Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxyelqirrOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxyelqirrOLD 41635
Description: Obsolete version of rmxyelqirr 41634 as of 23-Dec-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rmxyelqirrOLD ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))})
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑐,𝑑   𝑁,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑐,𝑑)

Proof of Theorem rmxyelqirrOLD
StepHypRef Expression
1 rmspecnonsq 41631 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
21adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
3 pell14qrval 41572 . . . 4 (((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (Pell14QRβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) = {π‘Ž ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ (π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑑↑2))) = 1)})
42, 3syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (Pell14QRβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) = {π‘Ž ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ (π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑑↑2))) = 1)})
5 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑑↑2))) = 1) β†’ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)))
65reximi 3085 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ (π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑑↑2))) = 1) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)))
76reximi 3085 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ (π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑑↑2))) = 1) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)))
87rgenw 3066 . . . . . . 7 βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ (π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑑↑2))) = 1) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)))
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ (π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑑↑2))) = 1) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))))
10 ss2rab 4068 . . . . . 6 ({π‘Ž ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ (π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑑↑2))) = 1)} βŠ† {π‘Ž ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))} ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ (π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑑↑2))) = 1) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))))
119, 10sylibr 233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ {π‘Ž ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ (π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑑↑2))) = 1)} βŠ† {π‘Ž ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))})
12 ssv 4006 . . . . . 6 ℝ βŠ† V
13 rabss2 4075 . . . . . 6 (ℝ βŠ† V β†’ {π‘Ž ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))} βŠ† {π‘Ž ∈ V ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))})
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 {π‘Ž ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))} βŠ† {π‘Ž ∈ V ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))}
1511, 14sstrdi 3994 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ {π‘Ž ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ (π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑑↑2))) = 1)} βŠ† {π‘Ž ∈ V ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))})
16 rabab 3503 . . . 4 {π‘Ž ∈ V ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))} = {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))}
1715, 16sseqtrdi 4032 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ {π‘Ž ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ (π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑑↑2))) = 1)} βŠ† {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))})
184, 17eqsstrd 4020 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (Pell14QRβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) βŠ† {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))})
19 simpr 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 rmspecfund 41633 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) = (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))))
2120adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) = (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))))
2221eqcomd 2739 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) = (PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))
2322oveq1d 7421 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑𝑁))
24 oveq2 7414 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))β†‘π‘Ž) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑𝑁))
2524rspceeqv 3633 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑𝑁)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))β†‘π‘Ž))
2619, 23, 25syl2anc 585 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))β†‘π‘Ž))
27 pellfund14b 41623 . . . 4 (((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) ∈ (Pell14QRβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))β†‘π‘Ž)))
282, 27syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) ∈ (Pell14QRβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))β†‘π‘Ž)))
2926, 28mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) ∈ (Pell14QRβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))
3018, 29sseldd 3983 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘‘ ∈ β„€ π‘Ž = (𝑐 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑑))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„cr 11106  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   βˆ’ cmin 11441  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  β†‘cexp 14024  βˆšcsqrt 15177  β—»NNcsquarenn 41560  Pell14QRcpell14qr 41563  PellFundcpellfund 41564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-numer 16668  df-denom 16669  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-squarenn 41565  df-pell1qr 41566  df-pell14qr 41567  df-pell1234qr 41568  df-pellfund 41569
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator