Theorem atlatle 38178

Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat3 31611 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlatle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlatle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlatle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlatle	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem atlatle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl13 1250	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atlpos 38159	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
4		atlatle.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		atlatle.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 38147	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
7	6	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
8		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		atlatle.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	4, 10	postr 18269	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑝 ≤ 𝑌))
12	3, 7, 8, 9, 11	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑝 ≤ 𝑌))
13	12	expcomd 417	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))
14	13	ralrimdva 3154	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))
15		ss2rab 4067	. . 3 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌))
16		simpl12 1249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) → 𝐾 ∈ CLat)
17		ssrab2 4076	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌} ⊆ 𝐴
18	4, 5	atssbase 38148	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
19	17, 18	sstri 3990	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌} ⊆ 𝐵
20		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
21	4, 10, 20	lubss 18462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) ≤ ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}))
22	19, 21	mp3an2 1449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) ≤ ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}))
23	16, 22	sylancom 588	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) ≤ ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}))
24	23	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌} → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) ≤ ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌})))
25	4, 10, 20, 5	atlatmstc 38177	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) = 𝑋)
26	25	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) = 𝑋)
27	4, 10, 20, 5	atlatmstc 38177	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) = 𝑌)
28	27	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) = 𝑌)
29	26, 28	breq12d 5160	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋}) ≤ ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌}) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
30	24, 29	sylibd 238	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ≤ 𝑌} → 𝑋 ≤ 𝑌))
31	15, 30	biimtrrid 242	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌))
32	14, 31	impbid 211	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  {crab 3432   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  Posetcpo 18256  lubclub 18258  CLatccla 18447  OMLcoml 38033  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156

This theorem is referenced by:  atlrelat1  38179  hlatle  38257