Theorem snmlff 35542

Description: The function 𝐹 from snmlval 35544 is a mapping from positive integers to real numbers in the range [0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
snmlff.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
snmlff	⊢ 𝐹:ℕ⟶(0[,]1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑛   𝑅,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem snmlff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmlff.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
2		fzfid 13908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
3		ssrab2 4034	. . . . . . 7 ⊢ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛)
4		ssfi 9109	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛)) → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin)
6		hashcl 14291	. . . . . 6 ⊢ ({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12475	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ)
9		nndivre 12198	. . . 4 ⊢ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ)
10	8, 9	mpancom 689	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ)
11	7	nn0ge0d 12477	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}))
12		nnre 12164	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
13		nngt0 12188	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
14		divge0 12023	. . . 4 ⊢ ((((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵})) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
15	8, 11, 12, 13, 14	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
16		ssdomg 8949	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → ({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛) → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
17	2, 3, 16	mpisyl 21	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛))
18		hashdom 14314	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)) ↔ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
19	5, 2, 18	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)) ↔ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
20	17, 19	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)))
21		nnnn0 12420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
22		hashfz1 14281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
24	20, 23	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ 𝑛)
25		nncn 12165	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
26	25	mulridd 11161	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
27	24, 26	breqtrrd 5128	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1))
28		1red 11145	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
29		ledivmul 12030	. . . . 5 ⊢ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1)))
30	8, 28, 12, 13, 29	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1)))
31	27, 30	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1)
32		elicc01 13394	. . 3 ⊢ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ (0[,]1) ↔ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∧ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1))
33	10, 15, 31, 32	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ (0[,]1))
34	1, 33	fmpti 7066	1 ⊢ 𝐹:ℕ⟶(0[,]1)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ≼ cdom 8893  Fincfn 8895  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  [,]cicc 13276  ...cfz 13435  ⌊cfl 13722   mod cmo 13801  ↑cexp 13996  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-icc 13280  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by: (None)