Theorem tfis2f 7807

Description: Transfinite Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by NM, 18-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfis2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
tfis2f.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
tfis2f.3	⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
tfis2f	⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tfis2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfis2f.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		tfis2f.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	sbiev 2319	. . . 4 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
4	3	ralbii 3083	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓)
5		tfis2f.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
6	4, 5	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑))
7	6	tfis 7806	1 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  Ⅎwnf 1785  [wsb 2068   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Oncon0 6323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326  df-on 6327

This theorem is referenced by:  tfis2  7808  tfr3  8338