Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssatle 38519
Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 32201 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatle.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lssatle.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lssatle.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lssatle.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
lssatle.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lssatle (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑇,𝑝   π‘ˆ,𝑝   π‘Š,𝑝
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑝)
Proof of Theorem lssatle
StepHypRef Expression
1 sstr 3990 . . . 4 ((𝑝 βŠ† 𝑇 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ)
21expcom 412 . . 3 (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
32ralrimivw 3147 . 2 (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
4 ss2rab 4068 . . 3 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
5 lssatle.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
65adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 lssatle.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
8 lssatle.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
97, 8lsatlss 38500 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
10 rabss2 4075 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† 𝑆 β†’ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
11 uniss 4920 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
125, 9, 10, 114syl 19 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
13 lssatle.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
14 unimax 4951 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
16 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1716, 7lssss 20827 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1915, 18eqsstrd 4020 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2012, 19sstrd 3992 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2120adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
22 uniss 4920 . . . . . . 7 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
2322adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
24 eqid 2728 . . . . . . 7 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
2516, 24lspss 20875 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
266, 21, 23, 25syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
2726ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})))
28 lssatle.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
297, 24, 8lssats 38516 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}))
305, 28, 29syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}))
317, 24, 8lssats 38516 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
325, 13, 31syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
3330, 32sseq12d 4015 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})))
3427, 33sylibrd 258 . . 3 (πœ‘ β†’ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
354, 34biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
363, 35impbid2 225 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {crab 3430   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4912  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  LSAtomsclsa 38478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lsatoms 38480
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  41142
  Copyright terms: Public domain W3C validator