Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpssat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpssat 39014
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 32382 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpssat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lpssat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lpssat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lpssat.t (𝜑𝑇𝑆)
lpssat.u (𝜑𝑈𝑆)
lpssat.l (𝜑𝑇𝑈)
Assertion
Ref Expression
lpssat (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem lpssat
StepHypRef Expression
1 lpssat.l . . . 4 (𝜑𝑇𝑈)
2 dfpss3 4089 . . . . 5 (𝑇𝑈 ↔ (𝑇𝑈 ∧ ¬ 𝑈𝑇))
32simprbi 496 . . . 4 (𝑇𝑈 → ¬ 𝑈𝑇)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑈𝑇)
5 iman 401 . . . . 5 ((𝑞𝑈𝑞𝑇) ↔ ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
65ralbii 3093 . . . 4 (∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇) ↔ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
7 ss2rab 4071 . . . . 5 ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} ↔ ∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇))
8 lpssat.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑊 ∈ LMod)
10 lpssat.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
11 lpssat.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
1210, 11lsatlss 38997 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
13 rabss2 4078 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
14 uniss 4915 . . . . . . . . . . 11 ({𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇} → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
158, 12, 13, 144syl 19 . . . . . . . . . 10 (𝜑 {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
16 lpssat.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇𝑆)
17 unimax 4944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝑆 {𝑞𝑆𝑞𝑇} = 𝑇)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 {𝑞𝑆𝑞𝑇} = 𝑇)
19 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2019, 10lssss 20934 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝑆𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
2218, 21eqsstrd 4018 . . . . . . . . . 10 (𝜑 {𝑞𝑆𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
2315, 22sstrd 3994 . . . . . . . . 9 (𝜑 {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
25 uniss 4915 . . . . . . . . 9 ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} → {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇})
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇})
27 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
2819, 27lspss 20982 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
299, 24, 26, 28syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
30 lpssat.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
3110, 27, 11lssats 39013 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
328, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
3410, 27, 11lssats 39013 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
358, 16, 34syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
3729, 33, 363sstr4d 4039 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑈𝑇)
3837ex 412 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} → 𝑈𝑇))
397, 38biimtrrid 243 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇) → 𝑈𝑇))
406, 39biimtrrid 243 . . 3 (𝜑 → (∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) → 𝑈𝑇))
414, 40mtod 198 . 2 (𝜑 → ¬ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
42 dfrex2 3073 . 2 (∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) ↔ ¬ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
4341, 42sylibr 234 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  wpss 3952   cuni 4907  cfv 6561  Basecbs 17247  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LSAtomsclsa 38975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lsatoms 38977
This theorem is referenced by:  lrelat  39015  dihglblem6  41342  dochexmidlem8  41469
  Copyright terms: Public domain W3C validator