Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssatle 37873
Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 31611 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatle.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lssatle.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lssatle.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lssatle.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
lssatle.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lssatle (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑇,𝑝   π‘ˆ,𝑝   π‘Š,𝑝
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑝)
Proof of Theorem lssatle
StepHypRef Expression
1 sstr 3989 . . . 4 ((𝑝 βŠ† 𝑇 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ)
21expcom 414 . . 3 (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
32ralrimivw 3150 . 2 (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
4 ss2rab 4067 . . 3 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
5 lssatle.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
65adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 lssatle.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
8 lssatle.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
97, 8lsatlss 37854 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
10 rabss2 4074 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† 𝑆 β†’ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
11 uniss 4915 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
125, 9, 10, 114syl 19 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
13 lssatle.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
14 unimax 4947 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1716, 7lssss 20539 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1915, 18eqsstrd 4019 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2012, 19sstrd 3991 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2120adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
22 uniss 4915 . . . . . . 7 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
2322adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
24 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
2516, 24lspss 20587 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
266, 21, 23, 25syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
2726ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})))
28 lssatle.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
297, 24, 8lssats 37870 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}))
305, 28, 29syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}))
317, 24, 8lssats 37870 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
325, 13, 31syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
3330, 32sseq12d 4014 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})))
3427, 33sylibrd 258 . . 3 (πœ‘ β†’ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
354, 34biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
363, 35impbid2 225 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LSAtomsclsa 37832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lsatoms 37834
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  40496
  Copyright terms: Public domain W3C validator