Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssatle 38715
Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 32307 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatle.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatle.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatle.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssatle.t (𝜑𝑇𝑆)
lssatle.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lssatle (𝜑 → (𝑇𝑈 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑇,𝑝   𝑈,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑝)

Proof of Theorem lssatle
StepHypRef Expression
1 sstr 3988 . . . 4 ((𝑝𝑇𝑇𝑈) → 𝑝𝑈)
21expcom 412 . . 3 (𝑇𝑈 → (𝑝𝑇𝑝𝑈))
32ralrimivw 3140 . 2 (𝑇𝑈 → ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈))
4 ss2rab 4067 . . 3 ({𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈))
5 lssatle.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
65adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑊 ∈ LMod)
7 lssatle.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8 lssatle.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
97, 8lsatlss 38696 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
10 rabss2 4074 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑆 → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
11 uniss 4923 . . . . . . . . 9 ({𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈} → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
125, 9, 10, 114syl 19 . . . . . . . 8 (𝜑 {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
13 lssatle.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
14 unimax 4954 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆 {𝑝𝑆𝑝𝑈} = 𝑈)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 {𝑝𝑆𝑝𝑈} = 𝑈)
16 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1716, 7lssss 20915 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1915, 18eqsstrd 4018 . . . . . . . 8 (𝜑 {𝑝𝑆𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2012, 19sstrd 3990 . . . . . . 7 (𝜑 {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2120adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
22 uniss 4923 . . . . . . 7 ({𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈})
2322adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈})
24 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
2516, 24lspss 20963 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
266, 21, 23, 25syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑 ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
2726ex 411 . . . 4 (𝜑 → ({𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈})))
28 lssatle.t . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑆)
297, 24, 8lssats 38712 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}))
305, 28, 29syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}))
317, 24, 8lssats 38712 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
325, 13, 31syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
3330, 32sseq12d 4013 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈})))
3427, 33sylibrd 258 . . 3 (𝜑 → ({𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → 𝑇𝑈))
354, 34biimtrrid 242 . 2 (𝜑 → (∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈) → 𝑇𝑈))
363, 35impbid2 225 1 (𝜑 → (𝑇𝑈 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3419  wss 3947   cuni 4915  cfv 6556  Basecbs 17215  LModclmod 20838  LSubSpclss 20910  LSpanclspn 20950  LSAtomsclsa 38674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-plusg 17281  df-0g 17458  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-sbg 18935  df-mgp 20120  df-ur 20167  df-ring 20220  df-lmod 20840  df-lss 20911  df-lsp 20951  df-lsatoms 38676
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  41338
  Copyright terms: Public domain W3C validator