Theorem eltsms 24081

Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltsms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s	⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eltsms	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑧,𝑢,𝐹,𝑦   𝑢,𝐺,𝑦,𝑧   𝑢,𝐽,𝑧   𝑧,𝐴   𝜑,𝑢,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑢)

Proof of Theorem eltsms

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltsms.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eltsms.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		eltsms.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})
5		eltsms.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		eltsms.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		eltsms.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tsmsval 24079	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))))
9	8	eleq2d 2811	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))))))
10		eltsms.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
11	1, 2	istps 22880	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
12	10, 11	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})
14	3, 13, 4, 6	tsmsfbas 24076	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆))
15	1, 3, 5, 6, 7	tsmslem1 24077	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
16	15	fmpttd 7124	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))):𝑆⟶𝐵)
17		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})) = (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}))
18	17	flffbas 23943	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))):𝑆⟶𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
19	12, 14, 16, 18	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
20		pwexg 5378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21		inex1g 5320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
22	6, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
23	3, 22	eqeltrid 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24	23	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
25		rabexg 5334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ V → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
27	26	ralrimivw 3139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
28		imaeq2 6060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}))
29	28	sseq1d 4008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
30	13, 29	rexrnmptw 7104	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
31	27, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
32		funmpt 6592	. . . . . . . . 9 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
33		ssrab2 4073	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ 𝑆
34		ovex 7452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V
35		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
36	34, 35	dmmpti 6700	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) = 𝑆
37	33, 36	sseqtrri 4014	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
38		funimass3 7062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢)))
39	32, 37, 38	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢))
40	35	mptpreima 6244	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢) = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢}
41	40	sseq2i 4006	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢) ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢})
42		ss2rab 4064	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
43	39, 41, 42	3bitri 296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
44	43	rexbii 3083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
45	31, 44	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
46	45	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
47	46	ralbidva 3165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
48	47	anbi2d 628	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
49	9, 19, 48	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4604   ↦ cmpt 5232  ^◡ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679   ↾ cres 5680   “ cima 5681  Fun wfun 6543  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  Basecbs 17183  TopOpenctopn 17406   Σ_g cgsu 17425  CMndccmn 19747  fBascfbas 21284  filGencfg 21285  TopOnctopon 22856  TopSpctps 22878   fLimf cflf 23883   tsums ctsu 24074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-ntr 22968  df-nei 23046  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-tsms 24075

This theorem is referenced by:  tsmsi  24082  tsmscl  24083  tsmsgsum  24087  tsmssubm  24091  tsmsres  24092  tsmsf1o  24093  tsmsxp  24103  xrge0tsms  24794  xrge0tsmsd  32861