Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snmlval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snmlval 33698
Description: The property "๐ด is simply normal in base ๐‘…". A number is simply normal if each digit 0 โ‰ค ๐‘ < ๐‘… occurs in the base- ๐‘… digit string of ๐ด with frequency 1 / ๐‘… (which is consistent with the expectation in an infinite random string of numbers selected from 0...๐‘… โˆ’ 1). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
snml.s ๐‘† = (๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘Ÿ โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜)) mod ๐‘Ÿ)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘Ÿ)})
Assertion
Ref Expression
snmlval (๐ด โˆˆ (๐‘†โ€˜๐‘…) โ†” (๐‘… โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘,๐‘›,๐‘ฅ,๐ด   ๐‘Ÿ,๐‘,๐‘…,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘Ÿ)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ,๐‘)

Proof of Theorem snmlval
StepHypRef Expression
1 oveq1 7356 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘Ÿ โˆ’ 1) = (๐‘… โˆ’ 1))
21oveq2d 7365 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (0...(๐‘Ÿ โˆ’ 1)) = (0...(๐‘… โˆ’ 1)))
3 oveq1 7356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜) = (๐‘…โ†‘๐‘˜))
43oveq2d 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)))
5 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ๐‘Ÿ = ๐‘…)
64, 5oveq12d 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜)) mod ๐‘Ÿ) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…))
76fveqeq2d 6845 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜)) mod ๐‘Ÿ)) = ๐‘ โ†” (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘))
87rabbidv 3413 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜)) mod ๐‘Ÿ)) = ๐‘} = {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘})
98fveq2d 6841 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜)) mod ๐‘Ÿ)) = ๐‘}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}))
109oveq1d 7364 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜)) mod ๐‘Ÿ)) = ๐‘}) / ๐‘›) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›))
1110mpteq2dv 5205 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜)) mod ๐‘Ÿ)) = ๐‘}) / ๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)))
12 oveq2 7357 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (1 / ๐‘Ÿ) = (1 / ๐‘…))
1311, 12breq12d 5116 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜)) mod ๐‘Ÿ)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘Ÿ) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)))
142, 13raleqbidv 3317 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘Ÿ โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜)) mod ๐‘Ÿ)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘Ÿ) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)))
1514rabbidv 3413 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘Ÿ โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜)) mod ๐‘Ÿ)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘Ÿ)} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)})
16 snml.s . . . . . 6 ๐‘† = (๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘Ÿ โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘Ÿโ†‘๐‘˜)) mod ๐‘Ÿ)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘Ÿ)})
17 reex 11075 . . . . . . 7 โ„ โˆˆ V
1817rabex 5287 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)} โˆˆ V
1915, 16, 18fvmpt 6943 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘…) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)})
2019eleq2d 2823 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐‘†โ€˜๐‘…) โ†” ๐ด โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)}))
21 oveq1 7356 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) = (๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)))
2221fvoveq1d 7371 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)))
2322eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘ โ†” (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘))
2423rabbidv 3413 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘} = {๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘})
2524fveq2d 6841 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}))
2625oveq1d 7364 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›))
2726mpteq2dv 5205 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)))
2827breq1d 5113 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)))
2928ralbidv 3172 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)))
3029elrab 3643 . . . 4 (๐ด โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐‘ฅ ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)} โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)))
3120, 30bitrdi 286 . . 3 (๐‘… โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐‘†โ€˜๐‘…) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…))))
3231pm5.32i 575 . 2 ((๐‘… โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘†โ€˜๐‘…)) โ†” (๐‘… โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…))))
3316dmmptss 6189 . . . 4 dom ๐‘† โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
34 elfvdm 6874 . . . 4 (๐ด โˆˆ (๐‘†โ€˜๐‘…) โ†’ ๐‘… โˆˆ dom ๐‘†)
3533, 34sselid 3940 . . 3 (๐ด โˆˆ (๐‘†โ€˜๐‘…) โ†’ ๐‘… โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3635pm4.71ri 561 . 2 (๐ด โˆˆ (๐‘†โ€˜๐‘…) โ†” (๐‘… โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘†โ€˜๐‘…)))
37 3anass 1095 . 2 ((๐‘… โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)) โ†” (๐‘… โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…))))
3832, 36, 373bitr4i 302 1 (๐ด โˆˆ (๐‘†โ€˜๐‘…) โ†” (๐‘… โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (0...(๐‘… โˆ’ 1))(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›) โˆฃ (โŒŠโ€˜((๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) mod ๐‘…)) = ๐‘}) / ๐‘›)) โ‡ (1 / ๐‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3062  {crab 3405   class class class wbr 5103   โ†ฆ cmpt 5186  dom cdm 5630  โ€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  โ„cr 10983  0cc0 10984  1c1 10985   ยท cmul 10989   โˆ’ cmin 11318   / cdiv 11745  โ„•cn 12086  2c2 12141  โ„คโ‰ฅcuz 12695  ...cfz 13352  โŒŠcfl 13623   mod cmo 13702  โ†‘cexp 13895  โ™ฏchash 14157   โ‡ cli 15300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fv 6499  df-ov 7352
This theorem is referenced by:  snmlflim  33699
  Copyright terms: Public domain W3C validator