Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | sstr 3957 |
. . . 4
β’ ((π β π β§ π β π) β π β π) |
2 | 1 | expcom 415 |
. . 3
β’ (π β π β (π β π β π β π)) |
3 | 2 | ralrimivw 3148 |
. 2
β’ (π β π β βπ β π΄ (π β π β π β π)) |
4 | | ss2rab 4033 |
. . 3
β’ ({π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π} β βπ β π΄ (π β π β π β π)) |
5 | | lssatle.w |
. . . . . . 7
β’ (π β π β LMod) |
6 | 5 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ {π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π}) β π β LMod) |
7 | | lssatle.s |
. . . . . . . . . 10
β’ π = (LSubSpβπ) |
8 | | lssatle.a |
. . . . . . . . . 10
β’ π΄ = (LSAtomsβπ) |
9 | 7, 8 | lsatlss 37487 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β LMod β π΄ β π) |
10 | | rabss2 4040 |
. . . . . . . . 9
β’ (π΄ β π β {π β π΄ β£ π β π} β {π β π β£ π β π}) |
11 | | uniss 4878 |
. . . . . . . . 9
β’ ({π β π΄ β£ π β π} β {π β π β£ π β π} β βͺ {π β π΄ β£ π β π} β βͺ
{π β π β£ π β π}) |
12 | 5, 9, 10, 11 | 4syl 19 |
. . . . . . . 8
β’ (π β βͺ {π
β π΄ β£ π β π} β βͺ
{π β π β£ π β π}) |
13 | | lssatle.u |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β π) |
14 | | unimax 4910 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β βͺ {π β π β£ π β π} = π) |
15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β βͺ {π
β π β£ π β π} = π) |
16 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(Baseβπ) =
(Baseβπ) |
17 | 16, 7 | lssss 20413 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β π β (Baseβπ)) |
18 | 13, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β (Baseβπ)) |
19 | 15, 18 | eqsstrd 3987 |
. . . . . . . 8
β’ (π β βͺ {π
β π β£ π β π} β (Baseβπ)) |
20 | 12, 19 | sstrd 3959 |
. . . . . . 7
β’ (π β βͺ {π
β π΄ β£ π β π} β (Baseβπ)) |
21 | 20 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ {π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π}) β βͺ
{π β π΄ β£ π β π} β (Baseβπ)) |
22 | | uniss 4878 |
. . . . . . 7
β’ ({π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π} β βͺ {π β π΄ β£ π β π} β βͺ
{π β π΄ β£ π β π}) |
23 | 22 | adantl 483 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ {π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π}) β βͺ
{π β π΄ β£ π β π} β βͺ
{π β π΄ β£ π β π}) |
24 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(LSpanβπ) =
(LSpanβπ) |
25 | 16, 24 | lspss 20461 |
. . . . . 6
β’ ((π β LMod β§ βͺ {π
β π΄ β£ π β π} β (Baseβπ) β§ βͺ {π β π΄ β£ π β π} β βͺ
{π β π΄ β£ π β π}) β ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π}) β ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
26 | 6, 21, 23, 25 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((π β§ {π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π}) β ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π}) β ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
27 | 26 | ex 414 |
. . . 4
β’ (π β ({π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π} β ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π}) β ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π}))) |
28 | | lssatle.t |
. . . . . 6
β’ (π β π β π) |
29 | 7, 24, 8 | lssats 37503 |
. . . . . 6
β’ ((π β LMod β§ π β π) β π = ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
30 | 5, 28, 29 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (π β π = ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
31 | 7, 24, 8 | lssats 37503 |
. . . . . 6
β’ ((π β LMod β§ π β π) β π = ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
32 | 5, 13, 31 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (π β π = ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π})) |
33 | 30, 32 | sseq12d 3982 |
. . . 4
β’ (π β (π β π β ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π}) β ((LSpanβπ)ββͺ {π β π΄ β£ π β π}))) |
34 | 27, 33 | sylibrd 259 |
. . 3
β’ (π β ({π β π΄ β£ π β π} β {π β π΄ β£ π β π} β π β π)) |
35 | 4, 34 | biimtrrid 242 |
. 2
β’ (π β (βπ β π΄ (π β π β π β π) β π β π)) |
36 | 3, 35 | impbid2 225 |
1
β’ (π β (π β π β βπ β π΄ (π β π β π β π))) |