Theorem snmlff 35908

Description: The function 𝐹 from snmlval 35910 is a mapping from positive integers to real numbers in the range [0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
snmlff.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
snmlff	⊢ 𝐹:ℕ⟶(0[,]1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑛   𝑅,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐹(𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem snmlff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmlff.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
2		fzfid 14037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
3		ssrab2 4028	. . . . . . 7 ⊢ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛)
4		ssfi 9167	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛)) → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin)
6		hashcl 14420	. . . . . 6 ⊢ ({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12590	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ)
9		nndivre 12301	. . . 4 ⊢ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ)
10	8, 9	mpancom 701	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ)
11	7	nn0ge0d 12592	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}))
12		nnre 12264	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
13		nngt0 12291	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
14		divge0 12108	. . . 4 ⊢ ((((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵})) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
15	8, 11, 12, 13, 14	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
16		ssdomg 9006	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → ({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛) → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
17	2, 3, 16	mpisyl 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛))
18		hashdom 14443	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)) ↔ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
19	5, 2, 18	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)) ↔ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
20	17, 19	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)))
21		nnnn0 12535	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
22		hashfz1 14410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
24	20, 23	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ 𝑛)
25		nncn 12265	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
26	25	mulridd 11250	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
27	24, 26	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1))
28		1red 11233	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
29		ledivmul 12115	. . . . 5 ⊢ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1)))
30	8, 28, 12, 13, 29	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1)))
31	27, 30	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1)
32		elicc01 13519	. . 3 ⊢ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ (0[,]1) ↔ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∧ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1))
33	10, 15, 31, 32	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ (0[,]1))
34	1, 33	fmpti 7105	1 ⊢ 𝐹:ℕ⟶(0[,]1)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ≼ cdom 8950  Fincfn 8952  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   / cdiv 11895  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  [,]cicc 13401  ...cfz 13561  ⌊cfl 13851   mod cmo 13930  ↑cexp 14125  ♯chash 14394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-icc 13405  df-fz 13562  df-hash 14395

This theorem is used by: (None)