Theorem shatomici 30828

Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomic, i.e. any nonzero element is greater than or equal to some atom. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shatomic.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shatomici	⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shatomici

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shatomic.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1	shne0i 29918	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≠ 0ℎ)
3	1	sheli 29684	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
4		h1da 30819	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑦})) ∈ HAtoms)
5	3, 4	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑦})) ∈ HAtoms)
6		sh1dle 30821	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (⊥‘(⊥‘{𝑦})) ⊆ 𝐴)
7	1, 6	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝑦})) ⊆ 𝐴)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑦})) ⊆ 𝐴)
9		sseq1 3955	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⊥‘(⊥‘{𝑦})) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑦})) ⊆ 𝐴))
10	9	rspcev 3570	. . . 4 ⊢ (((⊥‘(⊥‘{𝑦})) ∈ HAtoms ∧ (⊥‘(⊥‘{𝑦})) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	5, 8, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
12	11	rexlimiva 3141	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≠ 0ℎ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
13	2, 12	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3896  {csn 4569  ‘cfv 6463   ℋchba 29389  0_ℎc0v 29394   S_ℋ csh 29398  ⊥cort 29400  0_ℋc0h 29405  HAtomscat 29435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-inf2 9467  ax-cc 10261  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019  ax-addf 11020  ax-mulf 11021  ax-hilex 29469  ax-hfvadd 29470  ax-hvcom 29471  ax-hvass 29472  ax-hv0cl 29473  ax-hvaddid 29474  ax-hfvmul 29475  ax-hvmulid 29476  ax-hvmulass 29477  ax-hvdistr1 29478  ax-hvdistr2 29479  ax-hvmul0 29480  ax-hfi 29549  ax-his1 29552  ax-his2 29553  ax-his3 29554  ax-his4 29555  ax-hcompl 29672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-of 7571  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-supp 8023  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-2o 8343  df-oadd 8346  df-omul 8347  df-er 8544  df-map 8663  df-pm 8664  df-ixp 8732  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-fsupp 9197  df-fi 9238  df-sup 9269  df-inf 9270  df-oi 9337  df-card 9765  df-acn 9768  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xneg 12918  df-xadd 12919  df-xmul 12920  df-ioo 13153  df-ico 13155  df-icc 13156  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-fl 13582  df-seq 13792  df-exp 13853  df-hash 14115  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-clim 15266  df-rlim 15267  df-sum 15467  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-starv 17044  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-ip 17047  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-unif 17052  df-hom 17053  df-cco 17054  df-rest 17200  df-topn 17201  df-0g 17219  df-gsum 17220  df-topgen 17221  df-pt 17222  df-prds 17225  df-xrs 17280  df-qtop 17285  df-imas 17286  df-xps 17288  df-mre 17362  df-mrc 17363  df-acs 17365  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-submnd 18498  df-mulg 18768  df-cntz 18990  df-cmn 19455  df-psmet 20660  df-xmet 20661  df-met 20662  df-bl 20663  df-mopn 20664  df-fbas 20665  df-fg 20666  df-cnfld 20669  df-top 22114  df-topon 22131  df-topsp 22153  df-bases 22167  df-cld 22241  df-ntr 22242  df-cls 22243  df-nei 22320  df-cn 22449  df-cnp 22450  df-lm 22451  df-haus 22537  df-tx 22784  df-hmeo 22977  df-fil 23068  df-fm 23160  df-flim 23161  df-flf 23162  df-xms 23544  df-ms 23545  df-tms 23546  df-cfil 24490  df-cau 24491  df-cmet 24492  df-grpo 28963  df-gid 28964  df-ginv 28965  df-gdiv 28966  df-ablo 29015  df-vc 29029  df-nv 29062  df-va 29065  df-ba 29066  df-sm 29067  df-0v 29068  df-vs 29069  df-nmcv 29070  df-ims 29071  df-dip 29171  df-ssp 29192  df-ph 29283  df-cbn 29333  df-hnorm 29438  df-hba 29439  df-hvsub 29441  df-hlim 29442  df-hcau 29443  df-sh 29677  df-ch 29691  df-oc 29722  df-ch0 29723  df-span 29779  df-cv 30749  df-at 30808

This theorem is referenced by:  hatomici  30829