Theorem eltsms 24020

Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltsms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s	⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eltsms	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑧,𝑢,𝐹,𝑦   𝑢,𝐺,𝑦,𝑧   𝑢,𝐽,𝑧   𝑧,𝐴   𝜑,𝑢,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑢)

Proof of Theorem eltsms

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltsms.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eltsms.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		eltsms.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})
5		eltsms.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		eltsms.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		eltsms.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tsmsval 24018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))))
9	8	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))))))
10		eltsms.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
11	1, 2	istps 22821	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
12	10, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})
14	3, 13, 4, 6	tsmsfbas 24015	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆))
15	1, 3, 5, 6, 7	tsmslem1 24016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
16	15	fmpttd 7087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))):𝑆⟶𝐵)
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})) = (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}))
18	17	flffbas 23882	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))):𝑆⟶𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
19	12, 14, 16, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
20		pwexg 5333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21		inex1g 5274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
22	6, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
23	3, 22	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
25		rabexg 5292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ V → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
27	26	ralrimivw 3129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
28		imaeq2 6027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}))
29	28	sseq1d 3978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
30	13, 29	rexrnmptw 7067	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
31	27, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
32		funmpt 6554	. . . . . . . . 9 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
33		ssrab2 4043	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ 𝑆
34		ovex 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V
35		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
36	34, 35	dmmpti 6662	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) = 𝑆
37	33, 36	sseqtrri 3996	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
38		funimass3 7026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢)))
39	32, 37, 38	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢))
40	35	mptpreima 6211	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢) = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢}
41	40	sseq2i 3976	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢) ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢})
42		ss2rab 4034	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
43	39, 41, 42	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
44	43	rexbii 3076	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
45	31, 44	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
46	45	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
47	46	ralbidva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
48	47	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
49	9, 19, 48	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   ↾ cres 5640   “ cima 5641  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  Basecbs 17179  TopOpenctopn 17384   Σ_g cgsu 17403  CMndccmn 19710  fBascfbas 21252  filGencfg 21253  TopOnctopon 22797  TopSpctps 22819   fLimf cflf 23822   tsums ctsu 24013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-ntr 22907  df-nei 22985  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-tsms 24014

This theorem is referenced by:  tsmsi  24021  tsmscl  24022  tsmsgsum  24026  tsmssubm  24030  tsmsres  24031  tsmsf1o  24032  tsmsxp  24042  xrge0tsms  24723  xrge0tsmsd  33002