Theorem rabss 4070

Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by NM, 16-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
rabss	⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3434	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2	1	sseq1i 4011	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵)
3		abss 4058	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵))
4		impexp 452	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
5	4	albii 1822	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
6		df-ral 3063	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
7	5, 6	bitr4i 278	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))
8	2, 3, 7	3bitri 297	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  ∀wal 1540   ∈ wcel 2107  {cab 2710  ∀wral 3062  {crab 3433   ⊆ wss 3949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-tru 1545  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-in 3956  df-ss 3966

This theorem is referenced by:  rabssdv  4073  fnsuppres  8176  wemapso2lem  9547  tskwe2  10768  grothac  10825  uzwo3  12927  fsuppmapnn0fiub0  13958  dvdsssfz1  16261  phibndlem  16703  dfphi2  16707  ramval  16941  mgmidsssn0  18591  istopon  22414  ordtrest2lem  22707  filssufilg  23415  cfinufil  23432  blsscls2  24013  nmhmcn  24636  ovolshftlem2  25027  atansssdm  26438  leftf  27360  rightf  27361  umgrres1lem  28567  upgrres1  28570  sspval  29976  ubthlem2  30124  ordtrest2NEWlem  32902  truae  33241  poimirlem30  36518  nnubfi  36618  prnc  36935  supminfrnmpt  44155  supminfxrrnmpt  44181  itgperiod  44697  fourierdlem81  44903  ovnsupge0  45273  smflimlem2  45488