Theorem atlatle 38190

Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat3 31624 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlatle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlatle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlatle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlatle	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem atlatle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl13 1251	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atlpos 38171	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
4		atlatle.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		atlatle.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 38159	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
7	6	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
8		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		atlatle.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	4, 10	postr 18273	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑝 ≤ 𝑌))
12	3, 7, 8, 9, 11	syl13anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑝 ≤ 𝑌))
13	12	expcomd 418	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))
14	13	ralrimdva 3155	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))
15		ss2rab 4069	. . 3 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌))
16		simpl12 1250	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) → 𝐾 ∈ CLat)
17		ssrab2 4078	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌} ⊆ 𝐴
18	4, 5	atssbase 38160	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
19	17, 18	sstri 3992	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌} ⊆ 𝐵
20		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
21	4, 10, 20	lubss 18466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) ≤ ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}))
22	19, 21	mp3an2 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) ≤ ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}))
23	16, 22	sylancom 589	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) ≤ ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}))
24	23	ex 414	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌} → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) ≤ ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌})))
25	4, 10, 20, 5	atlatmstc 38189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) = 𝑋)
26	25	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) = 𝑋)
27	4, 10, 20, 5	atlatmstc 38189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) = 𝑌)
28	27	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) = 𝑌)
29	26, 28	breq12d 5162	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) ≤ ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
30	24, 29	sylibd 238	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌} → 𝑋 ≤ 𝑌))
31	15, 30	biimtrrid 242	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌))
32	14, 31	impbid 211	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  {crab 3433   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  Posetcpo 18260  lubclub 18262  CLatccla 18451  OMLcoml 38045  Atomscatm 38133  AtLatcal 38134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168

This theorem is referenced by:  atlrelat1  38191  hlatle  38269