Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimiooltgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimiooltgt 46725
Description: The preimage of an open interval is the intersection of the preimage of an unbounded below open interval and an unbounded above open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimiooltgt.1 𝑥𝜑
pimiooltgt.2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
pimiooltgt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem pimiooltgt
StepHypRef Expression
1 pimiooltgt.1 . . . . 5 𝑥𝜑
2 pimiooltgt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐿 ∈ ℝ*)
433adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 ∈ ℝ*)
5 pimiooltgt.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ*)
763adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
8 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
9 iooltub 45523 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 < 𝑅)
104, 7, 8, 9syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 < 𝑅)
11103exp 1120 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅)))
121, 11ralrimi 3257 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅))
13 ss2rab 4071 . . . 4 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅))
1412, 13sylibr 234 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
15 ioogtlb 45508 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 < 𝐵)
164, 7, 8, 15syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 < 𝐵)
17163exp 1120 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵)))
181, 17ralrimi 3257 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵))
19 ss2rab 4071 . . . 4 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵))
2018, 19sylibr 234 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
2114, 20ssind 4241 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}))
22 elinel1 4201 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
23 ssrab2 4080 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ⊆ 𝐴
2423sseli 3979 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} → 𝑥𝐴)
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝑥𝐴)
2625adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝑥𝐴)
2726, 3syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 ∈ ℝ*)
2826, 6syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ∈ ℝ*)
29 pimiooltgt.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3026, 29syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → -∞ ∈ ℝ*)
3327mnfled 13178 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → -∞ ≤ 𝐿)
34 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
35 rabidim2 45107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} → 𝐿 < 𝐵)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝐿 < 𝐵)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 < 𝐵)
3832, 27, 30, 33, 37xrlelttrd 13202 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → -∞ < 𝐵)
3932, 30, 38xrltned 45368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → -∞ ≠ 𝐵)
4039necomd 2996 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ -∞)
41 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → +∞ ∈ ℝ*)
43 rabidim2 45107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} → 𝐵 < 𝑅)
4422, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝐵 < 𝑅)
4544adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < 𝑅)
46 pnfge 13172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ≤ +∞)
4728, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ≤ +∞)
4830, 28, 42, 45, 47xrltletrd 13203 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < +∞)
4930, 42, 48xrltned 45368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ +∞)
5030, 40, 49xrred 45376 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ)
5127, 28, 50, 37, 45eliood 45511 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
5226, 51jca 511 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → (𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)))
53 rabid 3458 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)))
5452, 53sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
5554ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)}))
561, 55ralrimi 3257 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
57 nfrab1 3457 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < 𝑅}
58 nfrab1 3457 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}
5957, 58nfin 4224 . . . 4 𝑥({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
60 nfrab1 3457 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)}
6159, 60dfss3f 3975 . . 3 (({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) ⊆ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ↔ ∀𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
6256, 61sylibr 234 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) ⊆ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
6321, 62eqssd 4001 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391
This theorem is referenced by:  smfpimioompt  46801
  Copyright terms: Public domain W3C validator