Theorem lssat 39009

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 32292 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssat	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑉,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 4052	. . 3 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈)
3		ss2rab 4034	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
4		iman 401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
5	4	ralbii 3075	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
6	3, 5	bitr2i 276	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
7		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑊 ∈ LMod)
8		lssat.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lssat.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10	8, 9	lsatlss 38989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
11		rabss2 4041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
12		uniss 4879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
13	7, 10, 11, 12	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
14		simpl2 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		unimax 4908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
17		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18	17, 8	lssss 20842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
20	16, 19	eqsstrd 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
21	13, 20	sstrd 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
22		uniss 4879	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
24		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
25	17, 24	lspss 20890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
26	7, 21, 23, 25	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
27		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 ∈ 𝑆)
28	8, 24, 9	lssats 39005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}))
29	7, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}))
30	8, 24, 9	lssats 39005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
31	7, 14, 30	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
32	26, 29, 31	3sstr4d 4002	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
33	32	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → 𝑉 ⊆ 𝑈))
34	6, 33	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈))
35	34	con3dimp 408	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
36		dfrex2 3056	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
37	35, 36	sylibr 234	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
38	2, 37	sylan2 593	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405   ⊆ wss 3914   ⊊ wpss 3915  ∪ cuni 4871  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  LSpanclspn 20877  LSAtomsclsa 38967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lsatoms 38969

This theorem is referenced by: (None)