Theorem ssjo 31828

Description: The lattice join of a subset with its orthocomplement is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ssjo	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ℋ)

Proof of Theorem ssjo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocss 31666	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
2		sshjval 31731	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))))
3	1, 2	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))))
4		ssun1 4131	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))
5	1	ancli 558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ))
6		unss 4143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) ↔ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
7	5, 6	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
8		occon 31668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴)))
9	7, 8	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴)))
10	4, 9	mpi 21	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴))
11		ssun2 4132	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))
12		occon 31668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ) → ((⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
13	1, 7, 12	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
14	11, 13	mpi 21	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
15	10, 14	ssind 4193	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
16		ocsh 31664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
17		ocin 31677	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
18	16, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
19	15, 18	sseqtrd 3974	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ 0ℋ)
20		ocsh 31664	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ∈ Sℋ )
21		sh0le 31821	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))))
22	7, 20, 21	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))))
23	19, 22	eqssd 3955	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
24	23	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))) = (⊥‘0ℋ))
25		choc0 31707	. . 3 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
26	24, 25	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))) = ℋ)
27	3, 26	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ℋchba 31300   S_ℋ csh 31309  ⊥cort 31311   ∨_ℋ chj 31314  0_ℋc0h 31316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190  ax-mulf 11191  ax-hilex 31380  ax-hfvadd 31381  ax-hvcom 31382  ax-hvass 31383  ax-hv0cl 31384  ax-hvaddid 31385  ax-hfvmul 31386  ax-hvmulid 31387  ax-hvmulass 31388  ax-hvdistr1 31389  ax-hvdistr2 31390  ax-hvmul0 31391  ax-hfi 31460  ax-his1 31463  ax-his2 31464  ax-his3 31465  ax-his4 31466

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-icc 13390  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-topgen 17513  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-top 23080  df-topon 23097  df-bases 23132  df-lm 23415  df-haus 23501  df-grpo 30874  df-gid 30875  df-ginv 30876  df-gdiv 30877  df-ablo 30926  df-vc 30940  df-nv 30973  df-va 30976  df-ba 30977  df-sm 30978  df-0v 30979  df-vs 30980  df-nmcv 30981  df-ims 30982  df-hnorm 31349  df-hvsub 31352  df-hlim 31353  df-sh 31588  df-ch 31602  df-oc 31633  df-ch0 31634  df-chj 31691

This theorem is used by:  chjoi  31869