Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssat 37689
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 31479 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssat (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ 𝑈𝑉) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑉,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lssat
StepHypRef Expression
1 dfpss3 4082 . . 3 (𝑈𝑉 ↔ (𝑈𝑉 ∧ ¬ 𝑉𝑈))
21simprbi 497 . 2 (𝑈𝑉 → ¬ 𝑉𝑈)
3 ss2rab 4064 . . . . . 6 ({𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑉𝑝𝑈))
4 iman 402 . . . . . . 7 ((𝑝𝑉𝑝𝑈) ↔ ¬ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
54ralbii 3092 . . . . . 6 (∀𝑝𝐴 (𝑝𝑉𝑝𝑈) ↔ ∀𝑝𝐴 ¬ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
63, 5bitr2i 275 . . . . 5 (∀𝑝𝐴 ¬ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈) ↔ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈})
7 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑊 ∈ LMod)
8 lssat.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9 lssat.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
108, 9lsatlss 37669 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
11 rabss2 4071 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
12 uniss 4909 . . . . . . . . . 10 ({𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈} → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
137, 10, 11, 124syl 19 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
14 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑈𝑆)
15 unimax 4941 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑆 {𝑝𝑆𝑝𝑈} = 𝑈)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝑆𝑝𝑈} = 𝑈)
17 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1817, 8lssss 20496 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
2016, 19eqsstrd 4016 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝑆𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2113, 20sstrd 3988 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
22 uniss 4909 . . . . . . . . 9 ({𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈})
2322adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈})
24 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
2517, 24lspss 20544 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
267, 21, 23, 25syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
27 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑉𝑆)
288, 24, 9lssats 37685 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑆) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑉}))
297, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑉}))
308, 24, 9lssats 37685 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
317, 14, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
3226, 29, 313sstr4d 4025 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑉𝑈)
3332ex 413 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) → ({𝑝𝐴𝑝𝑉} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → 𝑉𝑈))
346, 33biimtrid 241 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) → (∀𝑝𝐴 ¬ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈) → 𝑉𝑈))
3534con3dimp 409 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ ¬ 𝑉𝑈) → ¬ ∀𝑝𝐴 ¬ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
36 dfrex2 3072 . . 3 (∃𝑝𝐴 (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈) ↔ ¬ ∀𝑝𝐴 ¬ (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
3735, 36sylibr 233 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ ¬ 𝑉𝑈) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
382, 37sylan2 593 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑉𝑆) ∧ 𝑈𝑉) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑉 ∧ ¬ 𝑝𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  wss 3944  wpss 3945   cuni 4901  cfv 6532  Basecbs 17126  LModclmod 20420  LSubSpclss 20491  LSpanclspn 20531  LSAtomsclsa 37647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-lsatoms 37649
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator