MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltsms 22444
Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a (𝜑𝐴𝑉)
eltsms.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
eltsms (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑧,𝑢,𝐹,𝑦   𝑢,𝐺,𝑦,𝑧   𝑢,𝐽,𝑧   𝑧,𝐴   𝜑,𝑢,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑢)

Proof of Theorem eltsms
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltsms.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eltsms.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3 eltsms.s . . . 4 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4 eqid 2778 . . . 4 ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) = ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})
5 eltsms.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 eltsms.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
7 eltsms.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tsmsval 22442 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))))
98eleq2d 2851 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))))
10 eltsms.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
111, 2istps 21246 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
1210, 11sylib 210 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13 eqid 2778 . . . 4 (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) = (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})
143, 13, 4, 6tsmsfbas 22439 . . 3 (𝜑 → ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆))
151, 3, 5, 6, 7tsmslem1 22440 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
1615fmpttd 6702 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):𝑆𝐵)
17 eqid 2778 . . . 4 (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})) = (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}))
1817flffbas 22307 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆) ∧ (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):𝑆𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
1912, 14, 16, 18syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
20 pwexg 5132 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21 inex1g 5080 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
226, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
233, 22syl5eqel 2870 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ V)
2423adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐽) → 𝑆 ∈ V)
25 rabexg 5090 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ V → {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐽) → {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
2726ralrimivw 3133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐽) → ∀𝑧𝑆 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
28 imaeq2 5766 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑦𝑆𝑧𝑦} → ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}))
2928sseq1d 3888 . . . . . . . 8 (𝑤 = {𝑦𝑆𝑧𝑦} → (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
3013, 29rexrnmpt 6686 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑆 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
3127, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
32 funmpt 6226 . . . . . . . . 9 Fun (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
33 ssrab2 3946 . . . . . . . . . 10 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ 𝑆
34 ovex 7008 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V
35 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
3634, 35dmmpti 6322 . . . . . . . . . 10 dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) = 𝑆
3733, 36sseqtr4i 3894 . . . . . . . . 9 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
38 funimass3 6649 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) ∧ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) → (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢)))
3932, 37, 38mp2an 679 . . . . . . . 8 (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢))
4035mptpreima 5931 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢) = {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢}
4140sseq2i 3886 . . . . . . . 8 ({𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢) ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢})
42 ss2rab 3937 . . . . . . . 8 ({𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢} ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4339, 41, 423bitri 289 . . . . . . 7 (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4443rexbii 3194 . . . . . 6 (∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4531, 44syl6bb 279 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
4645imbi2d 333 . . . 4 ((𝜑𝑢𝐽) → ((𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
4746ralbidva 3146 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
4847anbi2d 619 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
499, 19, 483bitrd 297 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  wrex 3089  {crab 3092  Vcvv 3415  cin 3828  wss 3829  𝒫 cpw 4422  cmpt 5008  ccnv 5406  dom cdm 5407  ran crn 5408  cres 5409  cima 5410  Fun wfun 6182  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  Basecbs 16339  TopOpenctopn 16551   Σg cgsu 16570  CMndccmn 18666  fBascfbas 20235  filGencfg 20236  TopOnctopon 21222  TopSpctps 21244   fLimf cflf 22247   tsums ctsu 22437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-ntr 21332  df-nei 21410  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-tsms 22438
This theorem is referenced by:  tsmsi  22445  tsmscl  22446  tsmsgsum  22450  tsmssubm  22454  tsmsres  22455  tsmsf1o  22456  tsmsxp  22466  xrge0tsms  23145  xrge0tsmsd  30536
  Copyright terms: Public domain W3C validator