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Mathbox for Stefan O'Rear |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > rmxyelqirrOLD | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Obsolete version of rmxyelqirr 41136 as of 23-Dec-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
rmxyelqirrOLD | ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))}) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rmspecnonsq 41133 | . . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN)) | |
2 | 1 | adantr 482 | . . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN)) |
3 | pell14qrval 41074 | . . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) = {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1)}) | |
4 | 2, 3 | syl 17 | . . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) = {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1)}) |
5 | simpl 484 | . . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1) → 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))) | |
6 | 5 | reximi 3086 | . . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))) |
7 | 6 | reximi 3086 | . . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))) |
8 | 7 | rgenw 3067 | . . . . . . 7 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))) |
9 | 8 | a1i 11 | . . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑎 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)))) |
10 | ss2rab 4027 | . . . . . 6 ⊢ ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1)} ⊆ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))} ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)))) | |
11 | 9, 10 | sylibr 233 | . . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1)} ⊆ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))}) |
12 | ssv 3967 | . . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ V | |
13 | rabss2 4034 | . . . . . 6 ⊢ (ℝ ⊆ V → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))} ⊆ {𝑎 ∈ V ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))}) | |
14 | 12, 13 | ax-mp 5 | . . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))} ⊆ {𝑎 ∈ V ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))} |
15 | 11, 14 | sstrdi 3955 | . . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1)} ⊆ {𝑎 ∈ V ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))}) |
16 | rabab 3472 | . . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ V ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))} = {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))} | |
17 | 15, 16 | sseqtrdi 3993 | . . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1)} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))}) |
18 | 4, 17 | eqsstrd 3981 | . 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))}) |
19 | simpr 486 | . . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ) | |
20 | rmspecfund 41135 | . . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) | |
21 | 20 | adantr 482 | . . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) |
22 | 21 | eqcomd 2744 | . . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (PellFund‘((𝐴↑2) − 1))) |
23 | 22 | oveq1d 7367 | . . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑁)) |
24 | oveq2 7360 | . . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑎) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑁)) | |
25 | 24 | rspceeqv 3594 | . . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑁)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑎)) |
26 | 19, 23, 25 | syl2anc 585 | . . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑎)) |
27 | pellfund14b 41125 | . . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑎))) | |
28 | 2, 27 | syl 17 | . . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑎))) |
29 | 26, 28 | mpbird 257 | . 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1))) |
