Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdordlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdordlem2 37614
Description: Lemma for mapdord 37615. Ordering property of projectivity 𝑀. TODO: This was proved using some hacked-up older proofs. Maybe simplify; get rid of the 𝑇 hypothesis. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdord.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdord.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdord.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdord.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdord.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdord.x (𝜑𝑋𝑆)
mapdord.y (𝜑𝑌𝑆)
mapdord.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdord.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdord.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdord.c 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
mapdord.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdord.t 𝑇 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝐽}
mapdord.q 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
Assertion
Ref Expression
mapdordlem2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐾   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)   𝑋(𝑔)   𝑌(𝑔)

Proof of Theorem mapdordlem2
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdord.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdord.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdord.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4 mapdord.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5 mapdord.l . . . 4 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6 mapdord.o . . . 4 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdord.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdord.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 mapdord.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
10 mapdord.q . . . 4 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mapdvalc 37606 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋})
12 mapdord.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑆)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 10mapdvalc 37606 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌})
1411, 13sseq12d 3796 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ↔ {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌}))
15 ss2rab 3840 . . . . 5 ({𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌} ↔ ∀𝑓𝐶 ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌))
16 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
17 mapdord.c . . . . . . . . 9 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
18 mapdord.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝐽}
191, 6, 2, 16, 17, 4, 5, 18, 10, 8mapdordlem1a 37611 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑓𝑇 ↔ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) ∈ 𝐽)))
20 simprl 787 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) ∈ 𝐽)) → 𝑓𝐶)
21 idd 24 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) ∈ 𝐽)) → (((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)))
2220, 21embantd 59 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) ∈ 𝐽)) → ((𝑓𝐶 → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)))
2322ex 401 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) ∈ 𝐽) → ((𝑓𝐶 → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌))))
2419, 23sylbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑓𝑇 → ((𝑓𝐶 → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌))))
2524com23 86 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑓𝐶 → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)) → (𝑓𝑇 → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌))))
2625ralimdv2 3108 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑓𝐶 ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌) → ∀𝑓𝑇 ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)))
2715, 26syl5bi 233 . . . 4 (𝜑 → ({𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌} → ∀𝑓𝑇 ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)))
28 mapdord.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
291, 2, 8dvhlmod 37087 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
303, 28, 29, 9, 12lssatle 34992 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌)))
3118mapdordlem1 37613 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑇 ↔ (𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) ∈ 𝐽))
3231simprbi 490 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑇 → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) ∈ 𝐽)
3332adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) ∈ 𝐽)
348adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3531simplbi 491 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑇𝑓𝐹)
3635adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑓𝐹)
371, 6, 2, 4, 17, 5, 34, 36dochlkr 37362 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝑇) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝐿𝑓) ∈ 𝐽)))
3833, 37mpbid 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝑇) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝐿𝑓) ∈ 𝐽))
3938simpld 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓))
4038simprd 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝑇) → (𝐿𝑓) ∈ 𝐽)
411, 6, 2, 28, 17, 34, 40dochshpsat 37431 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑇) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ↔ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝐴))
4239, 41mpbid 223 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑇) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝐴)
431, 2, 8dvhlvec 37086 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4443adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑈 ∈ LVec)
458adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
46 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝𝐴)
471, 2, 6, 28, 17, 45, 46dochsatshp 37428 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑂𝑝) ∈ 𝐽)
4817, 4, 5lshpkrex 35095 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝑂𝑝) ∈ 𝐽) → ∃𝑓𝐹 (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))
4944, 47, 48syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐴) → ∃𝑓𝐹 (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))
50 df-rex 3061 . . . . . . . . 9 (∃𝑓𝐹 (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝) ↔ ∃𝑓(𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝)))
5149, 50sylib 209 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐴) → ∃𝑓(𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝)))
52 simprl 787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝𝐴) ∧ (𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))) → 𝑓𝐹)
