Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ssjo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssjo 29219
 Description: The lattice join of a subset with its orthocomplement is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ssjo (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 (⊥‘𝐴)) = ℋ)

Proof of Theorem ssjo
StepHypRef Expression
1 ocss 29057 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
2 sshjval 29122 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → (𝐴 (⊥‘𝐴)) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))))
31, 2mpdan 686 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 (⊥‘𝐴)) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))))
4 ssun1 4132 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))
51ancli 552 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ))
6 unss 4144 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) ↔ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
75, 6sylib 221 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
8 occon 29059 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴)))
97, 8mpdan 686 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴)))
104, 9mpi 20 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘𝐴))
11 ssun2 4133 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))
12 occon 29059 . . . . . . . . 9 (((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ) → ((⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
131, 7, 12syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
1411, 13mpi 20 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
1510, 14ssind 4192 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
16 ocsh 29055 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ S )
17 ocin 29068 . . . . . . 7 ((⊥‘𝐴) ∈ S → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(⊥‘𝐴))) = 0)
1915, 18sseqtrd 3991 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ⊆ 0)
20 ocsh 29055 . . . . . 6 ((𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ∈ S )
21 sh0le 29212 . . . . . 6 ((⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) ∈ S → 0 ⊆ (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))))
227, 20, 213syl 18 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → 0 ⊆ (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))))
2319, 22eqssd 3968 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴))) = 0)
2423fveq2d 6655 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))) = (⊥‘0))
25 choc0 29098 . . 3 (⊥‘0) = ℋ
2624, 25syl6eq 2875 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ (⊥‘𝐴)))) = ℋ)
273, 26eqtrd 2859 1 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 (⊥‘𝐴)) = ℋ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∪ cun 3916   ∩ cin 3917   ⊆ wss 3918  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   ℋchba 28691   Sℋ csh 28700  ⊥cort 28702   ∨ℋ chj 28705  0ℋc0h 28707 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602  ax-hilex 28771  ax-hfvadd 28772  ax-hvcom 28773  ax-hvass 28774  ax-hv0cl 28775  ax-hvaddid 28776  ax-hfvmul 28777  ax-hvmulid 28778  ax-hvmulass 28779  ax-hvdistr1 28780  ax-hvdistr2 28781  ax-hvmul0 28782  ax-hfi 28851  ax-his1 28854  ax-his2 28855  ax-his3 28856  ax-his4 28857 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-icc 12731  df-seq 13363  df-exp 13424  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-topgen 16706  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-top 21488  df-topon 21505  df-bases 21540  df-lm 21823  df-haus 21909  df-grpo 28265  df-gid 28266  df-ginv 28267  df-gdiv 28268  df-ablo 28317  df-vc 28331  df-nv 28364  df-va 28367  df-ba 28368  df-sm 28369  df-0v 28370  df-vs 28371  df-nmcv 28372  df-ims 28373  df-hnorm 28740  df-hvsub 28743  df-hlim 28744  df-sh 28979  df-ch 28993  df-oc 29024  df-ch0 29025  df-chj 29082 This theorem is referenced by:  chjoi  29260
 Copyright terms: Public domain W3C validator