Theorem mapdordlem2 41598

Description: Lemma for mapdord 41599. Ordering property of projectivity 𝑀. TODO: This was proved using some hacked-up older proofs. Maybe simplify; get rid of the 𝑇 hypothesis. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdord.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdord.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdord.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdord.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdord.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdord.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
mapdord.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
mapdord.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdord.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdord.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdord.c	⊢ 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
mapdord.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdord.t	⊢ 𝑇 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) ∈ 𝐽}
mapdord.q	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}

Assertion

Ref	Expression
mapdordlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐾   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)   𝑋(𝑔)   𝑌(𝑔)

Proof of Theorem mapdordlem2

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdord.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdord.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdord.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		mapdord.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5		mapdord.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		mapdord.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdord.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdord.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapdord.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10		mapdord.q	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mapdvalc 41590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋})
12		mapdord.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 10	mapdvalc 41590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌})
14	11, 13	sseq12d 3997	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌}))
15		ss2rab 4051	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌} ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐶 ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))
16		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
17		mapdord.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
18		mapdord.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) ∈ 𝐽}
19	1, 6, 2, 16, 17, 4, 5, 18, 10, 8	mapdordlem1a 41595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑇 ↔ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)))
20		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)) → 𝑓 ∈ 𝐶)
21		idd 24	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)) → (((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
22	20, 21	embantd 59	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)) → ((𝑓 ∈ 𝐶 → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
23	22	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽) → ((𝑓 ∈ 𝐶 → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))))
24	19, 23	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑇 → ((𝑓 ∈ 𝐶 → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))))
25	24	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐶 → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)) → (𝑓 ∈ 𝑇 → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))))
26	25	ralimdv2 3150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ∈ 𝐶 ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
27	15, 26	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌} → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
28		mapdord.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
29	1, 2, 8	dvhlmod 41071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
30	3, 28, 29, 9, 12	lssatle 38975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑋 → 𝑝 ⊆ 𝑌)))
31	18	mapdordlem1 41597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽))
32	31	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)
34	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	31	simplbi 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 → 𝑓 ∈ 𝐹)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝐹)
37	1, 6, 2, 4, 17, 5, 34, 36	dochlkr 41346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝐿‘𝑓) ∈ 𝐽)))
38	33, 37	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝐿‘𝑓) ∈ 𝐽))
39	38	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
40	38	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐿‘𝑓) ∈ 𝐽)
41	1, 6, 2, 28, 17, 34, 40	dochshpsat 41415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ↔ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝐴))
42	39, 41	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝐴)
43	1, 2, 8	dvhlvec 41070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LVec)
45	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
46		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
47	1, 2, 6, 28, 17, 45, 46	dochsatshp 41412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑂‘𝑝) ∈ 𝐽)
48	17, 4, 5	lshpkrex 39078	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝑂‘𝑝) ∈ 𝐽) → ∃𝑓 ∈ 𝐹 (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))
49	44, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ 𝐹 (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))
50		df-rex 3060	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝐹 (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝)))
51	49, 50	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝)))
52		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → 𝑓 ∈ 𝐹)
53		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))
54	53	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑂‘(𝑂‘𝑝)))
55	54	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝑂‘(𝑂‘(𝑂‘𝑝))))
56	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LMod)
57	16, 28, 56, 46	lsatssv 38958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (Base‘𝑈))
58		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
59	1, 58, 2, 16, 6	dochcl 41314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑂‘𝑝) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
60	45, 57, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑂‘𝑝) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
61	1, 58, 6	dochoc 41328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑂‘𝑝) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝑂‘𝑝))) = (𝑂‘𝑝))
62	45, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑂‘(𝑂‘(𝑂‘𝑝))) = (𝑂‘𝑝))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝑂‘𝑝))) = (𝑂‘𝑝))
64	55, 63	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝑂‘𝑝))
65	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘𝑝) ∈ 𝐽)
66	64, 65	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) ∈ 𝐽)
67	52, 66, 31	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → 𝑓 ∈ 𝑇)
68	1, 2, 58, 28	dih1dimat 41291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
69	45, 46, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
70	1, 58, 6	dochoc 41328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂‘(𝑂‘𝑝)) = 𝑝)
71	45, 69, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑂‘(𝑂‘𝑝)) = 𝑝)
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑂‘(𝑂‘𝑝)) = 𝑝)
73	54, 72	eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → 𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
74	67, 73	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝))) → (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓))))
75	74	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝)) → (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))))
76	75	eximdv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘𝑝)) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))))
77	51, 76	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓))))
78		df-rex 3060	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓))))
79	77, 78	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
80		sseq1 3989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) → (𝑝 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋))
81		sseq1 3989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) → (𝑝 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))
82	80, 81	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) → ((𝑝 ⊆ 𝑋 → 𝑝 ⊆ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
83	82	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) → ((𝑝 ⊆ 𝑋 → 𝑝 ⊆ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
84	42, 79, 83	ralxfrd 5388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑋 → 𝑝 ⊆ 𝑌) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)))
85	30, 84	bitr2d 280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))
86	27, 85	sylibd 239	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌} → 𝑋 ⊆ 𝑌))
87		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
88		sstr 3972	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)
89	88	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌)
90	89	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))
91	87, 90	mpand 695	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋 → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌))
92	91	ss2rabdv 4056	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌})
93	92	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌}))
94	86, 93	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑋} ⊆ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑌} ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))
95	14, 94	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3419   ⊆ wss 3931  ran crn 5666  ‘cfv 6541  Basecbs 17229  LModclmod 20826  LSubSpclss 20897  LVecclvec 21069  LSAtomsclsa 38934  LSHypclsh 38935  LFnlclfn 39017  LKerclk 39045  HLchlt 39310  LHypclh 39945  DVecHcdvh 41039  DIsoHcdih 41189  ocHcoch 41308  mapdcmpd 41585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-riotaBAD 38913

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-undef 8280  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-0g 17457  df-proset 18310  df-poset 18329  df-plt 18344  df-lub 18360  df-glb 18361  df-join 18362  df-meet 18363  df-p0 18439  df-p1 18440  df-lat 18446  df-clat 18513  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-subg 19110  df-cntz 19304  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-drng 20699  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-lvec 21070  df-lsatoms 38936  df-lshyp 38937  df-lfl 39018  df-lkr 39046  df-oposet 39136  df-ol 39138  df-oml 39139  df-covers 39226  df-ats 39227  df-atl 39258  df-cvlat 39282  df-hlat 39311  df-llines 39459  df-lplanes 39460  df-lvols 39461  df-lines 39462  df-psubsp 39464  df-pmap 39465  df-padd 39757  df-lhyp 39949  df-laut 39950  df-ldil 40065  df-ltrn 40066  df-trl 40120  df-tgrp 40704  df-tendo 40716  df-edring 40718  df-dveca 40964  df-disoa 40990  df-dvech 41040  df-dib 41100  df-dic 41134  df-dih 41190  df-doch 41309  df-djh 41356  df-mapd 41586

This theorem is referenced by:  mapdord  41599