Theorem tfis2f 7839

Description: Transfinite Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by NM, 18-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfis2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
tfis2f.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
tfis2f.3	⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
tfis2f	⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tfis2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfis2f.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		tfis2f.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	sbiev 2300	. . . 4 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
4	3	ralbii 3085	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓)
5		tfis2f.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
6	4, 5	biimtrid 241	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑))
7	6	tfis 7838	1 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  Ⅎwnf 1777  [wsb 2059   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  Oncon0 6355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-tr 5257  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-ord 6358  df-on 6359

This theorem is referenced by:  tfis2  7840  tfr3  8395