Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpssat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpssat 35088
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 29777 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpssat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lpssat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lpssat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lpssat.t (𝜑𝑇𝑆)
lpssat.u (𝜑𝑈𝑆)
lpssat.l (𝜑𝑇𝑈)
Assertion
Ref Expression
lpssat (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem lpssat
StepHypRef Expression
1 lpssat.l . . . 4 (𝜑𝑇𝑈)
2 dfpss3 3919 . . . . 5 (𝑇𝑈 ↔ (𝑇𝑈 ∧ ¬ 𝑈𝑇))
32simprbi 492 . . . 4 (𝑇𝑈 → ¬ 𝑈𝑇)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑈𝑇)
5 iman 392 . . . . 5 ((𝑞𝑈𝑞𝑇) ↔ ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
65ralbii 3189 . . . 4 (∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇) ↔ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
7 ss2rab 3903 . . . . 5 ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} ↔ ∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇))
8 lpssat.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
98adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑊 ∈ LMod)
10 lpssat.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
11 lpssat.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
1210, 11lsatlss 35071 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
13 rabss2 3910 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
14 uniss 4681 . . . . . . . . . . 11 ({𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇} → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
158, 12, 13, 144syl 19 . . . . . . . . . 10 (𝜑 {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
16 lpssat.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇𝑆)
17 unimax 4695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝑆 {𝑞𝑆𝑞𝑇} = 𝑇)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 {𝑞𝑆𝑞𝑇} = 𝑇)
19 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2019, 10lssss 19293 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝑆𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
2218, 21eqsstrd 3864 . . . . . . . . . 10 (𝜑 {𝑞𝑆𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
2315, 22sstrd 3837 . . . . . . . . 9 (𝜑 {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
2423adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
25 uniss 4681 . . . . . . . . 9 ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} → {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇})
2625adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇})
27 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
2819, 27lspss 19343 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
299, 24, 26, 28syl3anc 1496 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
30 lpssat.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
3110, 27, 11lssats 35087 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
328, 30, 31syl2anc 581 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
3332adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
3410, 27, 11lssats 35087 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
358, 16, 34syl2anc 581 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
3635adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
3729, 33, 363sstr4d 3873 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑈𝑇)
3837ex 403 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} → 𝑈𝑇))
397, 38syl5bir 235 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇) → 𝑈𝑇))
406, 39syl5bir 235 . . 3 (𝜑 → (∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) → 𝑈𝑇))
414, 40mtod 190 . 2 (𝜑 → ¬ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
42 dfrex2 3204 . 2 (∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) ↔ ¬ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
4341, 42sylibr 226 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3117  wrex 3118  {crab 3121  wss 3798  wpss 3799   cuni 4658  cfv 6123  Basecbs 16222  LModclmod 19219  LSubSpclss 19288  LSpanclspn 19330  LSAtomsclsa 35049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lsatoms 35051
This theorem is referenced by:  lrelat  35089  dihglblem6  37415  dochexmidlem8  37542
  Copyright terms: Public domain W3C validator