Theorem tfis2 7857

Description: Transfinite Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by NM, 18-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfis2.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
tfis2.2	⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
tfis2	⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem tfis2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		tfis2.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		tfis2.2	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
4	1, 2, 3	tfis2f 7856	1 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Oncon0 6361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-ord 6364  df-on 6365

This theorem is used by:  tfis3  7858  smogt  8360  findcard3  9257  ordiso2  9491  cantnf  9676  cfsmolem  10276  fpwwe2lem7  10650  nqereu  10942  addsprop  28249  negsprop  28308  mulsprop  28403  tfis2d  50614