Theorem lssat 39138

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 32347 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssat	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑉,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 4038	. . 3 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈)
3		ss2rab 4018	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
4		iman 401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
5	4	ralbii 3079	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
6	3, 5	bitr2i 276	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
7		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑊 ∈ LMod)
8		lssat.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lssat.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10	8, 9	lsatlss 39118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
11		rabss2 4026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
12		uniss 4868	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
13	7, 10, 11, 12	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
14		simpl2 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		unimax 4897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
17		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18	17, 8	lssss 20873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
20	16, 19	eqsstrd 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
21	13, 20	sstrd 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
22		uniss 4868	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
24		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
25	17, 24	lspss 20921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
26	7, 21, 23, 25	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
27		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 ∈ 𝑆)
28	8, 24, 9	lssats 39134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}))
29	7, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}))
30	8, 24, 9	lssats 39134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
31	7, 14, 30	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
32	26, 29, 31	3sstr4d 3986	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
33	32	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → 𝑉 ⊆ 𝑈))
34	6, 33	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈))
35	34	con3dimp 408	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
36		dfrex2 3060	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
37	35, 36	sylibr 234	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
38	2, 37	sylan2 593	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  {crab 3396   ⊆ wss 3898   ⊊ wpss 3899  ∪ cuni 4860  ‘cfv 6488  Basecbs 17124  LModclmod 20797  LSubSpclss 20868  LSpanclspn 20908  LSAtomsclsa 39096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-plusg 17178  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-mgp 20063  df-ur 20104  df-ring 20157  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lsp 20909  df-lsatoms 39098

This theorem is referenced by: (None)