Theorem rabss 4024

Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by NM, 16-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
rabss	⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3417	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2	1	sseq1i 3965	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵)
3		abss 4016	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵))
4		impexp 455	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
5	4	albii 1849	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
6		df-ral 3080	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
7	5, 6	bitr4i 281	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))
8	2, 3, 7	3bitri 300	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1568   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∀wral 3079  {crab 3416   ⊆ wss 3905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-tru 1573  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rab 3417  df-ss 3922

This theorem is referenced by:  rabssdv  4028  fnsuppres  8183  wemapso2lem  9510  tskwe2  10753  grothac  10810  uzwo3  12962  fsuppmapnn0fiub0  14025  dvdsssfz1  16371  phibndlem  16824  dfphi2  16828  ramval  17063  mgmidsssn0  18725  istopon  23069  ordtrest2lem  23360  filssufilg  24068  cfinufil  24085  blsscls2  24661  nmhmcn  25279  ovolshftlem2  25669  atansssdm  27098  leftf  28048  rightf  28049  umgrres1lem  29660  upgrres1  29663  sspval  31075  ubthlem2  31223  ordtrest2NEWlem  34312  truae  34633  poimirlem30  38301  nnubfi  38401  prnc  38718  supminfrnmpt  46159  supminfxrrnmpt  46185  itgperiod  46695  fourierdlem81  46901  ovnsupge0  47271  smflimlem2  47486