MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabss 3969
Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by NM, 16-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
rabss ({𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵))
Distinct variable group:   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rabss
StepHypRef Expression
1 df-rab 3114 . . 3 {𝑥𝐴𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)}
21sseq1i 3916 . 2 ({𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)} ⊆ 𝐵)
3 abss 3961 . 2 ({𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵))
4 impexp 451 . . . 4 (((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵) ↔ (𝑥𝐴 → (𝜑𝑥𝐵)))
54albii 1801 . . 3 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝑥𝐵)))
6 df-ral 3110 . . 3 (∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝑥𝐵)))
75, 6bitr4i 279 . 2 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵))
82, 3, 73bitri 298 1 ({𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wal 1520  wcel 2081  {cab 2775  wral 3105  {crab 3109  wss 3859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-ext 2769
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ral 3110  df-rab 3114  df-in 3866  df-ss 3874
This theorem is referenced by:  rabssdv  3972  fnsuppres  7708  wemapso2lem  8862  tskwe2  10041  grothac  10098  uzwo3  12192  fsuppmapnn0fiub0  13211  dvdsssfz1  15501  phibndlem  15936  dfphi2  15940  ramval  16173  mgmidsssn0  17708  istopon  21204  ordtrest2lem  21495  filssufilg  22203  cfinufil  22220  blsscls2  22797  nmhmcn  23407  ovolshftlem2  23794  atansssdm  25192  umgrres1lem  26775  upgrres1  26778  sspval  28191  ubthlem2  28339  ordtrest2NEWlem  30782  truae  31119  poimirlem30  34472  nnubfi  34576  prnc  34896  supminfrnmpt  41280  supminfxrrnmpt  41308  itgperiod  41827  fourierdlem81  42034  ovnsupge0  42401  smflimlem2  42610
  Copyright terms: Public domain W3C validator