Theorem eltsms 24043

Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltsms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s	⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eltsms	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑧,𝑢,𝐹,𝑦   𝑢,𝐺,𝑦,𝑧   𝑢,𝐽,𝑧   𝑧,𝐴   𝜑,𝑢,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑢)

Proof of Theorem eltsms

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltsms.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eltsms.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		eltsms.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})
5		eltsms.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		eltsms.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		eltsms.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tsmsval 24041	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))))
9	8	eleq2d 2817	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))))))
10		eltsms.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
11	1, 2	istps 22844	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
12	10, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})
14	3, 13, 4, 6	tsmsfbas 24038	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆))
15	1, 3, 5, 6, 7	tsmslem1 24039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
16	15	fmpttd 7043	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))):𝑆⟶𝐵)
17		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})) = (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}))
18	17	flffbas 23905	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))):𝑆⟶𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
19	12, 14, 16, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
20		pwexg 5311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21		inex1g 5252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
22	6, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
23	3, 22	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
25		rabexg 5270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ V → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
27	26	ralrimivw 3128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V)
28		imaeq2 6000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}))
29	28	sseq1d 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
30	13, 29	rexrnmptw 7023	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑆 {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
31	27, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢))
32		funmpt 6514	. . . . . . . . 9 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
33		ssrab2 4025	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ 𝑆
34		ovex 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V
35		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
36	34, 35	dmmpti 6620	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) = 𝑆
37	33, 36	sseqtrri 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
38		funimass3 6982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ dom (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢)))
39	32, 37, 38	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢))
40	35	mptpreima 6180	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢) = {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢}
41	40	sseq2i 3959	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ (◡(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑢) ↔ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢})
42		ss2rab 4016	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
43	39, 41, 42	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
44	43	rexbii 3079	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
45	31, 44	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
46	45	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
47	46	ralbidva 3153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
48	47	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑦})((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
49	9, 19, 48	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4545   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5610  dom cdm 5611  ran crn 5612   ↾ cres 5613   “ cima 5614  Fun wfun 6470  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  Basecbs 17115  TopOpenctopn 17320   Σ_g cgsu 17339  CMndccmn 19687  fBascfbas 21274  filGencfg 21275  TopOnctopon 22820  TopSpctps 22842   fLimf cflf 23845   tsums ctsu 24036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-ntr 22930  df-nei 23008  df-fil 23756  df-fm 23848  df-flim 23849  df-flf 23850  df-tsms 24037

This theorem is referenced by:  tsmsi  24044  tsmscl  24045  tsmsgsum  24049  tsmssubm  24053  tsmsres  24054  tsmsf1o  24055  tsmsxp  24065  xrge0tsms  24745  xrge0tsmsd  33034