MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ondomon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ondomon 10560
Description: The class of ordinals dominated by a given set is an ordinal. Theorem 56 of [Suppes] p. 227. This theorem can be proved without the axiom of choice, see hartogs 9541. (Contributed by NM, 7-Nov-2003.) (Proof modification is discouraged.) Use hartogs 9541 instead. (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ondomon (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ On)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem ondomon
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelon 6388 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ On)
2 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
3 onelss 6405 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ On β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 βŠ† 𝑧))
43imp 405 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑧)
5 ssdomg 8998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ V β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ 𝑦 β‰Ό 𝑧))
62, 4, 5mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝑦 β‰Ό 𝑧)
71, 6jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝑧))
8 domtr 9005 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 β‰Ό 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό 𝐴) β†’ 𝑦 β‰Ό 𝐴)
98anim2i 615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 β‰Ό 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό 𝐴)) β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴))
109anassrs 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝑧) ∧ 𝑧 β‰Ό 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴))
117, 10sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 β‰Ό 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴))
1211exp31 418 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ On β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 β‰Ό 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴))))
1312com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∈ On β†’ (𝑧 β‰Ό 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴))))
1413impd 409 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑧 β‰Ό 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴)))
15 breq1 5150 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ β‰Ό 𝐴 ↔ 𝑧 β‰Ό 𝐴))
1615elrab 3682 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ On ∧ 𝑧 β‰Ό 𝐴))
17 breq1 5150 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ β‰Ό 𝐴 ↔ 𝑦 β‰Ό 𝐴))
1817elrab 3682 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 β‰Ό 𝐴))
1914, 16, 183imtr4g 295 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} β†’ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}))
2019imp 405 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴})
2120gen2 1796 . . . 4 βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴})
22 dftr2 5266 . . . 4 (Tr {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ↔ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}))
2321, 22mpbir 230 . . 3 Tr {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}
24 ssrab2 4076 . . 3 {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} βŠ† On
25 ordon 7766 . . 3 Ord On
26 trssord 6380 . . 3 ((Tr {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∧ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} βŠ† On ∧ Ord On) β†’ Ord {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴})
2723, 24, 25, 26mp3an 1459 . 2 Ord {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}
28 elex 3491 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ V)
29 canth2g 9133 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ 𝐴 β‰Ί 𝒫 𝐴)
30 domsdomtr 9114 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ί 𝒫 𝐴) β†’ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴)
3129, 30sylan2 591 . . . . . . . 8 ((π‘₯ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴)
3231expcom 412 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ (π‘₯ β‰Ό 𝐴 β†’ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
3332ralrimivw 3148 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ βˆ€π‘₯ ∈ On (π‘₯ β‰Ό 𝐴 β†’ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
3428, 33syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ On (π‘₯ β‰Ό 𝐴 β†’ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
35 ss2rab 4067 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} βŠ† {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ On (π‘₯ β‰Ό 𝐴 β†’ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴))
3634, 35sylibr 233 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} βŠ† {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴})
37 pwexg 5375 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
38 numth3 10467 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∈ V β†’ 𝒫 𝐴 ∈ dom card)
39 cardval2 9988 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∈ dom card β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) = {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴})
4037, 38, 393syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) = {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴})
41 fvex 6903 . . . . 5 (cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ V
4240, 41eqeltrrdi 2840 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴} ∈ V)
43 ssexg 5322 . . . 4 (({π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} βŠ† {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴} ∧ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ί 𝒫 𝐴} ∈ V) β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ V)
4436, 42, 43syl2anc 582 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ V)
45 elong 6371 . . 3 ({π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ V β†’ ({π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ On ↔ Ord {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}))
4644, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ({π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ On ↔ Ord {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴}))
4727, 46mpbiri 257 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ π‘₯ β‰Ό 𝐴} ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  βˆ€wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147  Tr wtr 5264  dom cdm 5675  Ord word 6362  Oncon0 6363  β€˜cfv 6542   β‰Ό cdom 8939   β‰Ί csdm 8940  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-card 9936  df-ac 10113
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator