Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlatle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlatle 35396
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat3 29786 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlatle.l = (le‘𝐾)
atlatle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlatle (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem atlatle
StepHypRef Expression
1 simpl13 1339 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlpos 35377 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
4 atlatle.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atlatle.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 35365 . . . . . 6 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
76adantl 475 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
8 simpl2 1250 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
9 simpl3 1252 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑌𝐵)
10 atlatle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
114, 10postr 17307 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑝 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑝 𝑌))
123, 7, 8, 9, 11syl13anc 1497 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑝 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑝 𝑌))
1312expcomd 408 . . 3 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 𝑌 → (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
1413ralrimdva 3179 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 → ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
15 ss2rab 3904 . . 3 ({𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
16 simpl12 1337 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → 𝐾 ∈ CLat)
17 ssrab2 3913 . . . . . . . 8 {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ⊆ 𝐴
184, 5atssbase 35366 . . . . . . . 8 𝐴𝐵
1917, 18sstri 3837 . . . . . . 7 {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ⊆ 𝐵
20 eqid 2826 . . . . . . . 8 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
214, 10, 20lubss 17475 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}))
2219, 21mp3an2 1579 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}))
2316, 22sylancom 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ {𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}))
2423ex 403 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌})))
254, 10, 20, 5atlatmstc 35395 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) = 𝑋)
26253adant3 1168 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) = 𝑋)
274, 10, 20, 5atlatmstc 35395 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑌𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}) = 𝑌)
28273adant2 1167 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}) = 𝑌)
2926, 28breq12d 4887 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑋}) ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝 𝑌}) ↔ 𝑋 𝑌))
3024, 29sylibd 231 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({𝑝𝐴𝑝 𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝 𝑌} → 𝑋 𝑌))
3115, 30syl5bir 235 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → 𝑋 𝑌))
3214, 31impbid 204 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3118  {crab 3122  wss 3799   class class class wbr 4874  cfv 6124  Basecbs 16223  lecple 16313  Posetcpo 17294  lubclub 17296  CLatccla 17461  OMLcoml 35251  Atomscatm 35339  AtLatcal 35340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-lat 17400  df-clat 17462  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374
This theorem is referenced by:  atlrelat1  35397  hlatle  35474
  Copyright terms: Public domain W3C validator