Theorem eltsms 23521

Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltsms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s	⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eltsms	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑧,𝑢,𝐹,𝑦   𝑢,𝐺,𝑦,𝑧   𝑢,𝐽,𝑧   𝑧,𝐴   𝜑,𝑢,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑢)

Proof of Theorem eltsms

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltsms.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eltsms.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		eltsms.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})
5		eltsms.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		eltsms.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		eltsms.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tsmsval 23519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))))
9	8	eleq2d 2818	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))))))
10		eltsms.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
11	1, 2	istps 22320	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
12	10, 11	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})
14	3, 13, 4, 6	tsmsfbas 23516	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆))
15	1, 3, 5, 6, 7	tsmslem1 23517	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
16	15	fmpttd 7068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))):𝑆⟶𝐵)
17		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})) = (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}))
18	17	flffbas 23383	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))):𝑆⟶𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
19	12, 14, 16, 18	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
20		pwexg 5338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21		inex1g 5281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
22	6, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
23	3, 22	eqeltrid 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
25		rabexg 5293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ V → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
27	26	ralrimivw 3143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
28		imaeq2 6014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}))
29	28	sseq1d 3978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
30	13, 29	rexrnmptw 7050	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
31	27, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
32		funmpt 6544	. . . . . . . . 9 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
33		ssrab2 4042	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ 𝑆
34		ovex 7395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V
35		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
36	34, 35	dmmpti 6650	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) = 𝑆
37	33, 36	sseqtrri 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
38		funimass3 7009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢)))
39	32, 37, 38	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢))
40	35	mptpreima 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢) = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢}
41	40	sseq2i 3976	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢) ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢})
42		ss2rab 4033	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
43	39, 41, 42	3bitri 296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
44	43	rexbii 3093	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
45	31, 44	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
46	45	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
47	46	ralbidva 3168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
48	47	anbi2d 629	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
49	9, 19, 48	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3405  Vcvv 3446   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4565   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   ↾ cres 5640   “ cima 5641  Fun wfun 6495  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  Basecbs 17094  TopOpenctopn 17317   Σ_g cgsu 17336  CMndccmn 19576  fBascfbas 20821  filGencfg 20822  TopOnctopon 22296  TopSpctps 22318   fLimf cflf 23323   tsums ctsu 23514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-hash 14241  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-ntr 22408  df-nei 22486  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-tsms 23515

This theorem is referenced by:  tsmsi  23522  tsmscl  23523  tsmsgsum  23527  tsmssubm  23531  tsmsres  23532  tsmsf1o  23533  tsmsxp  23543  xrge0tsms  24234  xrge0tsmsd  31969