MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omsinds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsinds 7364
Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omsinds.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
omsinds.2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜒))
omsinds.3 (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦𝑥 𝜓𝜑))
Assertion
Ref Expression
omsinds (𝐴 ∈ ω → 𝜒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem omsinds
StepHypRef Expression
1 omsson 7349 . . 3 ω ⊆ On
2 epweon 7262 . . 3 E We On
3 wess 5344 . . 3 (ω ⊆ On → ( E We On → E We ω))
41, 2, 3mp2 9 . 2 E We ω
5 epse 5340 . 2 E Se ω
6 omsinds.1 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
7 omsinds.2 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜒))
8 predep 5961 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = (ω ∩ 𝑥))
9 ordom 7354 . . . . . . 7 Ord ω
10 ordtr 5992 . . . . . . 7 (Ord ω → Tr ω)
11 trss 4998 . . . . . . 7 (Tr ω → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω)
13 sseqin2 4040 . . . . . 6 (𝑥 ⊆ ω ↔ (ω ∩ 𝑥) = 𝑥)
1412, 13sylib 210 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → (ω ∩ 𝑥) = 𝑥)
158, 14eqtrd 2814 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = 𝑥)
1615raleqdv 3340 . . 3 (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦𝑥 𝜓))
17 omsinds.3 . . 3 (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦𝑥 𝜓𝜑))
1816, 17sylbid 232 . 2 (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓𝜑))
194, 5, 6, 7, 18wfis3 5976 1 (𝐴 ∈ ω → 𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  cin 3791  wss 3792  Tr wtr 4989   E cep 5267   We wwe 5315  Predcpred 5934  Ord word 5977  Oncon0 5978  ωcom 7345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-tr 4990  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-om 7346
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator