Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snmlfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snmlfval 34316
Description: The function ๐น from snmlval 34317 maps ๐‘ to the relative density of ๐ต in the first ๐‘ digits of the digit string of ๐ด in base ๐‘…. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
snmlff.f ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›))
Assertion
Ref Expression
snmlfval (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐ต,๐‘›   ๐‘˜,๐‘›,๐‘   ๐‘…,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐‘…(๐‘˜)   ๐น(๐‘˜,๐‘›)

Proof of Theorem snmlfval
StepHypRef Expression
1 oveq2 7416 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (1...๐‘›) = (1...๐‘))
21rabeqdv 3447 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} = {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต})
32fveq2d 6895 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}))
4 id 22 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ๐‘› = ๐‘)
53, 4oveq12d 7426 . 2 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘))
6 snmlff.f . 2 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›))
7 ovex 7441 . 2 ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘) โˆˆ V
85, 6, 7fvmpt 6998 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {crab 3432   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110   ยท cmul 11114   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  ...cfz 13483  โŒŠcfl 13754   mod cmo 13833  โ†‘cexp 14026  โ™ฏchash 14289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator