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Theorem ss2iundf 43648
Description: Subclass theorem for indexed union. (Contributed by RP, 17-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ss2iundf.xph 𝑥𝜑
ss2iundf.yph 𝑦𝜑
ss2iundf.y 𝑦𝑌
ss2iundf.a 𝑦𝐴
ss2iundf.b 𝑦𝐵
ss2iundf.xc 𝑥𝐶
ss2iundf.yc 𝑦𝐶
ss2iundf.d 𝑥𝐷
ss2iundf.g 𝑦𝐺
ss2iundf.el ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌𝐶)
ss2iundf.sub ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = 𝑌) → 𝐷 = 𝐺)
ss2iundf.ss ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐺)
Assertion
Ref Expression
ss2iundf (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ss2iundf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ss2iundf.xph . . 3 𝑥𝜑
2 ss2iundf.ss . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐺)
3 df-ral 3059 . . . . . . 7 (∀𝑦𝐶 ¬ 𝐵𝐷 ↔ ∀𝑦(𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷))
4 ss2iundf.el . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌𝐶)
5 ss2iundf.yph . . . . . . . . . . 11 𝑦𝜑
6 ss2iundf.a . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐴
76nfcri 2894 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑥𝐴
85, 7nfan 1896 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝜑𝑥𝐴)
9 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑦 = 𝑌)
109eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑦𝐶𝑌𝐶))
1110biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑌𝐶𝑦𝐶))
12 ss2iundf.sub . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = 𝑌) → 𝐷 = 𝐺)
1312sseq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = 𝑌) → (𝐵𝐷𝐵𝐺))
14133expa 1117 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝐵𝐷𝐵𝐺))
1514notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (¬ 𝐵𝐷 ↔ ¬ 𝐵𝐺))
1615biimpd 229 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (¬ 𝐵𝐷 → ¬ 𝐵𝐺))
1711, 16imim12d 81 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺)))
1817ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺))))
198, 18alrimi 2210 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦(𝑦 = 𝑌 → ((𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺))))
20 ss2iundf.y . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑌
21 ss2iundf.yc . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐶
2220, 21nfel 2917 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑌𝐶
23 ss2iundf.b . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐵
24 ss2iundf.g . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐺
2523, 24nfss 3987 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝐵𝐺
2625nfn 1854 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ¬ 𝐵𝐺
2722, 26nfim 1893 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺)
2827, 20spcimgfi1 3546 . . . . . . . . 9 (∀𝑦(𝑦 = 𝑌 → ((𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺))) → (𝑌𝐶 → (∀𝑦(𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺))))
2919, 4, 28sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑦(𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺)))
304, 29mpid 44 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑦(𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → ¬ 𝐵𝐺))
313, 30biimtrid 242 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐶 ¬ 𝐵𝐷 → ¬ 𝐵𝐺))
3231con2d 134 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐺 → ¬ ∀𝑦𝐶 ¬ 𝐵𝐷))
33 dfrex2 3070 . . . . 5 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷 ↔ ¬ ∀𝑦𝐶 ¬ 𝐵𝐷)
3432, 33imbitrrdi 252 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐺 → ∃𝑦𝐶 𝐵𝐷))
352, 34mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐶 𝐵𝐷)
361, 35ralrimia 3255 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝐵𝐷)
37 ssel 3988 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷 → (𝑧𝐵𝑧𝐷))
3837reximi 3081 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷 → ∃𝑦𝐶 (𝑧𝐵𝑧𝐷))
3923nfcri 2894 . . . . . . . 8 𝑦 𝑧𝐵
4039r19.37 3259 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐶 (𝑧𝐵𝑧𝐷) → (𝑧𝐵 → ∃𝑦𝐶 𝑧𝐷))
4138, 40syl 17 . . . . . 6 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷 → (𝑧𝐵 → ∃𝑦𝐶 𝑧𝐷))
42 eliun 4999 . . . . . 6 (𝑧 𝑦𝐶 𝐷 ↔ ∃𝑦𝐶 𝑧𝐷)
4341, 42imbitrrdi 252 . . . . 5 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷 → (𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
4443ssrdv 4000 . . . 4 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
4544ralimi 3080 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝐵𝐷 → ∀𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
46 ss2iundf.xc . . . . 5 𝑥𝐶
47 ss2iundf.d . . . . 5 𝑥𝐷
4846, 47nfiun 5027 . . . 4 𝑥 𝑦𝐶 𝐷
4948iunssf 5048 . . 3 ( 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
5045, 49sylibr 234 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝐵𝐷 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
5136, 50syl 17 1 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wal 1534   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  wnfc 2887  wral 3058  wrex 3067  wss 3962   ciun 4995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ral 3059  df-rex 3068  df-v 3479  df-ss 3979  df-iun 4997
This theorem is referenced by:  ss2iundv  43649  cbviuneq12df  43650
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