Theorem lssat 36618

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 30250 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssat	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑉,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 3994	. . 3 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈))
2	1	simprbi 500	. 2 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈)
3		ss2rab 3977	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
4		iman 405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
5	4	ralbii 3097	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
6	3, 5	bitr2i 279	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
7		simpl1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑊 ∈ LMod)
8		lssat.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lssat.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10	8, 9	lsatlss 36598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
11		rabss2 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
12		uniss 4809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
13	7, 10, 11, 12	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
14		simpl2 1189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		unimax 4839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
17		eqid 2758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18	17, 8	lssss 19781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
20	16, 19	eqsstrd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
21	13, 20	sstrd 3904	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
22		uniss 4809	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
23	22	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
24		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
25	17, 24	lspss 19829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
26	7, 21, 23, 25	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
27		simpl3 1190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 ∈ 𝑆)
28	8, 24, 9	lssats 36614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}))
29	7, 27, 28	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}))
30	8, 24, 9	lssats 36614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
31	7, 14, 30	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
32	26, 29, 31	3sstr4d 3941	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
33	32	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → 𝑉 ⊆ 𝑈))
34	6, 33	syl5bi 245	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈))
35	34	con3dimp 412	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
36		dfrex2 3166	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
37	35, 36	sylibr 237	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
38	2, 37	sylan2 595	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074   ⊆ wss 3860   ⊊ wpss 3861  ∪ cuni 4801  ‘cfv 6339  Basecbs 16546  LModclmod 19707  LSubSpclss 19776  LSpanclspn 19816  LSAtomsclsa 36576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-plusg 16641  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-lsatoms 36578

This theorem is referenced by: (None)