Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snmlff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snmlff 34320
Description: The function ๐น from snmlval 34322 is a mapping from positive integers to real numbers in the range [0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
snmlff.f ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›))
Assertion
Ref Expression
snmlff ๐น:โ„•โŸถ(0[,]1)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐ต,๐‘›   ๐‘˜,๐‘›   ๐‘…,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐‘…(๐‘˜)   ๐น(๐‘˜,๐‘›)

Proof of Theorem snmlff
StepHypRef Expression
1 snmlff.f . 2 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›))
2 fzfid 13938 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐‘›) โˆˆ Fin)
3 ssrab2 4078 . . . . . . 7 {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} โŠ† (1...๐‘›)
4 ssfi 9173 . . . . . . 7 (((1...๐‘›) โˆˆ Fin โˆง {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} โŠ† (1...๐‘›)) โ†’ {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} โˆˆ Fin)
52, 3, 4sylancl 587 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} โˆˆ Fin)
6 hashcl 14316 . . . . . 6 ({๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โˆˆ โ„•0)
75, 6syl 17 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โˆˆ โ„•0)
87nn0red 12533 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โˆˆ โ„)
9 nndivre 12253 . . . 4 (((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
108, 9mpancom 687 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
117nn0ge0d 12535 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}))
12 nnre 12219 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
13 nngt0 12243 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘›)
14 divge0 12083 . . . 4 ((((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต})) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›))
158, 11, 12, 13, 14syl22anc 838 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›))
16 ssdomg 8996 . . . . . . . 8 ((1...๐‘›) โˆˆ Fin โ†’ ({๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} โŠ† (1...๐‘›) โ†’ {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} โ‰ผ (1...๐‘›)))
172, 3, 16mpisyl 21 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} โ‰ผ (1...๐‘›))
18 hashdom 14339 . . . . . . . 8 (({๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘›) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โ‰ค (โ™ฏโ€˜(1...๐‘›)) โ†” {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} โ‰ผ (1...๐‘›)))
195, 2, 18syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โ‰ค (โ™ฏโ€˜(1...๐‘›)) โ†” {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต} โ‰ผ (1...๐‘›)))
2017, 19mpbird 257 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โ‰ค (โ™ฏโ€˜(1...๐‘›)))
21 nnnn0 12479 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
22 hashfz1 14306 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘›)) = ๐‘›)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘›)) = ๐‘›)
2420, 23breqtrd 5175 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โ‰ค ๐‘›)
25 nncn 12220 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
2625mulridd 11231 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› ยท 1) = ๐‘›)
2724, 26breqtrrd 5177 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โ‰ค (๐‘› ยท 1))
28 1red 11215 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
29 ledivmul 12090 . . . . 5 (((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘›)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) โ‰ค 1 โ†” (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โ‰ค (๐‘› ยท 1)))
308, 28, 12, 13, 29syl112anc 1375 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) โ‰ค 1 โ†” (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) โ‰ค (๐‘› ยท 1)))
3127, 30mpbird 257 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) โ‰ค 1)
32 elicc01 13443 . . 3 (((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) โˆˆ (0[,]1) โ†” (((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) โˆง ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) โ‰ค 1))
3310, 15, 31, 32syl3anbrc 1344 . 2 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐ต}) / ๐‘›) โˆˆ (0[,]1))
341, 33fmpti 7112 1 ๐น:โ„•โŸถ(0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3433   โŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ‰ผ cdom 8937  Fincfn 8939  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  โ†‘cexp 14027  โ™ฏchash 14290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-icc 13331  df-fz 13485  df-hash 14291
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator