Theorem lssatle 39187

Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 32372 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssatle.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatle.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatle.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssatle.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lssatle.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lssatle	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑇,𝑝   𝑈,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑝)

Proof of Theorem lssatle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr 3939	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑝 ⊆ 𝑈)
2	1	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
3	2	ralrimivw 3129	. 2 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
4		ss2rab 4018	. . 3 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
5		lssatle.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lssatle.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7		lssatle.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
8	6, 7	lsatlss 39168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
9		rabss2 4026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
10		uniss 4868	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
11	5, 8, 9, 10	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
12		lssatle.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
13		unimax 4897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
15		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16	15, 6	lssss 20878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
18	14, 17	eqsstrd 3965	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
19	11, 18	sstrd 3941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
20		uniss 4868	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
21		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
22	15, 21	lspss 20926	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
23	5, 19, 20, 22	syl2an3an 1424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})))
25		lssatle.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	6, 21, 7	lssats 39184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}))
27	5, 25, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}))
28	6, 21, 7	lssats 39184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
29	5, 12, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
30	27, 29	sseq12d 3964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})))
31	24, 30	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → 𝑇 ⊆ 𝑈))
32	4, 31	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝑈))
33	3, 32	impbid2 226	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  {crab 3396   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4860  ‘cfv 6489  Basecbs 17127  LModclmod 20802  LSubSpclss 20873  LSpanclspn 20913  LSAtomsclsa 39146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mgp 20067  df-ur 20108  df-ring 20161  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-lsatoms 39148

This theorem is referenced by:  mapdordlem2  41809