MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlimcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlimcnp 26950
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the corresponding extended real function at +∞. Since any 𝑟 limit can be written in the form on the left side of the implication, this shows that real limits are a special case of topological continuity at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlimcnp.a (𝜑𝐴 = (𝐵 ∪ {+∞}))
xrlimcnp.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
xrlimcnp.r ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
xrlimcnp.c (𝑥 = +∞ → 𝑅 = 𝐶)
xrlimcnp.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
xrlimcnp.k 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xrlimcnp (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem xrlimcnp
Dummy variables 𝑘 𝑟 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlimcnp.r . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
21fmpttd 7124 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ)
32adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) → (𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ)
4 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅)
5 xrlimcnp.c . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → 𝑅 = 𝐶)
6 ssun2 4171 . . . . . . . . . 10 {+∞} ⊆ (𝐵 ∪ {+∞})
7 pnfex 11304 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ V
87snid 4666 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ {+∞}
96, 8sselii 3973 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ (𝐵 ∪ {+∞})
10 xrlimcnp.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐵 ∪ {+∞}))
119, 10eleqtrrid 2832 . . . . . . . 8 (𝜑 → +∞ ∈ 𝐴)
125eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → (𝑅 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
131ralrimiva 3135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ)
1412, 13, 11rspcdva 3607 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
154, 5, 11, 14fvmptd3 7027 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) = 𝐶)
1615ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) = 𝐶)
1716eleq1d 2810 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ 𝑦𝐽) → (((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ 𝑦𝐶𝑦))
18 cnxmet 24738 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
19 xrlimcnp.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2019cnfldtopn 24747 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2120mopni2 24451 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦𝐽𝐶𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)
2218, 21mp3an1 1444 . . . . . . 7 ((𝑦𝐽𝐶𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)
23 ssun1 4170 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ {+∞})
2423, 10sseqtrrid 4030 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝐴)
25 ssralv 4045 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ → ∀𝑥𝐵 𝑅 ∈ ℂ))
2624, 13, 25sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝑅 ∈ ℂ)
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑥𝐵 𝑅 ∈ ℂ)
28 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
29 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶)
3027, 28, 29rlimi 15498 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
31 letop 23159 . . . . . . . . . . . . . 14 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
32 xrlimcnp.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
33 ressxr 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstrdi 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
35 pnfxr 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
3736snssd 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {+∞} ⊆ ℝ*)
3834, 37unssd 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
3910, 38eqsstrd 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
40 xrex 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 * ∈ V
4140ssex 5322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ∈ V)
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ V)
4342ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝐴 ∈ V)
44 iocpnfordt 23168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (𝑘(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
46 elrestr 17418 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝑘(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
4731, 43, 45, 46mp3an2i 1462 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
48 xrlimcnp.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
4947, 48eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ∈ 𝐾)
50 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝑘 ∈ ℝ)
5150rexrd 11301 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
5235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → +∞ ∈ ℝ*)
5350ltpnfd 13141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝑘 < +∞)
54 ubioc1 13417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑘 < +∞) → +∞ ∈ (𝑘(,]+∞))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → +∞ ∈ (𝑘(,]+∞))
5611ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → +∞ ∈ 𝐴)
5755, 56elind 4192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → +∞ ∈ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴))
58 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
5958rexrd 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ*)
60 elioc1 13406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑘 < 𝑥𝑥 ≤ +∞)))
6159, 35, 60sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑘 < 𝑥𝑥 ≤ +∞)))
62 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑘 < 𝑥𝑥 ≤ +∞) → 𝑘 < 𝑥)
6361, 62biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑘 < 𝑥))
6432ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
6564sselda 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
66 ltle 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝑥𝑘𝑥))
6758, 65, 66syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑘 < 𝑥𝑘𝑥))
6863, 67syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑘𝑥))
6918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
70 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
7170ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ+)
72 rpxr 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ*)
7414ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
7526ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐵 𝑅 ∈ ℂ)
7675r19.21bi 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ ℂ)
77 elbl3 24347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)) → (𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑅(abs ∘ − )𝐶) < 𝑟))
7869, 73, 74, 76, 77syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑅(abs ∘ − )𝐶) < 𝑟))
79 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
8079cnmetdval 24736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅𝐶)))
8176, 74, 80syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅𝐶)))
8281breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑅(abs ∘ − )𝐶) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
8378, 82bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
8483biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → ((abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
8568, 84imim12d 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟) → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
8685ralimdva 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟) → ∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
8786impr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
8814ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝐶 ∈ ℂ)
89 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
90 blcntr 24368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
9118, 88, 89, 90mp3an2i 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
9291a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (+∞ ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
93 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = +∞ → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) ↔ +∞ ∈ (𝑘(,]+∞)))
945eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = +∞ → (𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
9593, 94imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = +∞ → ((𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ (+∞ ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
967, 95ralsn 4687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ {+∞} (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ (+∞ ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