30 | 18, 29 | sseldd 3944 | 1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))}) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 {cab 2715 ∀wral 3063 ∃wrex 3072 {crab 3406 Vcvv 3444 ∖ cdif 3906 ⊆ wss 3909 ‘cfv 6494 (class class class)co 7352 ℝcr 11009 1c1 11011 + caddc 11013 · cmul 11015 − cmin 11344 ℕcn 12112 2c2 12167 ℕ0cn0 12372 ℤcz 12458 ℤ≥cuz 12722 ↑cexp 13922 √csqrt 15078 ◻NNcsquarenn 41062 Pell14QRcpell14qr 41065 PellFundcpellfund 41066 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2709 ax-rep 5241 ax-sep 5255 ax-nul 5262 ax-pow 5319 ax-pr 5383 ax-un 7665 ax-inf2 9536 ax-cnex 11066 ax-resscn 11067 ax-1cn 11068 ax-icn 11069 ax-addcl 11070 ax-addrcl 11071 ax-mulcl 11072 ax-mulrcl 11073 ax-mulcom 11074 ax-addass 11075 ax-mulass 11076 ax-distr 11077 ax-i2m1 11078 ax-1ne0 11079 ax-1rid 11080 ax-rnegex 11081 ax-rrecex 11082 ax-cnre 11083 ax-pre-lttri 11084 ax-pre-lttrn 11085 ax-pre-ltadd 11086 ax-pre-mulgt0 11087 ax-pre-sup 11088 ax-addf 11089 ax-mulf 11090 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3064 df-rex 3073 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3739 df-csb 3855 df-dif 3912 df-un 3914 df-in 3916 df-ss 3926 df-pss 3928 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-tp 4590 df-op 4592 df-uni 4865 df-int 4907 df-iun 4955 df-iin 4956 df-br 5105 df-opab 5167 df-mpt 5188 df-tr 5222 df-id 5530 df-eprel 5536 df-po 5544 df-so 5545 df-fr 5587 df-se 5588 df-we 5589 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6252 df-ord 6319 df-on 6320 df-lim 6321 df-suc 6322 df-iota 6446 df-fun 6496 df-fn 6497 df-f 6498 df-f1 6499 df-fo 6500 df-f1o 6501 df-fv 6502 df-isom 6503 df-riota 7308 df-ov 7355 df-oprab 7356 df-mpo 7357 df-of 7610 df-om 7796 df-1st 7914 df-2nd 7915 df-supp 8086 df-frecs 8205 df-wrecs 8236 df-recs 8310 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-2o 8406 df-oadd 8409 df-omul 8410 df-er 8607 df-map 8726 df-pm 8727 df-ixp 8795 df-en 8843 df-dom 8844 df-sdom 8845 df-fin 8846 df-fsupp 9265 df-fi 9306 df-sup 9337 df-inf 9338 df-oi 9405 df-card 9834 df-acn 9837 df-pnf 11150 df-mnf 11151 df-xr 11152 df-ltxr 11153 df-le 11154 df-sub 11346 df-neg 11347 df-div 11772 df-nn 12113 df-2 12175 df-3 12176 df-4 12177 df-5 12178 df-6 12179 df-7 12180 df-8 12181 df-9 12182 df-n0 12373 df-xnn0 12445 df-z 12459 df-dec 12578 df-uz 12723 df-q 12829 df-rp 12871 df-xneg 12988 df-xadd 12989 df-xmul 12990 df-ioo 13223 df-ioc 13224 df-ico 13225 df-icc 13226 df-fz 13380 df-fzo 13523 df-fl 13652 df-mod 13730 df-seq 13862 df-exp 13923 df-fac 14128 df-bc 14157 df-hash 14185 df-shft 14912 df-cj 14944 df-re 14945 df-im 14946 df-sqrt 15080 df-abs 15081 df-limsup 15313 df-clim 15330 df-rlim 15331 df-sum 15531 df-ef 15910 df-sin 15912 df-cos 15913 df-pi 15915 df-dvds 16097 df-gcd 16335 df-numer 16570 df-denom 16571 df-struct 16979 df-sets 16996 df-slot 17014 df-ndx 17026 df-base 17044 df-ress 17073 df-plusg 17106 df-mulr 17107 df-starv 17108 df-sca 17109 df-vsca 17110 df-ip 17111 df-tset 17112 df-ple 17113 df-ds 17115 df-unif 17116 df-hom 17117 df-cco 17118 df-rest 17264 df-topn 17265 df-0g 17283 df-gsum 17284 df-topgen 17285 df-pt 17286 df-prds 17289 df-xrs 17344 df-qtop 17349 df-imas 17350 df-xps 17352 df-mre 17426 df-mrc 17427 df-acs 17429 df-mgm 18457 df-sgrp 18506 df-mnd 18517 df-submnd 18562 df-mulg 18832 df-cntz 19056 df-cmn 19523 df-psmet 20741 df-xmet 20742 df-met 20743 df-bl 20744 df-mopn 20745 df-fbas 20746 df-fg 20747 df-cnfld 20750 df-top 22195 df-topon 22212 df-topsp 22234 df-bases 22248 df-cld 22322 df-ntr 22323 df-cls 22324 df-nei 22401 df-lp 22439 df-perf 22440 df-cn 22530 df-cnp 22531 df-haus 22618 df-tx 22865 df-hmeo 23058 df-fil 23149 df-fm 23241 df-flim 23242 df-flf 23243 df-xms 23625 df-ms 23626 df-tms 23627 df-cncf 24193 df-limc 25182 df-dv 25183 df-log 25864 df-squarenn 41067 df-pell1qr 41068 df-pell14qr 41069 df-pell1234qr 41070 df-pellfund 41071 |
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