Theorem tfis2f 7841

Description: Transfinite Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by NM, 18-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfis2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
tfis2f.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
tfis2f.3	⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
tfis2f	⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tfis2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfis2f.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		tfis2f.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	sbiev 2308	. . . 4 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
4	3	ralbii 3093	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓)
5		tfis2f.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
6	4, 5	biimtrid 241	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝜑 → 𝜑))
7	6	tfis 7840	1 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  Ⅎwnf 1785  [wsb 2067   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Oncon0 6361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-ord 6364  df-on 6365

This theorem is referenced by:  tfis2  7842  tfr3  8395