Theorem lssatle 39789

Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 32723 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssatle.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatle.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatle.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssatle.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lssatle.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lssatle	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑇,𝑝   𝑈,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑝)

Proof of Theorem lssatle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr 3945	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑝 ⊆ 𝑈)
2	1	expcom 418	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
3	2	ralrimivw 3161	. 2 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
4		ss2rab 4023	. . 3 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
5		lssatle.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lssatle.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7		lssatle.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
8	6, 7	lsatlss 39770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
9		rabss2 4031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
10		uniss 4880	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
11	5, 8, 9, 10	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
12		lssatle.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
13		unimax 4910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
15		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16	15, 6	lssss 21057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
17	12, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
18	14, 17	eqsstrd 3971	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
19	11, 18	sstrd 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
20		uniss 4880	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
21		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
22	15, 21	lspss 21105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
23	5, 19, 20, 22	syl2an3an 1449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
24	23	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})))
25		lssatle.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	6, 21, 7	lssats 39786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}))
27	5, 25, 26	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}))
28	6, 21, 7	lssats 39786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
29	5, 12, 28	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
30	27, 29	sseq12d 3970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})))
31	24, 30	sylibrd 262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → 𝑇 ⊆ 𝑈))
32	4, 31	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝑈))
33	3, 32	impbid2 229	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052  LSpanclspn 21092  LSAtomsclsa 39748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lsatoms 39750

This theorem is referenced by:  mapdordlem2  42411