MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omsinds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsinds 7889
Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.) (Proof shortened by BJ, 16-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
omsinds.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
omsinds.2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜒))
omsinds.3 (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦𝑥 𝜓𝜑))
Assertion
Ref Expression
omsinds (𝐴 ∈ ω → 𝜒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem omsinds
StepHypRef Expression
1 omsson 7872 . . 3 ω ⊆ On
2 epweon 7780 . . 3 E We On
3 wess 5649 . . 3 (ω ⊆ On → ( E We On → E We ω))
41, 2, 3mp2 9 . 2 E We ω
5 epse 5645 . 2 E Se ω
6 omsinds.1 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
7 omsinds.2 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜒))
8 trom 7877 . . . . 5 Tr ω
9 trpred 6336 . . . . 5 ((Tr ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → Pred( E , ω, 𝑥) = 𝑥)
108, 9mpan 703 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = 𝑥)
1110raleqdv 3325 . . 3 (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦𝑥 𝜓))
12 omsinds.3 . . 3 (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦𝑥 𝜓𝜑))
1311, 12sylbid 243 . 2 (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓𝜑))
144, 5, 6, 7, 13wfis3 6362 1 (𝐴 ∈ ω → 𝜒)
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:  wi 4  wb 209   = wceq 1570  wcel 2146  wral 3081  wss 3906  Tr wtr 5220   E cep 5562   We wwe 5615  Predcpred 6305  Oncon0 6364  ωcom 7868
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-om 7869
This theorem is used by:  madefi  28161  onsfi  28604
  Copyright terms: Public domain W3C validator