Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssat 36034
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 30068 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssat (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ 𝑈𝑉) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑉,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lssat
StepHypRef Expression
1 dfpss3 4062 . . 3 (𝑈𝑉 ↔ (𝑈𝑉 ∧ ¬ 𝑉𝑈))
21simprbi 497 . 2 (𝑈𝑉 → ¬ 𝑉𝑈)
3 ss2rab 4046 . . . . . 6 ({𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑉𝑝𝑈))
4 iman 402 . . . . . . 7 ((𝑝𝑉𝑝𝑈) ↔ ¬ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
54ralbii 3165 . . . . . 6 (∀𝑝𝐴 (𝑝𝑉𝑝𝑈) ↔ ∀𝑝𝐴 ¬ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
63, 5bitr2i 277 . . . . 5 (∀𝑝𝐴 ¬ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈) ↔ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈})
7 simpl1 1183 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑊 ∈ LMod)
8 lssat.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9 lssat.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
108, 9lsatlss 36014 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
11 rabss2 4053 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
12 uniss 4853 . . . . . . . . . 10 ({𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈} → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
137, 10, 11, 124syl 19 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
14 simpl2 1184 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑈𝑆)
15 unimax 4867 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑆 {𝑝𝑆𝑝𝑈} = 𝑈)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝑆𝑝𝑈} = 𝑈)
17 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1817, 8lssss 19639 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
2016, 19eqsstrd 4004 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝑆𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2113, 20sstrd 3976 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
22 uniss 4853 . . . . . . . . 9 ({𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈})
2322adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈})
24 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
2517, 24lspss 19687 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
267, 21, 23, 25syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
27 simpl3 1185 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑉𝑆)
288, 24, 9lssats 36030 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑆) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑉}))
297, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑉}))
308, 24, 9lssats 36030 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
317, 14, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
3226, 29, 313sstr4d 4013 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑉𝑈)
3332ex 413 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) → ({𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → 𝑉𝑈))
346, 33syl5bi 243 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) → (∀𝑝𝐴 ¬ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈) → 𝑉𝑈))
3534con3dimp 409 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ ¬ 𝑉𝑈) → ¬ ∀𝑝𝐴 ¬ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
36 dfrex2 3239 . . 3 (∃𝑝𝐴 (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈) ↔ ¬ ∀𝑝𝐴 ¬ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
3735, 36sylibr 235 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ ¬ 𝑉𝑈) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
382, 37sylan2 592 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ 𝑈𝑉) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138  wrex 3139  {crab 3142  wss 3935  wpss 3936   cuni 4832  cfv 6349  Basecbs 16473  LModclmod 19565  LSubSpclss 19634  LSpanclspn 19674  LSAtomsclsa 35992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-sbg 18048  df-mgp 19171  df-ur 19183  df-ring 19230  df-lmod 19567  df-lss 19635  df-lsp 19675  df-lsatoms 35994
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator