Theorem snmlff 36181

Description: The function 𝐹 from snmlval 36183 is a mapping from positive integers to real numbers in the range [0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
snmlff.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
snmlff	⊢ 𝐹:ℕ⟶(0[,]1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑛   𝑅,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐹(𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem snmlff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmlff.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
2		fzfid 14120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
3		ssrab2 4005	. . . . . . 7 ⊢ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛)
4		ssfi 9192	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛)) → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin)
6		hashcl 14504	. . . . . 6 ⊢ ({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12672	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ)
9		nndivre 12383	. . . 4 ⊢ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ)
10	8, 9	mpancom 701	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ)
11	7	nn0ge0d 12674	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}))
12		nnre 12346	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
13		nngt0 12373	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
14		divge0 12190	. . . 4 ⊢ ((((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵})) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
15	8, 11, 12, 13, 14	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
16		ssdomg 9031	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → ({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛) → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
17	2, 3, 16	mpisyl 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛))
18		hashdom 14527	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)) ↔ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
19	5, 2, 18	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)) ↔ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
20	17, 19	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)))
21		nnnn0 12617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
22		hashfz1 14494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
24	20, 23	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ 𝑛)
25		nncn 12347	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
26	25	mulridd 11330	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
27	24, 26	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1))
28		1red 11313	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
29		ledivmul 12197	. . . . 5 ⊢ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1)))
30	8, 28, 12, 13, 29	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1)))
31	27, 30	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1)
32		elicc01 13601	. . 3 ⊢ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ (0[,]1) ↔ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∧ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1))
33	10, 15, 31, 32	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅↑𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ (0[,]1))
34	1, 33	fmpti 7113	1 ⊢ 𝐹:ℕ⟶(0[,]1)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ≼ cdom 8975  Fincfn 8977  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209   < clt 11347   ≤ cle 11348   / cdiv 11977  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  [,]cicc 13483  ...cfz 13643  ⌊cfl 13934   mod cmo 14013  ↑cexp 14208  ♯chash 14478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-icc 13487  df-fz 13644  df-hash 14479

This theorem is used by: (None)