Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssatle 37506
Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 31355 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatle.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lssatle.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lssatle.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lssatle.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
lssatle.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lssatle (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑇,𝑝   π‘ˆ,𝑝   π‘Š,𝑝
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑝)

Proof of Theorem lssatle
StepHypRef Expression
1 sstr 3957 . . . 4 ((𝑝 βŠ† 𝑇 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ)
21expcom 415 . . 3 (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
32ralrimivw 3148 . 2 (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
4 ss2rab 4033 . . 3 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ))
5 lssatle.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
65adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 lssatle.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
8 lssatle.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
97, 8lsatlss 37487 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
10 rabss2 4040 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† 𝑆 β†’ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
11 uniss 4878 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
125, 9, 10, 114syl 19 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
13 lssatle.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
14 unimax 4910 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
16 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1716, 7lssss 20413 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1915, 18eqsstrd 3987 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2012, 19sstrd 3959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2120adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
22 uniss 4878 . . . . . . 7 ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
2322adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
2516, 24lspss 20461 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
266, 21, 23, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
2726ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})))
28 lssatle.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
297, 24, 8lssats 37503 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}))
305, 28, 29syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}))
317, 24, 8lssats 37503 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
325, 13, 31syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ}))
3330, 32sseq12d 3982 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ})))
3427, 33sylibrd 259 . . 3 (πœ‘ β†’ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† 𝑇} βŠ† {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 βŠ† π‘ˆ} β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
354, 34biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
363, 35impbid2 225 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 βŠ† 𝑇 β†’ 𝑝 βŠ† π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410   βŠ† wss 3915  βˆͺ cuni 4870  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  LSAtomsclsa 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lsatoms 37467
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  40129
  Copyright terms: Public domain W3C validator