Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | lpssat.l |
. . . 4
β’ (π β π β π) |
2 | | dfpss3 4051 |
. . . . 5
β’ (π β π β (π β π β§ Β¬ π β π)) |
3 | 2 | simprbi 498 |
. . . 4
β’ (π β π β Β¬ π β π) |
4 | 1, 3 | syl 17 |
. . 3
β’ (π β Β¬ π β π) |
5 | | iman 403 |
. . . . 5
β’ ((π β π β π β π) β Β¬ (π β π β§ Β¬ π β π)) |
6 | 5 | ralbii 3097 |
. . . 4
β’
(βπ β
π΄ (π β π β π β π) β βπ β π΄ Β¬ (π β π β§ Β¬ π β π)) |
7 | | ss2rab 4033 |
. . . . 5
β’ ({π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π} β βπ β π΄ (π β π β π β π)) |
8 | | lpssat.w |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β LMod) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ {π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π}) β π β LMod) |
10 | | lpssat.s |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = (LSubSpβπ) |
11 | | lpssat.a |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π΄ = (LSAtomsβπ) |
12 | 10, 11 | lsatlss 37487 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β LMod β π΄ β π) |
13 | | rabss2 4040 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π΄ β π β {π β π΄ β£ π β π} β {π β π β£ π β π}) |
14 | | uniss 4878 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ({π β π΄ β£ π β π} β {π β π β£ π β π} β βͺ {π β π΄ β£ π β π} β βͺ
{π β π β£ π β π}) |
15 | 8, 12, 13, 14 | 4syl 19 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β βͺ {π
β π΄ β£ π β π} β βͺ
{π β π β£ π β π}) |
16 | | lpssat.t |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π β π) |
17 | | unimax 4910 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π β βͺ {π β π β£ π β π} = π) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β βͺ {π
β π β£ π β π} = π) |
19 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(Baseβπ) =
(Baseβπ) |
20 | 19, 10 | lssss 20413 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π β π β (Baseβπ)) |
21 | 16, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β (Baseβπ)) |
22 | 18, 21 | eqsstrd 3987 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β βͺ {π
β π β£ π β π} β (Baseβπ)) |
23 | 15, 22 | sstrd 3959 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β βͺ {π
β π΄ β£ π β π} β (Baseβπ)) |
24 | 23 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ {π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π}) β βͺ
{π β π΄ β£ π β π} β (Baseβπ)) |
25 | | uniss 4878 |
. . . . . . . . 9
β’ ({π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π} β βͺ {π β π΄ β£ π β π} β βͺ
{π β π΄ β£ π β π}) |
26 | 25 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ {π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π}) β βͺ
{π β π΄ β£ π β π} β βͺ
{π β π΄ β£ π β π}) |
27 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
β’
(LSpanβπ) =
(LSpanβπ) |
28 | 19, 27 | lspss 20461 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β LMod β§ βͺ {π
β π΄ β£ π β π} β (Baseβπ) β§ βͺ {π β π΄ β£ π β π} β βͺ
{π β π΄ β£ π β π}) β ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π}) β ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
29 | 9, 24, 26, 28 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ {π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π}) β ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π}) β ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
30 | | lpssat.u |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β π) |
31 | 10, 27, 11 | lssats 37503 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β LMod β§ π β π) β π = ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
32 | 8, 30, 31 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π = ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
33 | 32 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ {π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π}) β π = ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
34 | 10, 27, 11 | lssats 37503 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β LMod β§ π β π) β π = ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
35 | 8, 16, 34 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π = ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
36 | 35 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ {π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π}) β π = ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
37 | 29, 33, 36 | 3sstr4d 3996 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ {π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π}) β π β π) |
38 | 37 | ex 414 |
. . . . 5
β’ (π β ({π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π} β π β π)) |
39 | 7, 38 | biimtrrid 242 |
. . . 4
β’ (π β (βπ β π΄ (π β π β π β π) β π β π)) |
40 | 6, 39 | biimtrrid 242 |
. . 3
β’ (π β (βπ β π΄ Β¬ (π β π β§ Β¬ π β π) β π β π)) |
41 | 4, 40 | mtod 197 |
. 2
β’ (π β Β¬ βπ β π΄ Β¬ (π β π β§ Β¬ π β π)) |
42 | | dfrex2 3077 |
. 2
β’
(βπ β
π΄ (π β π β§ Β¬ π β π) β Β¬ βπ β π΄ Β¬ (π β π β§ Β¬ π β π)) |
43 | 41, 42 | sylibr 233 |
1
β’ (π β βπ β π΄ (π β π β§ Β¬ π β π)) |