Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssat 37886
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 31616 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lssat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssat (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ π‘ˆ ⊊ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   π‘ˆ,𝑝   𝑉,𝑝   π‘Š,𝑝
Proof of Theorem lssat
StepHypRef Expression
1 dfpss3 4087 . . 3 (π‘ˆ ⊊ 𝑉 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑉 βŠ† π‘ˆ))
21simprbi 498 . 2 (π‘ˆ ⊊ 𝑉 β†’ Β¬ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
3 ss2rab 4069 . . . . . 6 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑉 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
4 iman 403 . . . . . . 7 ((𝑝 βŠ† 𝑉 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ) ↔ Β¬ (𝑝 βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
54ralbii 3094 . . . . . 6 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑉 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (𝑝 βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
63, 5bitr2i 276 . . . . 5 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (𝑝 βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† π‘ˆ) ↔ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
7 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 lssat.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
9 lssat.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
108, 9lsatlss 37866 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
11 rabss2 4076 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝑆 β†’ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
12 uniss 4917 . . . . . . . . . 10 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
137, 10, 11, 124syl 19 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
14 simpl2 1193 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
15 unimax 4949 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1817, 8lssss 20547 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2016, 19eqsstrd 4021 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2113, 20sstrd 3993 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
22 uniss 4917 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
2322adantl 483 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
24 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
2517, 24lspss 20595 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
267, 21, 23, 25syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
27 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ 𝑉 ∈ 𝑆)
288, 24, 9lssats 37882 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) β†’ 𝑉 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉}))
297, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ 𝑉 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉}))
308, 24, 9lssats 37882 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
317, 14, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
3226, 29, 313sstr4d 4030 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
3332ex 414 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) β†’ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑉} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ))
346, 33biimtrid 241 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (𝑝 βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ))
3534con3dimp 410 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (𝑝 βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
36 dfrex2 3074 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† π‘ˆ) ↔ Β¬ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (𝑝 βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
3735, 36sylibr 233 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
382, 37sylan2 594 1 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ π‘ˆ ⊊ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949   ⊊ wpss 3950  βˆͺ cuni 4909  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542  LSpanclspn 20582  LSAtomsclsa 37844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lsatoms 37846
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator