Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snmlfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snmlfval 33964
Description: The function ๐น from snmlval 33965 maps ๐‘ to the relative density of ๐ต in the first ๐‘ digits of the digit string of ๐ด in base ๐‘…. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
snmlff.f ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›))
Assertion
Ref Expression
snmlfval (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐ต,๐‘›   ๐‘˜,๐‘›,๐‘   ๐‘…,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐‘…(๐‘˜)   ๐น(๐‘˜,๐‘›)

Proof of Theorem snmlfval
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (1...๐‘›) = (1...๐‘))
21rabeqdv 3425 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} = {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต})
32fveq2d 6851 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}))
4 id 22 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ๐‘› = ๐‘)
53, 4oveq12d 7380 . 2 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘))
6 snmlff.f . 2 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›))
7 ovex 7395 . 2 ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘) โˆˆ V
85, 6, 7fvmpt 6953 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3410   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059   ยท cmul 11063   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702   mod cmo 13781  โ†‘cexp 13974  โ™ฏchash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ov 7365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator