Theorem lssat 39675

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 32652 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssat	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑉,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 4051	. . 3 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈))
2	1	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈)
3		ss2rab 4031	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
4		iman 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
5	4	ralbii 3117	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
6	3, 5	bitr2i 279	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
7		simpl1 1208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑊 ∈ LMod)
8		lssat.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lssat.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10	8, 9	lsatlss 39655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
11		rabss2 4039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
12		uniss 4881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
13	7, 10, 11, 12	4syl 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
14		simpl2 1209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		unimax 4911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
17		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18	17, 8	lssss 21031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
19	14, 18	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
20	16, 19	eqsstrd 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
21	13, 20	sstrd 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
22		uniss 4881	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
23	22	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
24		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
25	17, 24	lspss 21079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
26	7, 21, 23, 25	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
27		simpl3 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 ∈ 𝑆)
28	8, 24, 9	lssats 39671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}))
29	7, 27, 28	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}))
30	8, 24, 9	lssats 39671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
31	7, 14, 30	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
32	26, 29, 31	3sstr4d 4000	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
33	32	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → 𝑉 ⊆ 𝑈))
34	6, 33	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈))
35	34	con3dimp 413	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
36		dfrex2 3098	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
37	35, 36	sylibr 237	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
38	2, 37	sylan2 604	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  {crab 3423   ⊆ wss 3913   ⊊ wpss 3914  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6533  Basecbs 17265  LModclmod 20955  LSubSpclss 21026  LSpanclspn 21066  LSAtomsclsa 39633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-lsatoms 39635

This theorem is referenced by: (None)