Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlatle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlatle 39301
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat3 32399 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlatle.l = (le‘𝐾)
atlatle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlatle (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem atlatle
StepHypRef Expression
1 simpl13 1249 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlpos 39282 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
4 atlatle.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atlatle.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 39270 . . . . . 6 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
76adantl 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
8 simpl2 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
9 simpl3 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑌𝐵)
10 atlatle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
114, 10postr 18377 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑝 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑝 𝑌))
123, 7, 8, 9, 11syl13anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑝 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑝 𝑌))
1312expcomd 416 . . 3 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 𝑌 → (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
1413ralrimdva 3151 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 → ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
15 ss2rab 4080 . . 3 ({𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
16 simpl12 1248 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → 𝐾 ∈ CLat)
17 ssrab2 4089 . . . . . . . 8 {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ⊆ 𝐴
184, 5atssbase 39271 . . . . . . . 8 𝐴𝐵
1917, 18sstri 4004 . . . . . . 7 {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ⊆ 𝐵
20 eqid 2734 . . . . . . . 8 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
214, 10, 20lubss 18570 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}))
2219, 21mp3an2 1448 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}))
2316, 22sylancom 588 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}))
2423ex 412 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌})))
254, 10, 20, 5atlatmstc 39300 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) = 𝑋)
26253adant3 1131 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) = 𝑋)
274, 10, 20, 5atlatmstc 39300 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑌𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}) = 𝑌)
28273adant2 1130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}) = 𝑌)
2926, 28breq12d 5160 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}) ↔ 𝑋 𝑌))
3024, 29sylibd 239 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} → 𝑋 𝑌))
3115, 30biimtrrid 243 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → 𝑋 𝑌))
3214, 31impbid 212 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {crab 3432  wss 3962   class class class wbr 5147  cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  Posetcpo 18364  lubclub 18366  CLatccla 18555  OMLcoml 39156  Atomscatm 39244  AtLatcal 39245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279
This theorem is referenced by:  atlrelat1  39302  hlatle  39380
  Copyright terms: Public domain W3C validator