Theorem lpssat 38995

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 32392 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpssat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lpssat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lpssat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lpssat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lpssat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lpssat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lpssat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem lpssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpssat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
2		dfpss3 4099	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇))
3	2	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 → ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇)
5		iman 401	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
6	5	ralbii 3091	. . . 4 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
7		ss2rab 4081	. . . . 5 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇))
8		lpssat.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑊 ∈ LMod)
10		lpssat.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
11		lpssat.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
12	10, 11	lsatlss 38978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
13		rabss2 4088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
14		uniss 4920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
15	8, 12, 13, 14	4syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
16		lpssat.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
17		unimax 4949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} = 𝑇)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} = 𝑇)
19		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
20	19, 10	lssss 20952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
22	18, 21	eqsstrd 4034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
23	15, 22	sstrd 4006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
25		uniss 4920	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
27		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
28	19, 27	lspss 21000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
29	9, 24, 26, 28	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
30		lpssat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
31	10, 27, 11	lssats 38994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
32	8, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
34	10, 27, 11	lssats 38994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
35	8, 16, 34	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
37	29, 33, 36	3sstr4d 4043	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑈 ⊆ 𝑇)
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → 𝑈 ⊆ 𝑇))
39	7, 38	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝑇))
40	6, 39	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝑇))
41	4, 40	mtod 198	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
42		dfrex2 3071	. 2 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
43	41, 42	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LSAtomsclsa 38956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lsatoms 38958

This theorem is referenced by:  lrelat  38996  dihglblem6  41323  dochexmidlem8  41450