ℋc0h 31530

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvmulass 31602  ax-hvdistr1 31603  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his1 31677  ax-his2 31678  ax-his3 31679  ax-his4 31680

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-icc 13476  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-topgen 17607  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-top 23205  df-topon 23222  df-bases 23257  df-lm 23540  df-haus 23626  df-grpo 31088  df-gid 31089  df-ginv 31090  df-gdiv 31091  df-ablo 31140  df-vc 31154  df-nv 31187  df-va 31190  df-ba 31191  df-sm 31192  df-0v 31193  df-vs 31194  df-nmcv 31195  df-ims 31196  df-hnorm 31563  df-hvsub 31566  df-hlim 31567  df-sh 31802  df-ch 31816  df-oc 31847  df-ch0 31848  df-chj 31905

This theorem is used by:  chjoi  32083