Theorem lpssat 39512

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 32459 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpssat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lpssat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lpssat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lpssat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lpssat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lpssat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lpssat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem lpssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpssat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
2		dfpss3 4027	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇))
3	2	simprbi 498	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 → ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇)
5		iman 402	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
6	5	ralbii 3086	. . . 4 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
7		ss2rab 4007	. . . . 5 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇))
8		lpssat.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		lpssat.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
10		lpssat.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
11	9, 10	lsatlss 39495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
12		rabss2 4015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
13		uniss 4853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
14	8, 11, 12, 13	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
15		lpssat.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
16		unimax 4882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} = 𝑇)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} = 𝑇)
18		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
19	18, 9	lssss 20933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
21	17, 20	eqsstrd 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
22	14, 21	sstrd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
23		uniss 4853	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
24		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
25	18, 24	lspss 20981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
26	8, 22, 23, 25	syl2an3an 1430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
27		lpssat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
28	9, 24, 10	lssats 39511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
29	8, 27, 28	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
31	9, 24, 10	lssats 39511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
32	8, 15, 31	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
34	26, 30, 33	3sstr4d 3977	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑈 ⊆ 𝑇)
35	34	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → 𝑈 ⊆ 𝑇))
36	7, 35	biimtrrid 244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝑇))
37	6, 36	biimtrrid 244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝑇))
38	4, 37	mtod 199	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
39		dfrex2 3067	. 2 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
40	38, 39	sylibr 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {crab 3392   ⊆ wss 3890   ⊊ wpss 3891  ∪ cuni 4845  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  LModclmod 20857  LSubSpclss 20928  LSpanclspn 20968  LSAtomsclsa 39473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mgp 20120  df-ur 20161  df-ring 20214  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lsatoms 39475

This theorem is referenced by:  lrelat  39513  dihglblem6  41839  dochexmidlem8  41966