MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabss 4065
Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by NM, 16-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
rabss ({𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵))
Distinct variable group:   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rabss
StepHypRef Expression
1 df-rab 3419 . . 3 {𝑥𝐴𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)}
21sseq1i 4005 . 2 ({𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)} ⊆ 𝐵)
3 abss 4054 . 2 ({𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵))
4 impexp 449 . . . 4 (((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵) ↔ (𝑥𝐴 → (𝜑𝑥𝐵)))
54albii 1813 . . 3 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝑥𝐵)))
6 df-ral 3051 . . 3 (∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝑥𝐵)))
75, 6bitr4i 277 . 2 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵))
82, 3, 73bitri 296 1 ({𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wal 1531  wcel 2098  {cab 2702  wral 3050  {crab 3418  wss 3944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-tru 1536  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3051  df-rab 3419  df-ss 3961
This theorem is referenced by:  rabssdv  4068  fnsuppres  8196  wemapso2lem  9577  tskwe2  10798  grothac  10855  uzwo3  12960  fsuppmapnn0fiub0  13994  dvdsssfz1  16298  phibndlem  16742  dfphi2  16746  ramval  16980  mgmidsssn0  18635  istopon  22858  ordtrest2lem  23151  filssufilg  23859  cfinufil  23876  blsscls2  24457  nmhmcn  25091  ovolshftlem2  25483  atansssdm  26910  leftf  27838  rightf  27839  umgrres1lem  29195  upgrres1  29198  sspval  30605  ubthlem2  30753  ordtrest2NEWlem  33654  truae  33993  poimirlem30  37254  nnubfi  37354  prnc  37671  supminfrnmpt  44965  supminfxrrnmpt  44991  itgperiod  45507  fourierdlem81  45713  ovnsupge0  46083  smflimlem2  46298
  Copyright terms: Public domain W3C validator