MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltsms 24081
Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a (𝜑𝐴𝑉)
eltsms.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
eltsms (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑧,𝑢,𝐹,𝑦   𝑢,𝐺,𝑦,𝑧   𝑢,𝐽,𝑧   𝑧,𝐴   𝜑,𝑢,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑢)

Proof of Theorem eltsms
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltsms.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eltsms.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3 eltsms.s . . . 4 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4 eqid 2725 . . . 4 ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) = ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})
5 eltsms.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 eltsms.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
7 eltsms.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tsmsval 24079 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))))
98eleq2d 2811 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))))
10 eltsms.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
111, 2istps 22880 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
1210, 11sylib 217 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13 eqid 2725 . . . 4 (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) = (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})
143, 13, 4, 6tsmsfbas 24076 . . 3 (𝜑 → ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆))
151, 3, 5, 6, 7tsmslem1 24077 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
1615fmpttd 7124 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):𝑆𝐵)
17 eqid 2725 . . . 4 (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})) = (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}))
1817flffbas 23943 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆) ∧ (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):𝑆𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
1912, 14, 16, 18syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
20 pwexg 5378 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21 inex1g 5320 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
226, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
233, 22eqeltrid 2829 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ V)
2423adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐽) → 𝑆 ∈ V)
25 rabexg 5334 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ V → {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐽) → {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
2726ralrimivw 3139 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐽) → ∀𝑧𝑆 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
28 imaeq2 6060 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑦𝑆𝑧𝑦} → ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}))
2928sseq1d 4008 . . . . . . . 8 (𝑤 = {𝑦𝑆𝑧𝑦} → (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
3013, 29rexrnmptw 7104 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑆 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
3127, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
32 funmpt 6592 . . . . . . . . 9 Fun (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
33 ssrab2 4073 . . . . . . . . . 10 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ 𝑆
34 ovex 7452 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V
35 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
3634, 35dmmpti 6700 . . . . . . . . . 10 dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) = 𝑆
3733, 36sseqtrri 4014 . . . . . . . . 9 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
38 funimass3 7062 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) ∧ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) → (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢)))
3932, 37, 38mp2an 690 . . . . . . . 8 (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢))
4035mptpreima 6244 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢) = {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢}
4140sseq2i 4006 . . . . . . . 8 ({𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢) ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢})
42 ss2rab 4064 . . . . . . . 8 ({𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢} ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4339, 41, 423bitri 296 . . . . . . 7 (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4443rexbii 3083 . . . . . 6 (∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4531, 44bitrdi 286 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
4645imbi2d 339 . . . 4 ((𝜑𝑢𝐽) → ((𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
4746ralbidva 3165 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
4847anbi2d 628 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
499, 19, 483bitrd 304 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  cin 3943  wss 3944  𝒫 cpw 4604  cmpt 5232  ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  cima 5681  Fun wfun 6543  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  Basecbs 17183  TopOpenctopn 17406   Σg cgsu 17425  CMndccmn 19747  fBascfbas 21284  filGencfg 21285  TopOnctopon 22856  TopSpctps 22878   fLimf cflf 23883   tsums ctsu 24074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-ntr 22968  df-nei 23046  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-tsms 24075
This theorem is referenced by:  tsmsi  24082  tsmscl  24083  tsmsgsum  24087  tsmssubm  24091  tsmsres  24092  tsmsf1o  24093  tsmsxp  24103  xrge0tsms  24794  xrge0tsmsd  32861
  Copyright terms: Public domain W3C validator