Theorem pimiooltgt 47309

Description: The preimage of an open interval is the intersection of the preimage of an unbounded below open interval and an unbounded above open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimiooltgt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimiooltgt.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pimiooltgt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem pimiooltgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimiooltgt.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		pimiooltgt.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
3	2	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 ∈ ℝ*)
4		pimiooltgt.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
5	4	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6		simp3 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
7	3, 5, 6	iooltubd 46145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 < 𝑅)
8	7	3exp 1135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅)))
9	1, 8	ralrimi 3269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅))
10	9	ss2rabd 4034	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
11	3, 5, 6	ioogtlbd 46151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 < 𝐵)
12	11	3exp 1135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵)))
13	1, 12	ralrimi 3269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵))
14	13	ss2rabd 4034	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
15	10, 14	ssind 4201	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))
16		nfrab1 3443	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅}
17		nfrab1 3443	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}
18	16, 17	nfin 4185	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
19		nfrab1 3443	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)}
20		elinel1 4162	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
21		rabidim1 3445	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} → 𝑥 ∈ 𝐴)
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
24	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 ∈ ℝ*)
25	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ∈ ℝ*)
26		pimiooltgt.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27	22, 26	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		mnfxr 11262	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ ∈ ℝ*)
30	24	mnfled 13157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ ≤ 𝐿)
31		elinel2 4163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
32		rabidim2 45705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} → 𝐿 < 𝐵)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝐿 < 𝐵)
34	33	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 < 𝐵)
35	29, 24, 27, 30, 34	xrlelttrd 13181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ < 𝐵)
36	29, 27, 35	xrgtned 13185	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ -∞)
37		pnfxr 11259	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → +∞ ∈ ℝ*)
39		rabidim2 45705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} → 𝐵 < 𝑅)
40	20, 39	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝐵 < 𝑅)
41	40	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < 𝑅)
42	25	pnfged 13152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ≤ +∞)
43	27, 25, 38, 41, 42	xrltletrd 13182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < +∞)
44	27, 38, 43	xrltned 45958	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ +∞)
45	27, 36, 44	xrred 45965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ)
46	24, 25, 45, 34, 41	eliood 46099	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
47	23, 46	rabidd 45758	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
48	1, 18, 19, 47	ssdf2 45744	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
49	15, 48	eqssd 3962	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ∩ cin 3912   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  +∞cpnf 11236  -∞cmnf 11237  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239  (,)cioo 13368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-ioo 13372

This theorem is referenced by:  smfpimioompt  47385