Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlatle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlatle 38656
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat3 32058 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlatle.l = (le‘𝐾)
atlatle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlatle (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem atlatle
StepHypRef Expression
1 simpl13 1249 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlpos 38637 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
4 atlatle.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atlatle.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 38625 . . . . . 6 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
76adantl 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
8 simpl2 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
9 simpl3 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑌𝐵)
10 atlatle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
114, 10postr 18283 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑝 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑝 𝑌))
123, 7, 8, 9, 11syl13anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑝 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑝 𝑌))
1312expcomd 416 . . 3 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 𝑌 → (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
1413ralrimdva 3153 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 → ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
15 ss2rab 4068 . . 3 ({𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
16 simpl12 1248 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → 𝐾 ∈ CLat)
17 ssrab2 4077 . . . . . . . 8 {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ⊆ 𝐴
184, 5atssbase 38626 . . . . . . . 8 𝐴𝐵
1917, 18sstri 3991 . . . . . . 7 {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ⊆ 𝐵
20 eqid 2731 . . . . . . . 8 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
214, 10, 20lubss 18476 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}))
2219, 21mp3an2 1448 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}))
2316, 22sylancom 587 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}))
2423ex 412 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌})))
254, 10, 20, 5atlatmstc 38655 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) = 𝑋)
26253adant3 1131 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) = 𝑋)
274, 10, 20, 5atlatmstc 38655 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑌𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}) = 𝑌)
28273adant2 1130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}) = 𝑌)
2926, 28breq12d 5161 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}) ↔ 𝑋 𝑌))
3024, 29sylibd 238 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} → 𝑋 𝑌))
3115, 30biimtrrid 242 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → 𝑋 𝑌))
3214, 31impbid 211 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  {crab 3431  wss 3948   class class class wbr 5148  cfv 6543  Basecbs 17151  lecple 17211  Posetcpo 18270  lubclub 18272  CLatccla 18461  OMLcoml 38511  Atomscatm 38599  AtLatcal 38600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38512  df-ol 38514  df-oml 38515  df-covers 38602  df-ats 38603  df-atl 38634
This theorem is referenced by:  atlrelat1  38657  hlatle  38735
  Copyright terms: Public domain W3C validator