Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diaord 39560
Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is order-preserving in the region under co-atom π‘Š. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 28. (Contributed by NM, 26-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dia11.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dia11.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dia11.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia11.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
diaord (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))

Proof of Theorem diaord
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dia11.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dia11.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dia11.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 eqid 2733 . . . . 5 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2733 . . . . 5 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dia11.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6diaval 39545 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = {𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∣ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ 𝑋})
873adant3 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = {𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∣ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ 𝑋})
91, 2, 3, 4, 5, 6diaval 39545 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) = {𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∣ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ π‘Œ})
1093adant2 1132 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) = {𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∣ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ π‘Œ})
118, 10sseq12d 3981 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ {𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∣ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ 𝑋} βŠ† {𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∣ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ π‘Œ}))
12 ss2rab 4032 . . 3 ({𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∣ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ 𝑋} βŠ† {𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∣ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ π‘Œ} ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ π‘Œ))
13 eqid 2733 . . . 4 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
141, 2, 13, 3, 4, 5trlord 39082 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ π‘Œ)))
1512, 14bitr4id 290 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ({𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∣ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ 𝑋} βŠ† {𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∣ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ≀ π‘Œ} ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
1611, 15bitrd 279 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  lecple 17148  Atomscatm 37775  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  trLctrl 38671  DIsoAcdia 39541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-undef 8208  df-map 8773  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-disoa 39542
This theorem is referenced by:  dia11N  39561  dia2dimlem10  39586  dibord  39672
  Copyright terms: Public domain W3C validator