53 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝𝐴) ∧ (𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))) → (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))
5453fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝐴) ∧ (𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑂‘(𝑂𝑝)))
5554fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝𝐴) ∧ (𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝑂‘(𝑂‘(𝑂𝑝))))
5629adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑈 ∈ LMod)
5716, 28, 56, 46lsatssv 34975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝 ⊆ (Base‘𝑈))
58 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
591, 58, 2, 16, 6dochcl 37330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑂𝑝) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
6045, 57, 59syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑂𝑝) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
611, 58, 6dochoc 37344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑂𝑝) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝑂𝑝))) = (𝑂𝑝))
6245, 60, 61syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑂‘(𝑂‘(𝑂𝑝))) = (𝑂𝑝))
6362adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝𝐴) ∧ (𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝑂𝑝))) = (𝑂𝑝))
6455, 63eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝𝐴) ∧ (𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝑂𝑝))
6547adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝𝐴) ∧ (𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))) → (𝑂𝑝) ∈ 𝐽)
6664, 65eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝𝐴) ∧ (𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) ∈ 𝐽)
6752, 66, 31sylanbrc 578 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝𝐴) ∧ (𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))) → 𝑓𝑇)
681, 2, 58, 28dih1dimat 37307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
6945, 46, 68syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
701, 58, 6dochoc 37344 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂‘(𝑂𝑝)) = 𝑝)
7145, 69, 70syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑂‘(𝑂𝑝)) = 𝑝)
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝𝐴) ∧ (𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))) → (𝑂‘(𝑂𝑝)) = 𝑝)
7354, 72eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝𝐴) ∧ (𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))) → 𝑝 = (𝑂‘(𝐿𝑓)))
7467, 73jca 507 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝𝐴) ∧ (𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝))) → (𝑓𝑇𝑝 = (𝑂‘(𝐿𝑓))))
7574ex 401 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐴) → ((𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝)) → (𝑓𝑇𝑝 = (𝑂‘(𝐿𝑓)))))
7675eximdv 2012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐴) → (∃𝑓(𝑓𝐹 ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂𝑝)) → ∃𝑓(𝑓𝑇𝑝 = (𝑂‘(𝐿𝑓)))))
7751, 76mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐴) → ∃𝑓(𝑓𝑇𝑝 = (𝑂‘(𝐿𝑓))))
78 df-rex 3061 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑇 𝑝 = (𝑂‘(𝐿𝑓)) ↔ ∃𝑓(𝑓𝑇𝑝 = (𝑂‘(𝐿𝑓))))
7977, 78sylibr 225 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐴) → ∃𝑓𝑇 𝑝 = (𝑂‘(𝐿𝑓)))
80 sseq1 3788 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑂‘(𝐿𝑓)) → (𝑝𝑋 ↔ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋))
81 sseq1 3788 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑂‘(𝐿𝑓)) → (𝑝𝑌 ↔ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌))
8280, 81imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑂‘(𝐿𝑓)) → ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)))
8382adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 = (𝑂‘(𝐿𝑓))) → ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)))
8442, 79, 83ralxfrd 5045 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌) ↔ ∀𝑓𝑇 ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)))
8530, 84bitr2d 271 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑓𝑇 ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
8627, 85sylibd 230 . . 3 (𝜑 → ({𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌} → 𝑋𝑌))
87 simplr 785 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝑌) ∧ 𝑓𝐶) → 𝑋𝑌)
88 sstr 3771 . . . . . . . 8 (((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋𝑋𝑌) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)
8988ancoms 450 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌)
9089a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝑌) ∧ 𝑓𝐶) → ((𝑋𝑌 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌))
9187, 90mpand 686 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝑌) ∧ 𝑓𝐶) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌))
9291ss2rabdv 3845 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌})
9392ex 401 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑌 → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌}))
9486, 93impbid 203 . 2 (𝜑 → ({𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑌} ↔ 𝑋𝑌))
9514, 94bitrd 270 1 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  wss 3734  ran crn 5280  cfv 6070  Basecbs 16144  LModclmod 19146  LSubSpclss 19215  LVecclvec 19388  LSAtomsclsa 34951  LSHypclsh 34952  LFnlclfn 35034  LKerclk 35062  HLchlt 35327  LHypclh 35961  DVecHcdvh 37055  DIsoHcdih 37205  ocHcoch 37324  mapdcmpd 37601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-riotaBAD 34930
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-tpos 7559  df-undef 7606  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-fz 12539  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-0g 16382  df-proset 17208  df-poset 17226  df-plt 17238  df-lub 17254  df-glb 17255  df-join 17256  df-meet 17257  df-p0 17319  df-p1 17320  df-lat 17326  df-clat 17388  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-sbg 17708  df-subg 17869  df-cntz 18027  df-lsm 18329  df-cmn 18475  df-abl 18476  df-mgp 18771  df-ur 18783  df-ring 18830  df-oppr 18904  df-dvdsr 18922  df-unit 18923  df-invr 18953  df-dvr 18964  df-drng 19032  df-lmod 19148  df-lss 19216  df-lsp 19258  df-lvec 19389  df-lsatoms 34953  df-lshyp 34954  df-lfl 35035  df-lkr 35063  df-oposet 35153  df-ol 35155  df-oml 35156  df-covers 35243  df-ats 35244  df-atl 35275  df-cvlat 35299  df-hlat 35328  df-llines 35475  df-lplanes 35476  df-lvols 35477  df-lines 35478  df-psubsp 35480  df-pmap 35481  df-padd 35773  df-lhyp 35965  df-laut 35966  df-ldil 36081  df-ltrn 36082  df-trl 36136  df-tgrp 36720  df-tendo 36732  df-edring 36734  df-dveca 36980  df-disoa 37006  df-dvech 37056  df-dib 37116  df-dic 37150  df-dih 37206  df-doch 37325  df-djh 37372  df-mapd 37602
This theorem is referenced by:  mapdord  37615
  Copyright terms: Public domain W3C validator