Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snmlfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snmlfval 34849
Description: The function ๐น from snmlval 34850 maps ๐‘ to the relative density of ๐ต in the first ๐‘ digits of the digit string of ๐ด in base ๐‘…. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
snmlff.f ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›))
Assertion
Ref Expression
snmlfval (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐ต,๐‘›   ๐‘˜,๐‘›,๐‘   ๐‘…,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐‘…(๐‘˜)   ๐น(๐‘˜,๐‘›)

Proof of Theorem snmlfval
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (1...๐‘›) = (1...๐‘))
21rabeqdv 3441 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} = {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต})
32fveq2d 6889 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}))
4 id 22 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ๐‘› = ๐‘)
53, 4oveq12d 7423 . 2 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘))
6 snmlff.f . 2 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›))
7 ovex 7438 . 2 ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘) โˆˆ V
85, 6, 7fvmpt 6992 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  ...cfz 13490  โŒŠcfl 13761   mod cmo 13840  โ†‘cexp 14032  โ™ฏchash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7408
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator