Theorem eltsms 24445

Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltsms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s	⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eltsms	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑧,𝑢,𝐹,𝑦   𝑢,𝐺,𝑦,𝑧   𝑢,𝐽,𝑧   𝑧,𝐴   𝜑,𝑢,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦, 𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦, 𝑧, 𝑢)

Proof of Theorem eltsms

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltsms.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eltsms.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		eltsms.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})
5		eltsms.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		eltsms.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		eltsms.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tsmsval 24443	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))))
9	8	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))))))
10		eltsms.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
11	1, 2	istps 23245	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
12	10, 11	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})
14	3, 13, 4, 6	tsmsfbas 24440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆))
15	1, 3, 5, 6, 7	tsmslem1 24441	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
16	15	fmpttd 7113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))):𝑆⟶𝐵)
17		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})) = (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}))
18	17	flffbas 24307	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))):𝑆⟶𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
19	12, 14, 16, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
20		pwexg 5340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21		inex1g 5279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
22	6, 20, 21	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
23	3, 22	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
25		rabexg 5299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ V → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
27	26	ralrimivw 3159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
28		imaeq2 6048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}))
29	28	sseq1d 3962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
30	13, 29	rexrnmptw 7093	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
31	27, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
32		funmpt 6576	. . . . . . . . 9 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
33		ssrab2 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ 𝑆
34		ovex 7451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V
35		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
36	34, 35	dmmpti 6681	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) = 𝑆
37	33, 36	sseqtrri 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
38		funimass3 7051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢)))
39	32, 37, 38	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢))
40	35	mptpreima 6238	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢) = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢}
41	40	sseq2i 3960	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢) ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢})
42		ss2rab 4017	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
43	39, 41, 42	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
44	43	rexbii 3110	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
45	31, 44	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
46	45	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
47	46	ralbidva 3184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
48	47	anbi2d 642	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
49	9, 19, 48	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  Basecbs 17380  TopOpenctopn 17585   Σ_g cgsu 17604  CMndccmn 19987  fBascfbas 21659  filGencfg 21660  TopOnctopon 23221  TopSpctps 23243   fLimf cflf 24247   tsums ctsu 24438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-ntr 23331  df-nei 23409  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-tsms 24439

This theorem is used by:  tsmsi  24446  tsmscl  24447  tsmsgsum  24451  tsmssubm  24455  tsmsres  24456  tsmsf1o  24457  tsmsxp  24467  xrge0tsms  25147  xrge0tsmsd  33627