Theorem lssatle 39674

Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 32660 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssatle.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatle.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatle.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssatle.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lssatle.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lssatle	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑇,𝑝   𝑈,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑝)

Proof of Theorem lssatle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr 3953	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑝 ⊆ 𝑈)
2	1	expcom 418	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
3	2	ralrimivw 3167	. 2 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
4		ss2rab 4031	. . 3 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
5		lssatle.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lssatle.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7		lssatle.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
8	6, 7	lsatlss 39655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
9		rabss2 4039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
10		uniss 4881	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
11	5, 8, 9, 10	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
12		lssatle.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
13		unimax 4911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
15		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16	15, 6	lssss 21031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
17	12, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
18	14, 17	eqsstrd 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
19	11, 18	sstrd 3955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
20		uniss 4881	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
21		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
22	15, 21	lspss 21079	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
23	5, 19, 20, 22	syl2an3an 1447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
24	23	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})))
25		lssatle.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	6, 21, 7	lssats 39671	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}))
27	5, 25, 26	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}))
28	6, 21, 7	lssats 39671	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
29	5, 12, 28	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
30	27, 29	sseq12d 3978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})))
31	24, 30	sylibrd 262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → 𝑇 ⊆ 𝑈))
32	4, 31	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝑈))
33	3, 32	impbid2 229	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423   ⊆ wss 3913  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6533  Basecbs 17265  LModclmod 20955  LSubSpclss 21026  LSpanclspn 21066  LSAtomsclsa 39633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-lsatoms 39635

This theorem is referenced by:  mapdordlem2  42296