Theorem lssatle 39475

Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 32457 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssatle.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatle.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatle.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssatle.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lssatle.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lssatle	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑇,𝑝   𝑈,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑝)

Proof of Theorem lssatle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr 3931	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑝 ⊆ 𝑈)
2	1	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
3	2	ralrimivw 3134	. 2 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
4		ss2rab 4010	. . 3 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
5		lssatle.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lssatle.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7		lssatle.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
8	6, 7	lsatlss 39456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
9		rabss2 4018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
10		uniss 4859	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
11	5, 8, 9, 10	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
12		lssatle.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
13		unimax 4888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
15		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16	15, 6	lssss 20922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
18	14, 17	eqsstrd 3957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
19	11, 18	sstrd 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
20		uniss 4859	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
22	15, 21	lspss 20970	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
23	5, 19, 20, 22	syl2an3an 1425	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})))
25		lssatle.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	6, 21, 7	lssats 39472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}))
27	5, 25, 26	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}))
28	6, 21, 7	lssats 39472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
29	5, 12, 28	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
30	27, 29	sseq12d 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})))
31	24, 30	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑇} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → 𝑇 ⊆ 𝑈))
32	4, 31	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝑈))
33	3, 32	impbid2 226	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑇 → 𝑝 ⊆ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917  LSpanclspn 20957  LSAtomsclsa 39434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lsatoms 39436

This theorem is referenced by:  mapdordlem2  42097