Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlatle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlatle 36325
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat3 30064 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlatle.l = (le‘𝐾)
atlatle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlatle (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem atlatle
StepHypRef Expression
1 simpl13 1244 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlpos 36306 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
4 atlatle.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atlatle.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 36294 . . . . . 6 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
76adantl 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
8 simpl2 1186 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
9 simpl3 1187 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑌𝐵)
10 atlatle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
114, 10postr 17555 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑝 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑝 𝑌))
123, 7, 8, 9, 11syl13anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑝 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑝 𝑌))
1312expcomd 417 . . 3 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 𝑌 → (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
1413ralrimdva 3193 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 → ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
15 ss2rab 4050 . . 3 ({𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
16 simpl12 1243 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → 𝐾 ∈ CLat)
17 ssrab2 4059 . . . . . . . 8 {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ⊆ 𝐴
184, 5atssbase 36295 . . . . . . . 8 𝐴𝐵
1917, 18sstri 3979 . . . . . . 7 {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ⊆ 𝐵
20 eqid 2825 . . . . . . . 8 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
214, 10, 20lubss 17723 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}))
2219, 21mp3an2 1442 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}))
2316, 22sylancom 588 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}))
2423ex 413 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌})))
254, 10, 20, 5atlatmstc 36324 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) = 𝑋)
26253adant3 1126 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) = 𝑋)
274, 10, 20, 5atlatmstc 36324 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑌𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}) = 𝑌)
28273adant2 1125 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}) = 𝑌)
2926, 28breq12d 5075 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}) ↔ 𝑋 𝑌))
3024, 29sylibd 240 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} → 𝑋 𝑌))
3115, 30syl5bir 244 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → 𝑋 𝑌))
3214, 31impbid 213 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  {crab 3146  wss 3939   class class class wbr 5062  cfv 6351  Basecbs 16475  lecple 16564  Posetcpo 17542  lubclub 17544  CLatccla 17709  OMLcoml 36180  Atomscatm 36268  AtLatcal 36269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36181  df-ol 36183  df-oml 36184  df-covers 36271  df-ats 36272  df-atl 36303
This theorem is referenced by:  atlrelat1  36326  hlatle  36403
  Copyright terms: Public domain W3C validator