Theorem snmlff 34616

Description: The function 𝐹 from snmlval 34618 is a mapping from positive integers to real numbers in the range [0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
snmlff.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
snmlff	⊢ 𝐹:ℕ⟶(0[,]1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑛   𝑅,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem snmlff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmlff.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
2		fzfid 13944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
3		ssrab2 4078	. . . . . . 7 ⊢ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛)
4		ssfi 9177	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛)) → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin)
6		hashcl 14322	. . . . . 6 ⊢ ({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12539	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ)
9		nndivre 12259	. . . 4 ⊢ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ)
10	8, 9	mpancom 684	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ)
11	7	nn0ge0d 12541	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}))
12		nnre 12225	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
13		nngt0 12249	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
14		divge0 12089	. . . 4 ⊢ ((((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵})) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
15	8, 11, 12, 13, 14	syl22anc 835	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
16		ssdomg 9000	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → ({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛) → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
17	2, 3, 16	mpisyl 21	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛))
18		hashdom 14345	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)) ↔ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
19	5, 2, 18	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)) ↔ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
20	17, 19	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)))
21		nnnn0 12485	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
22		hashfz1 14312	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
24	20, 23	breqtrd 5175	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ 𝑛)
25		nncn 12226	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
26	25	mulridd 11237	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
27	24, 26	breqtrrd 5177	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1))
28		1red 11221	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
29		ledivmul 12096	. . . . 5 ⊢ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1)))
30	8, 28, 12, 13, 29	syl112anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1)))
31	27, 30	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1)
32		elicc01 13449	. . 3 ⊢ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ (0[,]1) ↔ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∧ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1))
33	10, 15, 31, 32	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ (0[,]1))
34	1, 33	fmpti 7114	1 ⊢ 𝐹:ℕ⟶(0[,]1)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413   ≼ cdom 8941  Fincfn 8943  ℝcr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   · cmul 11119   < clt 11254   ≤ cle 11255   / cdiv 11877  ℕcn 12218  ℕ₀cn0 12478  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  ⌊cfl 13761   mod cmo 13840  ↑cexp 14033  ♯chash 14296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-icc 13337  df-fz 13491  df-hash 14297

This theorem is referenced by: (None)