9792, 96sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ∀𝑥 ∈ {+∞} (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
98 ralunb 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {+∞})(𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ (∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∧ ∀𝑥 ∈ {+∞} (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
9987, 97, 98sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {+∞})(𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
10010ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → 𝐴 = (𝐵 ∪ {+∞}))
101100raleqdv 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {+∞})(𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
10299, 101mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
103 ss2rab 4064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞)} ⊆ {𝑥𝐴𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
104102, 103sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → {𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞)} ⊆ {𝑥𝐴𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)})
105 incom 4199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝑘(,]+∞))
106 dfin5 3952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∩ (𝑘(,]+∞)) = {𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞)}
107105, 106eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) = {𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞)}
1084mptpreima 6244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) = {𝑥𝐴𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)}
109104, 107, 1083sstr4g 4022 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
110 funmpt 6592 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun (𝑥𝐴𝑅)
111 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
1122ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ)
113112fdmd 6733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → dom (𝑥𝐴𝑅) = 𝐴)
114111, 113sseqtrrid 4030 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ⊆ dom (𝑥𝐴𝑅))
115 funimass3 7062 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun (𝑥𝐴𝑅) ∧ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ⊆ dom (𝑥𝐴𝑅)) → (((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
116110, 114, 115sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ⊆ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
117109, 116mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
118 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)
119117, 118sstrd 3987 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ 𝑦)
120 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) → (+∞ ∈ 𝑧 ↔ +∞ ∈ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)))
121 imaeq2 6060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) → ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) = ((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)))
122121sseq1d 4008 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) → (((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ 𝑦))
123120, 122anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) → ((+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦) ↔ (+∞ ∈ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ 𝑦)))
124123rspcev 3606 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (+∞ ∈ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ ((𝑘(,]+∞) ∩ 𝐴)) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦))
12549, 57, 119, 124syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦))
126125rexlimdvaa 3145 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
127126adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
12830, 127mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦))
129128rexlimdvaa 3145 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
13022, 129syl5 34 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) → ((𝑦𝐽𝐶𝑦) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
131130expdimp 451 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ 𝑦𝐽) → (𝐶𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
13217, 131sylbid 239 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) ∧ 𝑦𝐽) → (((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ 𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
133132ralrimiva 3135 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) → ∀𝑦𝐽 (((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ 𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))
134 letopon 23158 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
135 resttopon 23114 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
136134, 39, 135sylancr 585 . . . . . 6 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
13748, 136eqeltrid 2829 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝐴))
13819cnfldtopon 24748 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
139138a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
140 iscnp 23190 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ((𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑦𝐽 (((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ 𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))))
141137, 139, 11, 140syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑦𝐽 (((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ 𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))))
142141adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) → ((𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑦𝐽 (((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ 𝑦 → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ 𝑦)))))
1433, 133, 142mpbir2and 711 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶) → (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞))
144 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞))
14514ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
14672adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
14720blopn 24458 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
14818, 145, 146, 147mp3an2i 1462 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
14915ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) = 𝐶)
150 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
15118, 145, 150, 90mp3an2i 1462 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
152149, 151eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
153 cnpimaex 23209 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞) ∧ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽 ∧ ((𝑥𝐴𝑅)‘+∞) ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
154144, 148, 152, 153syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
155 vex 3465 . . . . . . . . 9 𝑤 ∈ V
156155inex1 5318 . . . . . . . 8 (𝑤𝐴) ∈ V
157156a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑤𝐴) ∈ V)
15848eleq2i 2817 . . . . . . . 8 (𝑧𝐾𝑧 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
15942ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ V)
160 elrest 17417 . . . . . . . . 9 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑧 = (𝑤𝐴)))
16131, 159, 160sylancr 585 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑧 = (𝑤𝐴)))
162158, 161bitrid 282 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑧𝐾 ↔ ∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑧 = (𝑤𝐴)))
163 eleq2 2814 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑤𝐴) → (+∞ ∈ 𝑧 ↔ +∞ ∈ (𝑤𝐴)))
164 imaeq2 6060 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑤𝐴) → ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) = ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)))
165164sseq1d 4008 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑤𝐴) → (((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
166163, 165anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑤𝐴) → ((+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ (+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
167166adantl 480 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 = (𝑤𝐴)) → ((+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ (+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
168157, 162, 167rexxfr2d 5411 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝐾 (+∞ ∈ 𝑧 ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ 𝑧) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
169154, 168mpbid 231 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
