Theorem tfis2 7809

Description: Transfinite Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by NM, 18-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfis2.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
tfis2.2	⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
tfis2	⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem tfis2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		tfis2.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		tfis2.2	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
4	1, 2, 3	tfis2f 7808	1 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Oncon0 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329

This theorem is referenced by:  tfis3  7810  smogt  8309  findcard3  9195  ordiso2  9432  cantnf  9614  cfsmolem  10192  fpwwe2lem7  10560  nqereu  10852  addsprop  27984  negsprop  28043  mulsprop  28138  tfis2d  50033