Theorem ss2rabdv 4003

Description: Deduction of restricted abstraction subclass from implication. (Contributed by NM, 30-May-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
ss2rabdv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ss2rabdv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒})

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ss2rabdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss2rabdv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))
2	1	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 → 𝜒))
3		ss2rab 3998	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 → 𝜒))
4	2, 3	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  {crab 3110   ⊆ wss 3881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rab 3115  df-v 3443  df-in 3888  df-ss 3898

This theorem is referenced by:  rabssrabd  4009  sess1  5487  suppssov1  7845  suppssfv  7849  harword  9011  mrcss  16879  ablfac1b  19185  mptscmfsupp0  19692  lspss  19749  dsmmacl  20430  dsmmsubg  20432  dsmmlss  20433  aspss  20563  scmatdmat  21120  clsss  21659  lfinpfin  22129  qustgpopn  22725  metss2lem  23118  equivcau  23904  rrxmvallem  24008  ovolsslem  24088  itg2monolem1  24354  lgamucov  25623  sqff1o  25767  musum  25776  cusgrfilem1  27245  clwlknf1oclwwlknlem3  27868  rmfsupp2  30917  locfinreflem  31193  omsmon  31666  orvclteinc  31843  fin2solem  35043  poimirlem26  35083  poimirlem27  35084  cnambfre  35105  pclssN  37190  2polssN  37211  dihglblem3N  38591  dochss  38661  mapdordlem2  38933  nzss  41021  rmsuppss  44772  mndpsuppss  44773  scmsuppss  44774