Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltsms 22736
 Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a (𝜑𝐴𝑉)
eltsms.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
eltsms (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑧,𝑢,𝐹,𝑦   𝑢,𝐺,𝑦,𝑧   𝑢,𝐽,𝑧   𝑧,𝐴   𝜑,𝑢,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑢)

Proof of Theorem eltsms
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltsms.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eltsms.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3 eltsms.s . . . 4 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4 eqid 2822 . . . 4 ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) = ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})
5 eltsms.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 eltsms.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
7 eltsms.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tsmsval 22734 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))))
98eleq2d 2899 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))))
10 eltsms.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
111, 2istps 21537 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
1210, 11sylib 221 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13 eqid 2822 . . . 4 (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) = (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})
143, 13, 4, 6tsmsfbas 22731 . . 3 (𝜑 → ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆))
151, 3, 5, 6, 7tsmslem1 22732 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
1615fmpttd 6861 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):𝑆𝐵)
17 eqid 2822 . . . 4 (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})) = (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}))
1817flffbas 22598 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆) ∧ (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):𝑆𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
1912, 14, 16, 18syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
20 pwexg 5256 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21 inex1g 5199 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
226, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
233, 22eqeltrid 2918 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ V)
2423adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐽) → 𝑆 ∈ V)
25 rabexg 5210 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ V → {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐽) → {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
2726ralrimivw 3175 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐽) → ∀𝑧𝑆 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
28 imaeq2 5903 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑦𝑆𝑧𝑦} → ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}))
2928sseq1d 3973 . . . . . . . 8 (𝑤 = {𝑦𝑆𝑧𝑦} → (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
3013, 29rexrnmptw 6843 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑆 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
3127, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
32 funmpt 6372 . . . . . . . . 9 Fun (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
33 ssrab2 4031 . . . . . . . . . 10 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ 𝑆
34 ovex 7173 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V
35 eqid 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
3634, 35dmmpti 6472 . . . . . . . . . 10 dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) = 𝑆
3733, 36sseqtrri 3979 . . . . . . . . 9 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
38 funimass3 6806 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) ∧ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) → (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢)))
3932, 37, 38mp2an 691 . . . . . . . 8 (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢))
4035mptpreima 6070 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢) = {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢}
4140sseq2i 3971 . . . . . . . 8 ({𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢) ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢})
42 ss2rab 4022 . . . . . . . 8 ({𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢} ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4339, 41, 423bitri 300 . . . . . . 7 (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4443rexbii 3235 . . . . . 6 (∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4531, 44syl6bb 290 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
4645imbi2d 344 . . . 4 ((𝜑𝑢𝐽) → ((𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
4746ralbidva 3186 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
4847anbi2d 631 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
499, 19, 483bitrd 308 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  ∃wrex 3131  {crab 3134  Vcvv 3469   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4511   ↦ cmpt 5122  ◡ccnv 5531  dom cdm 5532  ran crn 5533   ↾ cres 5534   “ cima 5535  Fun wfun 6328  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  Basecbs 16474  TopOpenctopn 16686   Σg cgsu 16705  CMndccmn 18897  fBascfbas 20077  filGencfg 20078  TopOnctopon 21513  TopSpctps 21535   fLimf cflf 22538   tsums ctsu 22729 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-ntr 21623  df-nei 21701  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-tsms 22730 This theorem is referenced by:  tsmsi  22737  tsmscl  22738  tsmsgsum  22742  tsmssubm  22746  tsmsres  22747  tsmsf1o  22748  tsmsxp  22758  xrge0tsms  23437  xrge0tsmsd  30723
 Copyright terms: Public domain W3C validator