MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltsms 23500
Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
eltsms.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
eltsms.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
Assertion
Ref Expression
eltsms (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑒,𝐡   𝑒,𝐢   𝑧,𝑒,𝐹,𝑦   𝑒,𝐺,𝑦,𝑧   𝑒,𝐽,𝑧   𝑧,𝐴   πœ‘,𝑒,𝑦,𝑧   𝑒,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑒)   𝐡(𝑧)   𝐢(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑒)

Proof of Theorem eltsms
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltsms.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eltsms.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
3 eltsms.s . . . 4 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4 eqid 2733 . . . 4 ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})
5 eltsms.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
6 eltsms.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 eltsms.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tsmsval 23498 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})))β€˜(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))))
98eleq2d 2820 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐢 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})))β€˜(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))))))
10 eltsms.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
111, 2istps 22299 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
1210, 11sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
13 eqid 2733 . . . 4 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})
143, 13, 4, 6tsmsfbas 23495 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) ∈ (fBasβ€˜π‘†))
151, 3, 5, 6, 7tsmslem1 23496 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝐡)
1615fmpttd 7064 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))):π‘†βŸΆπ΅)
17 eqid 2733 . . . 4 (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})) = (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}))
1817flffbas 23362 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) ∈ (fBasβ€˜π‘†) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))):π‘†βŸΆπ΅) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})))β€˜(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))) ↔ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒))))
1912, 14, 16, 18syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})))β€˜(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))) ↔ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒))))
20 pwexg 5334 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
21 inex1g 5277 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∈ V β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
226, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
233, 22eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
2423adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 ∈ V)
25 rabexg 5289 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ V β†’ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} ∈ V)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} ∈ V)
2726ralrimivw 3144 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} ∈ V)
28 imaeq2 6010 . . . . . . . . 9 (𝑀 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}))
2928sseq1d 3976 . . . . . . . 8 (𝑀 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} β†’ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒 ↔ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒))
3013, 29rexrnmptw 7046 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} ∈ V β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒))
3127, 30syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒))
32 funmpt 6540 . . . . . . . . 9 Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
33 ssrab2 4038 . . . . . . . . . 10 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† 𝑆
34 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ V
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
3634, 35dmmpti 6646 . . . . . . . . . 10 dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) = 𝑆
3733, 36sseqtrri 3982 . . . . . . . . 9 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
38 funimass3 7005 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))) β†’ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† (β—‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑒)))
3932, 37, 38mp2an 691 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† (β—‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑒))
4035mptpreima 6191 . . . . . . . . 9 (β—‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑒) = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒}
4140sseq2i 3974 . . . . . . . 8 ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† (β—‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑒) ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒})
42 ss2rab 4029 . . . . . . . 8 ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒} ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
4339, 41, 423bitri 297 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
4443rexbii 3094 . . . . . 6 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
4531, 44bitrdi 287 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
4645imbi2d 341 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
4746ralbidva 3169 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
4847anbi2d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
499, 19, 483bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  Basecbs 17088  TopOpenctopn 17308   Ξ£g cgsu 17327  CMndccmn 19567  fBascfbas 20800  filGencfg 20801  TopOnctopon 22275  TopSpctps 22297   fLimf cflf 23302   tsums ctsu 23493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494
This theorem is referenced by:  tsmsi  23501  tsmscl  23502  tsmsgsum  23506  tsmssubm  23510  tsmsres  23511  tsmsf1o  23512  tsmsxp  23522  xrge0tsms  24213  xrge0tsmsd  31948
  Copyright terms: Public domain W3C validator