Theorem ssjo 31518

Description: The lattice join of a subset with its orthocomplement is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ssjo	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ℋ)

Proof of Theorem ssjo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocss 31356	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
2		sshjval 31421	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))))
3	1, 2	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))))
4		ssun1 4118	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))
5	1	ancli 548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ))
6		unss 4130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) ↔ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
7	5, 6	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
8		occon 31358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴)))
9	7, 8	mpdan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴)))
10	4, 9	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴))
11		ssun2 4119	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))
12		occon 31358	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ) → ((⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
13	1, 7, 12	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
14	11, 13	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
15	10, 14	ssind 4181	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
16		ocsh 31354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
17		ocin 31367	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
19	15, 18	sseqtrd 3958	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ 0ℋ)
20		ocsh 31354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ∈ Sℋ )
21		sh0le 31511	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))))
22	7, 20, 21	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))))
23	19, 22	eqssd 3939	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) = 0ℋ)
24	23	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))) = (⊥‘0ℋ))
25		choc0 31397	. . 3 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
26	24, 25	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))) = ℋ)
27	3, 26	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ℋchba 30990   S_ℋ csh 30999  ⊥cort 31001   ∨_ℋ chj 31004  0_ℋc0h 31006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvdistr1 31079  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-icc 13305  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-lm 23194  df-haus 23280  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-gdiv 30567  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-vs 30670  df-nmcv 30671  df-ims 30672  df-hnorm 31039  df-hvsub 31042  df-hlim 31043  df-sh 31278  df-ch 31292  df-oc 31323  df-ch0 31324  df-chj 31381

This theorem is referenced by:  chjoi  31559