Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpssat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lpssat 38394
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 32121 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpssat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lpssat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lpssat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lpssat.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
lpssat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lpssat.l (πœ‘ β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lpssat (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝑆,π‘ž   𝑇,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   π‘Š,π‘ž
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘ž)
Proof of Theorem lpssat
StepHypRef Expression
1 lpssat.l . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
2 dfpss3 4081 . . . . 5 (𝑇 ⊊ π‘ˆ ↔ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ˆ βŠ† 𝑇))
32simprbi 496 . . . 4 (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ Β¬ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
41, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
5 iman 401 . . . . 5 ((π‘ž βŠ† π‘ˆ β†’ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ Β¬ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇))
65ralbii 3087 . . . 4 (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ β†’ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 Β¬ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇))
7 ss2rab 4063 . . . . 5 ({π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ β†’ π‘ž βŠ† 𝑇))
8 lpssat.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}) β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 lpssat.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
11 lpssat.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
1210, 11lsatlss 38377 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
13 rabss2 4070 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝑆 β†’ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} βŠ† {π‘ž ∈ 𝑆 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇})
14 uniss 4910 . . . . . . . . . . 11 ({π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} βŠ† {π‘ž ∈ 𝑆 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} β†’ βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {π‘ž ∈ 𝑆 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇})
158, 12, 13, 144syl 19 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {π‘ž ∈ 𝑆 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇})
16 lpssat.t . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
17 unimax 4941 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {π‘ž ∈ 𝑆 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} = 𝑇)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ {π‘ž ∈ 𝑆 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} = 𝑇)
19 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2019, 10lssss 20781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ 𝑆 β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2218, 21eqsstrd 4015 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ {π‘ž ∈ 𝑆 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2315, 22sstrd 3987 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}) β†’ βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
25 uniss 4910 . . . . . . . . 9 ({π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} β†’ βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇})
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}) β†’ βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇})
27 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
2819, 27lspss 20829 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}))
299, 24, 26, 28syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}))
30 lpssat.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
3110, 27, 11lssats 38393 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ}))
328, 30, 31syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ}))
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}) β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ}))
3410, 27, 11lssats 38393 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}))
358, 16, 34syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}))
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}) β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}))
3729, 33, 363sstr4d 4024 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇}) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
3837ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘ž ∈ 𝐴 ∣ π‘ž βŠ† 𝑇} β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇))
397, 38biimtrrid 242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ β†’ π‘ž βŠ† 𝑇) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇))
406, 39biimtrrid 242 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 Β¬ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇))
414, 40mtod 197 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 Β¬ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇))
42 dfrex2 3067 . 2 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ Β¬ βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 Β¬ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇))
4341, 42sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βŠ† wss 3943   ⊊ wpss 3944  βˆͺ cuni 4902  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776  LSpanclspn 20816  LSAtomsclsa 38355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lsatoms 38357
This theorem is referenced by:  lrelat  38395  dihglblem6  40722  dochexmidlem8  40849
  Copyright terms: Public domain W3C validator