Theorem pimiooltgt 46832

Description: The preimage of an open interval is the intersection of the preimage of an unbounded below open interval and an unbounded above open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimiooltgt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimiooltgt.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pimiooltgt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem pimiooltgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimiooltgt.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		pimiooltgt.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 ∈ ℝ*)
4		pimiooltgt.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
7	3, 5, 6	iooltubd 45668	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 < 𝑅)
8	7	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅)))
9	1, 8	ralrimi 3231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅))
10	9	ss2rabd 4021	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
11	3, 5, 6	ioogtlbd 45674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 < 𝐵)
12	11	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵)))
13	1, 12	ralrimi 3231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵))
14	13	ss2rabd 4021	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
15	10, 14	ssind 4190	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))
16		nfrab1 3416	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅}
17		nfrab1 3416	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}
18	16, 17	nfin 4173	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
19		nfrab1 3416	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)}
20		elinel1 4150	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
21		rabidim1 3418	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} → 𝑥 ∈ 𝐴)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
24	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 ∈ ℝ*)
25	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ∈ ℝ*)
26		pimiooltgt.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27	22, 26	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		mnfxr 11176	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ ∈ ℝ*)
30	24	mnfled 13037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ ≤ 𝐿)
31		elinel2 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
32		rabidim2 45223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} → 𝐿 < 𝐵)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝐿 < 𝐵)
34	33	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 < 𝐵)
35	29, 24, 27, 30, 34	xrlelttrd 13061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ < 𝐵)
36	29, 27, 35	xrgtned 45445	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ -∞)
37		pnfxr 11173	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → +∞ ∈ ℝ*)
39		rabidim2 45223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} → 𝐵 < 𝑅)
40	20, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝐵 < 𝑅)
41	40	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < 𝑅)
42	25	pnfged 13032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ≤ +∞)
43	27, 25, 38, 41, 42	xrltletrd 13062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < +∞)
44	27, 38, 43	xrltned 45480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ +∞)
45	27, 36, 44	xrred 45487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ)
46	24, 25, 45, 34, 41	eliood 45622	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
47	23, 46	rabidd 45276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
48	1, 18, 19, 47	ssdf2 45262	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
49	15, 48	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  {crab 3396   ∩ cin 3897   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  +∞cpnf 11150  -∞cmnf 11151  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153  (,)cioo 13247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-ioo 13251

This theorem is referenced by:  smfpimioompt  46908