170 elinel1 4193 . . . . . . . . . . 11 (+∞ ∈ (𝑤𝐴) → +∞ ∈ 𝑤)
171 pnfnei 23173 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑤) → ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)
172170, 171sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ (𝑤𝐴)) → ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)
173 df-ima 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) = ran ((𝑥𝐴𝑅) ↾ (𝑤𝐴))
174 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤𝐴) ⊆ 𝐴
175 resmpt 6042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤𝐴) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝐴𝑅) ↾ (𝑤𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅))
176174, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑅) ↾ (𝑤𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)
177176rneqi 5939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran ((𝑥𝐴𝑅) ↾ (𝑤𝐴)) = ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)
178173, 177eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) = ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)
179178sseq1i 4005 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
180 dfss3 3965 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)𝑧 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
181179, 180bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)𝑧 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
18213adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ)
183 ssralv 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝐴) ⊆ 𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ ℂ))
184174, 182, 183mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ ℂ)
185 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)
186 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑅 → (𝑧 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
187185, 186ralrnmptw 7103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ ℂ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)𝑧 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
188184, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)𝑧 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
189188biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑤𝐴) ↦ 𝑅)𝑧 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
190181, 189biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
191 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)
19234ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
193 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥𝐵)
194192, 193sseldd 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
195 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑘 < 𝑥)
196 pnfge 13150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ +∞)
197194, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥 ≤ +∞)
198 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑘 ∈ ℝ)
199198rexrd 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
200199, 35, 60sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑘 < 𝑥𝑥 ≤ +∞)))
201194, 195, 197, 200mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑘(,]+∞))
202191, 201sseldd 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥𝑤)
20324ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → 𝐵𝐴)
204203sselda 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐴)
205204adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥𝐴)
206202, 205elind 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑤𝐴))
207206ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → ((𝑥𝐵𝑘 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑤𝐴)))
208207imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → ((𝑥 ∈ (𝑤𝐴) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥𝐵𝑘 < 𝑥) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
20918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
21072adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
211210ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
21214ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝐶 ∈ ℂ)
21326ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → ∀𝑥𝐵 𝑅 ∈ ℂ)
214213r19.21bi 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ ℂ)
215214adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → 𝑅 ∈ ℂ)
216209, 211, 212, 215, 77syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → (𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑅(abs ∘ − )𝐶) < 𝑟))
217215, 212, 80syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅𝐶)))
218217breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → ((𝑅(abs ∘ − )𝐶) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
219216, 218bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ (𝑥𝐵𝑘 < 𝑥)) → (𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
220219pm5.74da 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → (((𝑥𝐵𝑘 < 𝑥) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ((𝑥𝐵𝑘 < 𝑥) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
221208, 220sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → ((𝑥 ∈ (𝑤𝐴) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥𝐵𝑘 < 𝑥) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
222221exp4a 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → ((𝑥 ∈ (𝑤𝐴) → 𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑥𝐵 → (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))))
223222ralimdv2 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → (∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
224223imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
225224an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤)) → ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
226225expr 455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤 → ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
227226reximdva 3157 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
228227ex 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝑤𝐴)𝑅 ∈ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))))
229190, 228syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))))
230229com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘(,]+∞) ⊆ 𝑤 → (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))))
231172, 230syl5 34 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ (𝑤𝐴)) → (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))))
232231impl 454 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ +∞ ∈ (𝑤𝐴)) → (((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
233232expimpd 452 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → ((+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
234233rexlimdva 3144 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
235234adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ (𝑤𝐴) ∧ ((𝑥𝐴𝑅) “ (𝑤𝐴)) ⊆ (𝐶(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
236169, 235mpd 15 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
237236ralrimiva 3135 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟))
23826, 32, 14rlim2lt 15482 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
239238adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) → ((𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑘 < 𝑥 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑟)))
240237, 239mpbird 256 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)) → (𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶)
241143, 240impbida 799 1 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑅) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  cun 3942  cin 3943  wss 3944  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  cima 5681  ccom 5682  Fun wfun 6543  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11143  cr 11144  +∞cpnf 11282  *cxr 11284   < clt 11285  cle 11286  cmin 11481  +crp 13014  (,]cioc 13365  abscabs 15222  𝑟 crli 15470  t crest 17410  TopOpenctopn 17411  ordTopcordt 17489  ∞Metcxmet 21286  ballcbl 21288  fldccnfld 21301  Topctop 22844  TopOnctopon 22861   CnP ccnp 23178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-rlim 15474  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-starv 17256  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-unif 17264  df-rest 17412  df-topn 17413  df-topgen 17433  df-ordt 17491  df-ps 18566  df-tsr 18567  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-cnfld 21302  df-top 22845  df-topon 22862  df-topsp 22884  df-bases 22898  df-cnp 23181  df-xms 24275  df-ms 24276
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator