Theorem lpssat 39649

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 32624 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpssat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lpssat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lpssat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lpssat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lpssat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lpssat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lpssat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem lpssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpssat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
2		dfpss3 4045	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇))
3	2	simprbi 502	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 → ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇)
5		iman 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
6	5	ralbii 3111	. . . 4 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
7		ss2rab 4025	. . . . 5 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇))
8		lpssat.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		lpssat.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
10		lpssat.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
11	9, 10	lsatlss 39632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
12		rabss2 4033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
13		uniss 4876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
14	8, 11, 12, 13	4syl 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
15		lpssat.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
16		unimax 4906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} = 𝑇)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} = 𝑇)
18		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
19	18, 9	lssss 21026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
20	15, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
21	17, 20	eqsstrd 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
22	14, 21	sstrd 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
23		uniss 4876	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
24		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
25	18, 24	lspss 21074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
26	8, 22, 23, 25	syl2an3an 1445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
27		lpssat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
28	9, 24, 10	lssats 39648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
29	8, 27, 28	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
30	29	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
31	9, 24, 10	lssats 39648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
32	8, 15, 31	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
33	32	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
34	26, 30, 33	3sstr4d 3994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑈 ⊆ 𝑇)
35	34	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → 𝑈 ⊆ 𝑇))
36	7, 35	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝑇))
37	6, 36	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝑇))
38	4, 37	mtod 201	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
39		dfrex2 3092	. 2 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
40	38, 39	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417   ⊆ wss 3907   ⊊ wpss 3908  ∪ cuni 4868  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  LModclmod 20950  LSubSpclss 21021  LSpanclspn 21061  LSAtomsclsa 39610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-lsatoms 39612

This theorem is referenced by:  lrelat  39650  dihglblem6  41976  dochexmidlem8  42103