Theorem rabss 4018

Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by NM, 16-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
rabss	⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3413	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2	1	sseq1i 3959	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵)
3		abss 4010	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵))
4		impexp 456	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
5	4	albii 1852	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
6		df-ral 3077	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
7	5, 6	bitr4i 281	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))
8	2, 3, 7	3bitri 300	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rab 3413  df-ss 3916

This theorem is used by:  rabssdv  4022  fnsuppres  8189  wemapso2lem  9524  tskwe2  10782  grothac  10839  uzwo3  12992  fsuppmapnn0fiub0  14057  dvdsssfz1  16408  phibndlem  16861  dfphi2  16865  ramval  17100  mgmidsssn0  18766  istopon  23137  ordtrest2lem  23428  filssufilg  24137  cfinufil  24154  blsscls2  24730  nmhmcn  25348  ovolshftlem2  25738  atansssdm  27170  leftf  28120  rightf  28121  umgrres1lem  29770  upgrres1  29773  sspval  31204  ubthlem2  31352  ordtrest2NEWlem  34432  truae  34754  poimirlem30  38399  nnubfi  38500  prnc  38817  supminfrnmpt  46273  supminfxrrnmpt  46299  itgperiod  46809  fourierdlem81  47015  ovnsupge0  47385  smflimlem2  47600