MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ondomon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ondomon 10558
Description: The class of ordinals dominated by a given set is an ordinal. Theorem 56 of [Suppes] p. 227. This theorem can be proved without the axiom of choice, see hartogs 9539. (Contributed by NM, 7-Nov-2003.) (Proof modification is discouraged.) Use hartogs 9539 instead. (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ondomon (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ On)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem ondomon
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelon 6390 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ On)
2 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
3 onelss 6407 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ On β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 βŠ† 𝑧))
43imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑧)
5 ssdomg 8996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ V β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ 𝑦 β‰Ό 𝑧))
62, 4, 5mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝑦 β‰Ό 𝑧)
71, 6jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝑧))
8 domtr 9003 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 β‰Ό 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό 𝐴) β†’ 𝑦 β‰Ό 𝐴)
98anim2i 618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 β‰Ό 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό 𝐴)) β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴))
109anassrs 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝑧) ∧ 𝑧 β‰Ό 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴))
117, 10sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 β‰Ό 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴))
1211exp31 421 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ On β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 β‰Ό 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴))))
1312com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∈ On β†’ (𝑧 β‰Ό 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴))))
1413impd 412 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑧 β‰Ό 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴)))
15 breq1 5152 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ β‰Ό 𝐴 ↔ 𝑧 β‰Ό 𝐴))
1615elrab 3684 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ On ∧ 𝑧 β‰Ό 𝐴))
17 breq1 5152 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ β‰Ό 𝐴 ↔ 𝑦 β‰Ό 𝐴))
1817elrab 3684 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴))
1914, 16, 183imtr4g 296 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} β†’ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}))
2019imp 408 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴})
2120gen2 1799 . . . 4 βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴})
22 dftr2 5268 . . . 4 (Tr {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ↔ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}))
2321, 22mpbir 230 . . 3 Tr {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}
24 ssrab2 4078 . . 3 {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} βŠ† On
25 ordon 7764 . . 3 Ord On
26 trssord 6382 . . 3 ((Tr {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∧ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} βŠ† On ∧ Ord On) β†’ Ord {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴})
2723, 24, 25, 26mp3an 1462 . 2 Ord {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}
28 elex 3493 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ V)
29 canth2g 9131 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ 𝐴 β‰Ί 𝒫 𝐴)
30 domsdomtr 9112 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ί 𝒫 𝐴) β†’ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴)
3129, 30sylan2 594 . . . . . . . 8 ((π‘₯ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴)
3231expcom 415 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ (π‘₯ β‰Ό 𝐴 β†’ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
3332ralrimivw 3151 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ βˆ€π‘₯ ∈ On (π‘₯ β‰Ό 𝐴 β†’ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
3428, 33syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ On (π‘₯ β‰Ό 𝐴 β†’ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
35 ss2rab 4069 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} βŠ† {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ On (π‘₯ β‰Ό 𝐴 β†’ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
3634, 35sylibr 233 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} βŠ† {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴})
37 pwexg 5377 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
38 numth3 10465 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∈ V β†’ 𝒫 𝐴 ∈ dom card)
39 cardval2 9986 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∈ dom card β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) = {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴})
4037, 38, 393syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) = {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴})
41 fvex 6905 . . . . 5 (cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ V
4240, 41eqeltrrdi 2843 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴} ∈ V)
43 ssexg 5324 . . . 4 (({π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} βŠ† {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴} ∧ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴} ∈ V) β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ V)
4436, 42, 43syl2anc 585 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ V)
45 elong 6373 . . 3 ({π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ V β†’ ({π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ On ↔ Ord {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}))
4644, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ({π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ On ↔ Ord {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}))
4727, 46mpbiri 258 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149  Tr wtr 5266  dom cdm 5677  Ord word 6364  Oncon0 6365  β€˜cfv 6544   β‰Ό cdom 8937   β‰Ί csdm 8938  cardccrd 9930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-ac2 10458
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-card 9934  df-ac 10111
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator