Theorem rabss 4022

Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by NM, 16-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
rabss	⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3400	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2	1	sseq1i 3962	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵)
3		abss 4014	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵))
4		impexp 450	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
5	4	albii 1820	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
6		df-ral 3052	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
7	5, 6	bitr4i 278	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))
8	2, 3, 7	3bitri 297	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   ∈ wcel 2113  {cab 2714  ∀wral 3051  {crab 3399   ⊆ wss 3901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rab 3400  df-ss 3918

This theorem is referenced by:  rabssdv  4026  fnsuppres  8133  wemapso2lem  9457  tskwe2  10684  grothac  10741  uzwo3  12856  fsuppmapnn0fiub0  13916  dvdsssfz1  16245  phibndlem  16697  dfphi2  16701  ramval  16936  mgmidsssn0  18597  istopon  22856  ordtrest2lem  23147  filssufilg  23855  cfinufil  23872  blsscls2  24448  nmhmcn  25076  ovolshftlem2  25467  atansssdm  26899  leftf  27851  rightf  27852  umgrres1lem  29383  upgrres1  29386  sspval  30798  ubthlem2  30946  ordtrest2NEWlem  34079  truae  34400  poimirlem30  37851  nnubfi  37951  prnc  38268  supminfrnmpt  45689  supminfxrrnmpt  45715  itgperiod  46225  fourierdlem81  46431  ovnsupge0  46801  smflimlem2  47016