MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabss 4069
Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by NM, 16-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
rabss ({𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵))
Distinct variable group:   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rabss
StepHypRef Expression
1 df-rab 3433 . . 3 {𝑥𝐴𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)}
21sseq1i 4010 . 2 ({𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)} ⊆ 𝐵)
3 abss 4057 . 2 ({𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵))
4 impexp 451 . . . 4 (((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵) ↔ (𝑥𝐴 → (𝜑𝑥𝐵)))
54albii 1821 . . 3 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝑥𝐵)))
6 df-ral 3062 . . 3 (∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝑥𝐵)))
75, 6bitr4i 277 . 2 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵))
82, 3, 73bitri 296 1 ({𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539  wcel 2106  {cab 2709  wral 3061  {crab 3432  wss 3948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-tru 1544  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rab 3433  df-v 3476  df-in 3955  df-ss 3965
This theorem is referenced by:  rabssdv  4072  fnsuppres  8178  wemapso2lem  9549  tskwe2  10770  grothac  10827  uzwo3  12931  fsuppmapnn0fiub0  13962  dvdsssfz1  16265  phibndlem  16707  dfphi2  16711  ramval  16945  mgmidsssn0  18597  istopon  22634  ordtrest2lem  22927  filssufilg  23635  cfinufil  23652  blsscls2  24233  nmhmcn  24860  ovolshftlem2  25251  atansssdm  26662  leftf  27585  rightf  27586  umgrres1lem  28822  upgrres1  28825  sspval  30231  ubthlem2  30379  ordtrest2NEWlem  33188  truae  33527  poimirlem30  36821  nnubfi  36921  prnc  37238  supminfrnmpt  44454  supminfxrrnmpt  44480  itgperiod  44996  fourierdlem81  45202  ovnsupge0  45572  smflimlem2  45787
  Copyright terms: Public domain W3C validator