Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpssat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpssat 36016
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 30054 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpssat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lpssat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lpssat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lpssat.t (𝜑𝑇𝑆)
lpssat.u (𝜑𝑈𝑆)
lpssat.l (𝜑𝑇𝑈)
Assertion
Ref Expression
lpssat (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem lpssat
StepHypRef Expression
1 lpssat.l . . . 4 (𝜑𝑇𝑈)
2 dfpss3 4067 . . . . 5 (𝑇𝑈 ↔ (𝑇𝑈 ∧ ¬ 𝑈𝑇))
32simprbi 497 . . . 4 (𝑇𝑈 → ¬ 𝑈𝑇)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑈𝑇)
5 iman 402 . . . . 5 ((𝑞𝑈𝑞𝑇) ↔ ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
65ralbii 3170 . . . 4 (∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇) ↔ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
7 ss2rab 4051 . . . . 5 ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} ↔ ∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇))
8 lpssat.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑊 ∈ LMod)
10 lpssat.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
11 lpssat.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
1210, 11lsatlss 35999 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
13 rabss2 4058 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
14 uniss 4858 . . . . . . . . . . 11 ({𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇} → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
158, 12, 13, 144syl 19 . . . . . . . . . 10 (𝜑 {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
16 lpssat.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇𝑆)
17 unimax 4872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝑆 {𝑞𝑆𝑞𝑇} = 𝑇)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 {𝑞𝑆𝑞𝑇} = 𝑇)
19 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2019, 10lssss 19628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝑆𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
2218, 21eqsstrd 4009 . . . . . . . . . 10 (𝜑 {𝑞𝑆𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
2315, 22sstrd 3981 . . . . . . . . 9 (𝜑 {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
25 uniss 4858 . . . . . . . . 9 ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} → {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇})
2625adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇})
27 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
2819, 27lspss 19676 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
299, 24, 26, 28syl3anc 1365 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
30 lpssat.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
3110, 27, 11lssats 36015 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
328, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
3332adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
3410, 27, 11lssats 36015 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
358, 16, 34syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
3729, 33, 363sstr4d 4018 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑈𝑇)
3837ex 413 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} → 𝑈𝑇))
397, 38syl5bir 244 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇) → 𝑈𝑇))
406, 39syl5bir 244 . . 3 (𝜑 → (∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) → 𝑈𝑇))
414, 40mtod 199 . 2 (𝜑 → ¬ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
42 dfrex2 3244 . 2 (∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) ↔ ¬ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
4341, 42sylibr 235 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  {crab 3147  wss 3940  wpss 3941   cuni 4837  cfv 6352  Basecbs 16473  LModclmod 19554  LSubSpclss 19623  LSpanclspn 19663  LSAtomsclsa 35977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-lmod 19556  df-lss 19624  df-lsp 19664  df-lsatoms 35979
This theorem is referenced by:  lrelat  36017  dihglblem6  38343  dochexmidlem8  38470
  Copyright terms: Public domain W3C validator