Theorem tfis2f 7860

Description: Transfinite Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by NM, 18-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfis2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
tfis2f.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
tfis2f.3	⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
tfis2f	⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tfis2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfis2f.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		tfis2f.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	sbiev 2304	. . . 4 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
4	3	ralbii 3090	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓)
5		tfis2f.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
6	4, 5	biimtrid 241	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑))
7	6	tfis 7859	1 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  Ⅎwnf 1778  [wsb 2060   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  Oncon0 6369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-ord 6372  df-on 6373

This theorem is referenced by:  tfis2  7861  tfr3  8420