Theorem omsinds 7345

Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
omsinds.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
omsinds.3	⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
omsinds	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem omsinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 7330	. . 3 ⊢ ω ⊆ On
2		epweon 7243	. . 3 ⊢ E We On
3		wess 5329	. . 3 ⊢ (ω ⊆ On → ( E We On → E We ω))
4	1, 2, 3	mp2 9	. 2 ⊢ E We ω
5		epse 5325	. 2 ⊢ E Se ω
6		omsinds.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		omsinds.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		predep 5946	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = (ω ∩ 𝑥))
9		ordom 7335	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
10		ordtr 5977	. . . . . . 7 ⊢ (Ord ω → Tr ω)
11		trss 4984	. . . . . . 7 ⊢ (Tr ω → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω)
13		sseqin2 4044	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ω ↔ (ω ∩ 𝑥) = 𝑥)
14	12, 13	sylib 210	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (ω ∩ 𝑥) = 𝑥)
15	8, 14	eqtrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = 𝑥)
16	15	raleqdv 3356	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓))
17		omsinds.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
18	16, 17	sylbid 232	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
19	4, 5, 6, 7, 18	wfis3 5961	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  Tr wtr 4975   E cep 5254   We wwe 5300  Predcpred 5919  Ord word 5962  Oncon0 5963  ωcom 7326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-tr 4976  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-om 7327

This theorem is referenced by: (None)