Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssatle 36037
Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 30081 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatle.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatle.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatle.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssatle.t (𝜑𝑇𝑆)
lssatle.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lssatle (𝜑 → (𝑇𝑈 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑇,𝑝   𝑈,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑝)

Proof of Theorem lssatle
StepHypRef Expression
1 sstr 3979 . . . 4 ((𝑝𝑇𝑇𝑈) → 𝑝𝑈)
21expcom 414 . . 3 (𝑇𝑈 → (𝑝𝑇𝑝𝑈))
32ralrimivw 3188 . 2 (𝑇𝑈 → ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈))
4 ss2rab 4051 . . 3 ({𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈))
5 lssatle.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑊 ∈ LMod)
7 lssatle.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8 lssatle.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
97, 8lsatlss 36018 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
10 rabss2 4058 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑆 → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
11 uniss 4858 . . . . . . . . 9 ({𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈} → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
125, 9, 10, 114syl 19 . . . . . . . 8 (𝜑 {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
13 lssatle.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
14 unimax 4872 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆 {𝑝𝑆𝑝𝑈} = 𝑈)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 {𝑝𝑆𝑝𝑈} = 𝑈)
16 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1716, 7lssss 19644 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1915, 18eqsstrd 4009 . . . . . . . 8 (𝜑 {𝑝𝑆𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2012, 19sstrd 3981 . . . . . . 7 (𝜑 {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2120adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
22 uniss 4858 . . . . . . 7 ({𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈})
2322adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈})
24 eqid 2826 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
2516, 24lspss 19692 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
266, 21, 23, 25syl3anc 1365 . . . . 5 ((𝜑 ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
2726ex 413 . . . 4 (𝜑 → ({𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈})))
28 lssatle.t . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑆)
297, 24, 8lssats 36034 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}))
305, 28, 29syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}))
317, 24, 8lssats 36034 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
325, 13, 31syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
3330, 32sseq12d 4004 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈})))
3427, 33sylibrd 260 . . 3 (𝜑 → ({𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → 𝑇𝑈))
354, 34syl5bir 244 . 2 (𝜑 → (∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈) → 𝑇𝑈))
363, 35impbid2 227 1 (𝜑 → (𝑇𝑈 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  {crab 3147  wss 3940   cuni 4837  cfv 6354  Basecbs 16478  LModclmod 19570  LSubSpclss 19639  LSpanclspn 19679  LSAtomsclsa 35996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-lmod 19572  df-lss 19640  df-lsp 19680  df-lsatoms 35998
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  38659
  Copyright terms: Public domain W3C validator