Theorem chpssati 29778

Description: Two Hilbert lattice elements in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (Contributed by NM, 10-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpssat.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chpssat.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chpssati	⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem chpssati

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 3920	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2	1	simprbi 492	. 2 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		iman 392	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ¬ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴))
4	3	ralbii 3190	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms ¬ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴))
5		ss2rab 3904	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
6		ssrab2 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐵} ⊆ HAtoms
7		atssch 29758	. . . . . . . . 9 ⊢ HAtoms ⊆ Cℋ
8	6, 7	sstri 3837	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐵} ⊆ Cℋ
9		ssrab2 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ HAtoms
10	9, 7	sstri 3837	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ
11		chsupss 28757	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ Cℋ ) → ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐵}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
12	8, 10, 11	mp2an 685	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐵}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
13		chpssat.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
14	13	hatomistici 29777	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐵})
15		chpssat.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
16	15	hatomistici 29777	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ( ∨ℋ ‘{𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
17	12, 14, 16	3sstr4g 3872	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → 𝐵 ⊆ 𝐴)
18	5, 17	sylbir 227	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
19	4, 18	sylbir 227	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ¬ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
20	19	con3i 152	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ ∀𝑥 ∈ HAtoms ¬ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴))
21		dfrex2 3205	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ HAtoms ¬ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴))
22	20, 21	sylibr 226	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴))
23	2, 22	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166  ∀wral 3118  ∃wrex 3119  {crab 3122   ⊆ wss 3799   ⊊ wpss 3800  ‘cfv 6124   C_ℋ cch 28342   ∨_ℋ chsup 28347  HAtomscat 28378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cc 9573  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333  ax-hilex 28412  ax-hfvadd 28413  ax-hvcom 28414  ax-hvass 28415  ax-hv0cl 28416  ax-hvaddid 28417  ax-hfvmul 28418  ax-hvmulid 28419  ax-hvmulass 28420  ax-hvdistr1 28421  ax-hvdistr2 28422  ax-hvmul0 28423  ax-hfi 28492  ax-his1 28495  ax-his2 28496  ax-his3 28497  ax-his4 28498  ax-hcompl 28615

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-omul 7832  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-acn 9082  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-ico 12470  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-rest 16437  df-topn 16438  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-topgen 16458  df-pt 16459  df-prds 16462  df-xrs 16516  df-qtop 16521  df-imas 16522  df-xps 16524  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-mulg 17896  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-fbas 20104  df-fg 20105  df-cnfld 20108  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-cld 21195  df-ntr 21196  df-cls 21197  df-nei 21274  df-cn 21403  df-cnp 21404  df-lm 21405  df-haus 21491  df-tx 21737  df-hmeo 21930  df-fil 22021  df-fm 22113  df-flim 22114  df-flf 22115  df-xms 22496  df-ms 22497  df-tms 22498  df-cfil 23424  df-cau 23425  df-cmet 23426  df-grpo 27904  df-gid 27905  df-ginv 27906  df-gdiv 27907  df-ablo 27956  df-vc 27970  df-nv 28003  df-va 28006  df-ba 28007  df-sm 28008  df-0v 28009  df-vs 28010  df-nmcv 28011  df-ims 28012  df-dip 28112  df-ssp 28133  df-ph 28224  df-cbn 28275  df-hnorm 28381  df-hba 28382  df-hvsub 28384  df-hlim 28385  df-hcau 28386  df-sh 28620  df-ch 28634  df-oc 28665  df-ch0 28666  df-span 28724  df-chsup 28726  df-cv 29694  df-at 29753

This theorem is referenced by:  chrelati  29779  cvexchlem  29783