Theorem pimiooltgt 47814

Description: The preimage of an open interval is the intersection of the preimage of an unbounded below open interval and an unbounded above open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimiooltgt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimiooltgt.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pimiooltgt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem pimiooltgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimiooltgt.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		pimiooltgt.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 ∈ ℝ*)
4		pimiooltgt.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
7	3, 5, 6	iooltubd 46650	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 < 𝑅)
8	7	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅)))
9	1, 8	ralrimi 3260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅))
10	9	ss2rabd 3997	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
11	3, 5, 6	ioogtlbd 46656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 < 𝐵)
12	11	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵)))
13	1, 12	ralrimi 3260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵))
14	13	ss2rabd 3997	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
15	10, 14	ssind 4137	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))
16		nfrab1 3431	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅}
17		nfrab1 3431	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}
18	16, 17	nfin 4121	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
19		nfrab1 3431	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)}
20		elinel1 4098	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
21		rabidim1 3433	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} → 𝑥 ∈ 𝐴)
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
24	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 ∈ ℝ*)
25	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ∈ ℝ*)
26		pimiooltgt.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27	22, 26	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		mnfxr 11370	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ ∈ ℝ*)
30	24	mnfled 13269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ ≤ 𝐿)
31		elinel2 4099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
32		rabidim2 46211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} → 𝐿 < 𝐵)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝐿 < 𝐵)
34	33	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 < 𝐵)
35	29, 24, 27, 30, 34	xrlelttrd 13293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ < 𝐵)
36	29, 27, 35	xrgtned 13297	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ -∞)
37		pnfxr 11367	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → +∞ ∈ ℝ*)
39		rabidim2 46211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} → 𝐵 < 𝑅)
40	20, 39	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝐵 < 𝑅)
41	40	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < 𝑅)
42	25	pnfged 13264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ≤ +∞)
43	27, 25, 38, 41, 42	xrltletrd 13294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < +∞)
44	27, 38, 43	xrltned 46463	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ +∞)
45	27, 36, 44	xrred 46470	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ)
46	24, 25, 45, 34, 41	eliood 46604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
47	23, 46	rabidd 46264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
48	1, 18, 19, 47	ssdf2 46250	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
49	15, 48	eqssd 3925	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ∩ cin 4089   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  +∞cpnf 11344  -∞cmnf 11345  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347  (,)cioo 13480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-ioo 13484

This theorem is used by:  smfpimioompt  47890