Theorem pimiooltgt 47993

Description: The preimage of an open interval is the intersection of the preimage of an unbounded below open interval and an unbounded above open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimiooltgt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimiooltgt.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pimiooltgt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem pimiooltgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimiooltgt.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		pimiooltgt.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 ∈ ℝ*)
4		pimiooltgt.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
7	3, 5, 6	iooltubd 46829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 < 𝑅)
8	7	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅)))
9	1, 8	ralrimi 3264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅))
10	9	ss2rabd 4000	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
11	3, 5, 6	ioogtlbd 46835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 < 𝐵)
12	11	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵)))
13	1, 12	ralrimi 3264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵))
14	13	ss2rabd 4000	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
15	10, 14	ssind 4140	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))
16		nfrab1 3435	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅}
17		nfrab1 3435	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}
18	16, 17	nfin 4124	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
19		nfrab1 3435	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)}
20		elinel1 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
21		rabidim1 3437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} → 𝑥 ∈ 𝐴)
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
24	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 ∈ ℝ*)
25	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ∈ ℝ*)
26		pimiooltgt.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27	22, 26	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		mnfxr 11405	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ ∈ ℝ*)
30	24	mnfled 13305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ ≤ 𝐿)
31		elinel2 4102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
32		rabidim2 46390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} → 𝐿 < 𝐵)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝐿 < 𝐵)
34	33	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 < 𝐵)
35	29, 24, 27, 30, 34	xrlelttrd 13329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ < 𝐵)
36	29, 27, 35	xrgtned 13333	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ -∞)
37		pnfxr 11402	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → +∞ ∈ ℝ*)
39		rabidim2 46390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} → 𝐵 < 𝑅)
40	20, 39	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝐵 < 𝑅)
41	40	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < 𝑅)
42	25	pnfged 13300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ≤ +∞)
43	27, 25, 38, 41, 42	xrltletrd 13330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < +∞)
44	27, 38, 43	xrltned 46642	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ +∞)
45	27, 36, 44	xrred 46649	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ)
46	24, 25, 45, 34, 41	eliood 46783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
47	23, 46	rabidd 46443	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
48	1, 18, 19, 47	ssdf2 46429	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
49	15, 48	eqssd 3930	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ∩ cin 4092   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382  (,)cioo 13516

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-ioo 13520

This theorem is used by:  smfpimioompt  48069