Theorem lpssat 37027

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 30725 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpssat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lpssat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lpssat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lpssat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lpssat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lpssat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lpssat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem lpssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpssat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
2		dfpss3 4021	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇))
3	2	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 → ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇)
5		iman 402	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
6	5	ralbii 3092	. . . 4 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
7		ss2rab 4004	. . . . 5 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇))
8		lpssat.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑊 ∈ LMod)
10		lpssat.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
11		lpssat.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
12	10, 11	lsatlss 37010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
13		rabss2 4011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
14		uniss 4847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
15	8, 12, 13, 14	4syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
16		lpssat.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
17		unimax 4877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} = 𝑇)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} = 𝑇)
19		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
20	19, 10	lssss 20198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
22	18, 21	eqsstrd 3959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
23	15, 22	sstrd 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
25		uniss 4847	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
26	25	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
27		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
28	19, 27	lspss 20246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
29	9, 24, 26, 28	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
30		lpssat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
31	10, 27, 11	lssats 37026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
32	8, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
34	10, 27, 11	lssats 37026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
35	8, 16, 34	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
37	29, 33, 36	3sstr4d 3968	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑈 ⊆ 𝑇)
38	37	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → 𝑈 ⊆ 𝑇))
39	7, 38	syl5bir 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝑇))
40	6, 39	syl5bir 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝑇))
41	4, 40	mtod 197	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
42		dfrex2 3170	. 2 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
43	41, 42	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  ∪ cuni 4839  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LSAtomsclsa 36988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lsatoms 36990

This theorem is referenced by:  lrelat  37028  dihglblem6  39354  dochexmidlem8  39481