Theorem mapdordlem2 42960

Description: Lemma for mapdord 42961. Ordering property of projectivity 𝑀. TODO: This was proved using some hacked-up older proofs. Maybe simplify; get rid of the 𝑇 hypothesis. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdord.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdord.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdord.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdord.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdord.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdord.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
mapdord.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
mapdord.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdord.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdord.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdord.c	⊢ 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
mapdord.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdord.t	⊢ 𝑇 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) ∈ 𝐽}
mapdord.q	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}

Assertion

Ref	Expression
mapdordlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐾   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)   𝑋(𝑔)   𝑌(𝑔)

Proof of Theorem mapdordlem2

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdord.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdord.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdord.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		mapdord.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5		mapdord.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		mapdord.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdord.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdord.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapdord.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10		mapdord.q	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mapdvalc 42952	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋})
12		mapdord.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 10	mapdvalc 42952	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌})
14	11, 13	sseq12d 3946	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌}))
15		ss2rab 3997	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌} ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐶 ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))
16		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
17		mapdord.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
18		mapdord.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) ∈ 𝐽}
19	1, 6, 2, 16, 17, 4, 5, 18, 10, 8	mapdordlem1a 42957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑇 ↔ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)))
20		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)) → 𝑓 ∈ 𝐶)
21		idd 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)) → (((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
22	20, 21	embantd 60	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)) → ((𝑓 ∈ 𝐶 → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
23	22	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽) → ((𝑓 ∈ 𝐶 → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))))
24	19, 23	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑇 → ((𝑓 ∈ 𝐶 → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))))
25	24	com23 87	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐶 → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)) → (𝑓 ∈ 𝑇 → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))))
26	25	ralimdv2 3175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ∈ 𝐶 ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
27	15, 26	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌} → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
28		mapdord.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
29	1, 2, 8	dvhlmod 42433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
30	3, 28, 29, 9, 12	lssatle 40338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑋 → 𝑝 ⊆ 𝑌)))
31	18	mapdordlem1 42959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽))
32	31	simprbi 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)
33	32	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)
34	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	31	simplbi 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 → 𝑓 ∈ 𝐹)
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝐹)
37	1, 6, 2, 4, 17, 5, 34, 36	dochlkr 42708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝐿‘𝑓) ∈ 𝐽)))
38	33, 37	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝐿‘𝑓) ∈ 𝐽))
39	38	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
40	38	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐿‘𝑓) ∈ 𝐽)
41	1, 6, 2, 28, 17, 34, 40	dochshpsat 42777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ↔ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝐴))
42	39, 41	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝐴)
43	1, 2, 8	dvhlvec 42432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
44	8	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
45		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
46	1, 2, 6, 28, 17, 44, 45	dochsatshp 42774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑂‘𝑝) ∈ 𝐽)
47	17, 4, 5	lshpkrex 40441	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝑂‘𝑝) ∈ 𝐽) → ∃𝑓 ∈ 𝐹 (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))
48	43, 46, 47	syl2an2r 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ 𝐹 (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))
49		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → 𝑓 ∈ 𝐹)
50		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))
51	50	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑂‘(𝑂‘𝑝)))
52	51	fveq2d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝑂‘(𝑂‘(𝑂‘𝑝))))
53	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LMod)
54	16, 28, 53, 45	lsatssv 40321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (Base‘𝑈))
55		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
56	1, 55, 2, 16, 6	dochcl 42676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑂‘𝑝) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
57	8, 54, 56	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑂‘𝑝) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
58	1, 55, 6	dochoc 42690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑂‘𝑝) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝑂‘𝑝))) = (𝑂‘𝑝))
59	8, 57, 58	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑂‘(𝑂‘(𝑂‘𝑝))) = (𝑂‘𝑝))
60	59	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝑂‘𝑝))) = (𝑂‘𝑝))
61	52, 60	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝑂‘𝑝))
62	46	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘𝑝) ∈ 𝐽)
63	61, 62	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)
64	49, 63, 31	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → 𝑓 ∈ 𝑇)
65	1, 2, 55, 28	dih1dimat 42653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
66	8, 45, 65	syl2an2r 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
67	1, 55, 6	dochoc 42690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂‘(𝑂‘𝑝)) = 𝑝)
68	8, 66, 67	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑂‘(𝑂‘𝑝)) = 𝑝)
69	68	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘𝑝)) = 𝑝)
70	51, 69	eqtr2d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → 𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
71	48, 64, 70	reximssdv 3184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
72		sseq1 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) → (𝑝 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋))
73		sseq1 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) → (𝑝 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))
74	72, 73	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) → ((𝑝 ⊆ 𝑋 → 𝑝 ⊆ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
75	74	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) → ((𝑝 ⊆ 𝑋 → 𝑝 ⊆ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
76	42, 71, 75	ralxfrd 5377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑋 → 𝑝 ⊆ 𝑌) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
77	30, 76	bitr2d 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))
78	27, 77	sylibd 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌} → 𝑋 ⊆ 𝑌))
79		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
80		sstr 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)
81	80	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)
82	81	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))
83	79, 82	mpand 708	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))
84	83	ss2rabdv 4003	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌})
85	84	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌}))
86	78, 85	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌} ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))
87	14, 86	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ran crn 5659  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257  LVecclvec 21428  LSAtomsclsa 40297  LSHypclsh 40298  LFnlclfn 40380  LKerclk 40408  HLchlt 40673  LHypclh 41307  DVecHcdvh 42401  DIsoHcdih 42551  ocHcoch 42670  mapdcmpd 42947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-riotaBAD 40276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-undef 8328  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-0g 17662  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-lsatoms 40299  df-lshyp 40300  df-lfl 40381  df-lkr 40409  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822  df-lvols 40823  df-lines 40824  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482  df-tgrp 42066  df-tendo 42078  df-edring 42080  df-dveca 42326  df-disoa 42352  df-dvech 42402  df-dib 42462  df-dic 42496  df-dih 42552  df-doch 42671  df-djh 42718  df-mapd 42948

This theorem is used by:  mapdord  42961