Theorem lpssat 37475

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 31305 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpssat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lpssat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lpssat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lpssat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lpssat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lpssat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lpssat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem lpssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpssat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
2		dfpss3 4046	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇))
3	2	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 → ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ⊆ 𝑇)
5		iman 402	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
6	5	ralbii 3096	. . . 4 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
7		ss2rab 4028	. . . . 5 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇))
8		lpssat.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑊 ∈ LMod)
10		lpssat.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
11		lpssat.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
12	10, 11	lsatlss 37458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
13		rabss2 4035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
14		uniss 4873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
15	8, 12, 13, 14	4syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
16		lpssat.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
17		unimax 4905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} = 𝑇)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} = 𝑇)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
20	19, 10	lssss 20397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
22	18, 21	eqsstrd 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝑆 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
23	15, 22	sstrd 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
25		uniss 4873	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
26	25	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇})
27		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
28	19, 27	lspss 20445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
29	9, 24, 26, 28	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
30		lpssat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
31	10, 27, 11	lssats 37474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
32	8, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈}))
34	10, 27, 11	lssats 37474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
35	8, 16, 34	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}))
37	29, 33, 36	3sstr4d 3991	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇}) → 𝑈 ⊆ 𝑇)
38	37	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 ⊆ 𝑇} → 𝑈 ⊆ 𝑇))
39	7, 38	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 → 𝑞 ⊆ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝑇))
40	6, 39	biimtrrid 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝑇))
41	4, 40	mtod 197	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
42		dfrex2 3076	. 2 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ 𝐴 ¬ (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
43	41, 42	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {crab 3407   ⊆ wss 3910   ⊊ wpss 3911  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6496  Basecbs 17083  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LSAtomsclsa 37436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lsatoms 37438

This theorem is referenced by:  lrelat  37476  dihglblem6  39803  dochexmidlem8  39930