Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssatle 38397
Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 32128 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatle.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lssatle.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lssatle.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lssatle.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
lssatle.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lssatle (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑇,𝑝   π‘ˆ,𝑝   π‘Š,𝑝
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑝)
Proof of Theorem lssatle
StepHypRef Expression
1 sstr 3985 . . . 4 ((𝑝 βŠ† 𝑇 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ)
21expcom 413 . . 3 (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
32ralrimivw 3144 . 2 (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
4 ss2rab 4063 . . 3 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
5 lssatle.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
65adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 lssatle.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
8 lssatle.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
97, 8lsatlss 38378 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
10 rabss2 4070 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† 𝑆 β†’ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
11 uniss 4910 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
125, 9, 10, 114syl 19 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
13 lssatle.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
14 unimax 4941 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
16 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1716, 7lssss 20780 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1915, 18eqsstrd 4015 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2012, 19sstrd 3987 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2120adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
22 uniss 4910 . . . . . . 7 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
2322adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
24 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
2516, 24lspss 20828 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
266, 21, 23, 25syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
2726ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})))
28 lssatle.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
297, 24, 8lssats 38394 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}))
305, 28, 29syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}))
317, 24, 8lssats 38394 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
325, 13, 31syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
3330, 32sseq12d 4010 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})))
3427, 33sylibrd 259 . . 3 (πœ‘ β†’ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
354, 34biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
363, 35impbid2 225 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902  β€˜cfv 6536  Basecbs 17150  LModclmod 20703  LSubSpclss 20775  LSpanclspn 20815  LSAtomsclsa 38356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lsatoms 38358
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  41020
  Copyright terms: Public domain W3C validator