MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltsms Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eltsms 23857
Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
eltsms.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
eltsms.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
Assertion
Ref Expression
eltsms (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑒,𝐡   𝑒,𝐢   𝑧,𝑒,𝐹,𝑦   𝑒,𝐺,𝑦,𝑧   𝑒,𝐽,𝑧   𝑧,𝐴   πœ‘,𝑒,𝑦,𝑧   𝑒,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑒)   𝐡(𝑧)   𝐢(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑒)
Proof of Theorem eltsms
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltsms.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eltsms.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
3 eltsms.s . . . 4 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4 eqid 2730 . . . 4 ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})
5 eltsms.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
6 eltsms.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 eltsms.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tsmsval 23855 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})))β€˜(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))))
98eleq2d 2817 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐢 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})))β€˜(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))))))
10 eltsms.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
111, 2istps 22656 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
1210, 11sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
13 eqid 2730 . . . 4 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})
143, 13, 4, 6tsmsfbas 23852 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) ∈ (fBasβ€˜π‘†))
151, 3, 5, 6, 7tsmslem1 23853 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝐡)
1615fmpttd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))):π‘†βŸΆπ΅)
17 eqid 2730 . . . 4 (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})) = (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}))
1817flffbas 23719 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) ∈ (fBasβ€˜π‘†) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))):π‘†βŸΆπ΅) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})))β€˜(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))) ↔ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒))))
1912, 14, 16, 18syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})))β€˜(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))) ↔ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒))))
20 pwexg 5375 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
21 inex1g 5318 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∈ V β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
226, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
233, 22eqeltrid 2835 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
2423adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 ∈ V)
25 rabexg 5330 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ V β†’ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} ∈ V)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} ∈ V)
2726ralrimivw 3148 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} ∈ V)
28 imaeq2 6054 . . . . . . . . 9 (𝑀 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}))
2928sseq1d 4012 . . . . . . . 8 (𝑀 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} β†’ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒 ↔ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒))
3013, 29rexrnmptw 7095 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} ∈ V β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒))
3127, 30syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒))
32 funmpt 6585 . . . . . . . . 9 Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
33 ssrab2 4076 . . . . . . . . . 10 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† 𝑆
34 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ V
35 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
3634, 35dmmpti 6693 . . . . . . . . . 10 dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) = 𝑆
3733, 36sseqtrri 4018 . . . . . . . . 9 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
38 funimass3 7054 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))) β†’ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† (β—‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑒)))
3932, 37, 38mp2an 688 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† (β—‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑒))
4035mptpreima 6236 . . . . . . . . 9 (β—‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑒) = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒}
4140sseq2i 4010 . . . . . . . 8 ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† (β—‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑒) ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒})
42 ss2rab 4067 . . . . . . . 8 ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦} βŠ† {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒} ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
4339, 41, 423bitri 296 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
4443rexbii 3092 . . . . . 6 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦}) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
4531, 44bitrdi 286 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
4645imbi2d 339 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
4746ralbidva 3173 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
4847anbi2d 627 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 βŠ† 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦))) β€œ 𝑀) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
499, 19, 483bitrd 304 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17148  TopOpenctopn 17371   Ξ£g cgsu 17390  CMndccmn 19689  fBascfbas 21132  filGencfg 21133  TopOnctopon 22632  TopSpctps 22654   fLimf cflf 23659   tsums ctsu 23850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-ntr 22744  df-nei 22822  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-tsms 23851
This theorem is referenced by:  tsmsi  23858  tsmscl  23859  tsmsgsum  23863  tsmssubm  23867  tsmsres  23868  tsmsf1o  23869  tsmsxp  23879  xrge0tsms  24570  xrge0tsmsd  32479
  Copyright terms: Public domain W3C validator