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Theorem rmxyelqirrOLD 41137
Description: Obsolete version of rmxyelqirr 41136 as of 23-Dec-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rmxyelqirrOLD ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑐,𝑑   𝑁,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑐,𝑑)
Proof of Theorem rmxyelqirrOLD
StepHypRef Expression
1 rmspecnonsq 41133 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
21adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
3 pell14qrval 41074 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) = {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1)})
42, 3syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) = {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1)})
5 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1) → 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)))
65reximi 3086 . . . . . . . . 9 (∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)))
76reximi 3086 . . . . . . . 8 (∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)))
87rgenw 3067 . . . . . . 7 ∀𝑎 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)))
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑎 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))))
10 ss2rab 4027 . . . . . 6 ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1)} ⊆ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))} ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))))
119, 10sylibr 233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1)} ⊆ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))})
12 ssv 3967 . . . . . 6 ℝ ⊆ V
13 rabss2 4034 . . . . . 6 (ℝ ⊆ V → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))} ⊆ {𝑎 ∈ V ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))})
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))} ⊆ {𝑎 ∈ V ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))}
1511, 14sstrdi 3955 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1)} ⊆ {𝑎 ∈ V ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))})
16 rabab 3472 . . . 4 {𝑎 ∈ V ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))} = {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))}
1715, 16sseqtrdi 3993 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑑↑2))) = 1)} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))})
184, 17eqsstrd 3981 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))})
19 simpr 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 rmspecfund 41135 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
2120adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
2221eqcomd 2744 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
2322oveq1d 7367 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑁))
24 oveq2 7360 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑎) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑁))
2524rspceeqv 3594 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑁)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑎))
2619, 23, 25syl2anc 585 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑎))
27 pellfund14b 41125 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑎)))
282, 27syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑎)))
2926, 28mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
3018, 29sseldd 3944 1 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑎 = (𝑐 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑑))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2715  ∀wral 3063  ∃wrex 3072  {crab 3406  Vcvv 3444   ∖ cdif 3906   ⊆ wss 3909  ‘cfv 6494  (class class class)co 7352  ℝcr 11009  1c1 11011   + caddc 11013   · cmul 11015   − cmin 11344  ℕcn 12112  2c2 12167  ℕ0cn0 12372  ℤcz 12458  ℤ≥cuz 12722  ↑cexp 13922  √csqrt 15078  ◻NNcsquarenn 41062  Pell14QRcpell14qr 41065  PellFundcpellfund 41066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088  ax-addf 11089  ax-mulf 11090
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-supp 8086  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8607  df-map 8726  df-pm 8727  df-ixp 8795  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-fsupp 9265  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9405  df-card 9834  df-acn 9837  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-xnn0 12445  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-q 12829  df-rp 12871  df-xneg 12988  df-xadd 12989  df-xmul 12990  df-ioo 13223  df-ioc 13224  df-ico 13225  df-icc 13226  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-fl 13652  df-mod 13730  df-seq 13862  df-exp 13923  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-shft 14912  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-limsup 15313  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-ef 15910  df-sin 15912  df-cos 15913  df-pi 15915  df-dvds 16097  df-gcd 16335  df-numer 16570  df-denom 16571  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-mulg 18832  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-lp 22439  df-perf 22440  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-haus 22618  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-cncf 24193  df-limc 25182  df-dv 25183  df-log 25864  df-squarenn 41067  df-pell1qr 41068  df-pell14qr 41069  df-pell1234qr 41070  df-pellfund 41071
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