Theorem omsinds 7889

Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.) (Proof shortened by BJ, 16-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
omsinds.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
omsinds.3	⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
omsinds	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem omsinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 7872	. . 3 ⊢ ω ⊆ On
2		epweon 7775	. . 3 ⊢ E We On
3		wess 5661	. . 3 ⊢ (ω ⊆ On → ( E We On → E We ω))
4	1, 2, 3	mp2 9	. 2 ⊢ E We ω
5		epse 5657	. 2 ⊢ E Se ω
6		omsinds.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		omsinds.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		trom 7877	. . . . 5 ⊢ Tr ω
9		trpred 6336	. . . . 5 ⊢ ((Tr ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → Pred( E , ω, 𝑥) = 𝑥)
10	8, 9	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = 𝑥)
11	10	raleqdv 3315	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓))
12		omsinds.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
13	11, 12	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
14	4, 5, 6, 7, 13	wfis3 6366	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   ⊆ wss 3946  Tr wtr 5262   E cep 5577   We wwe 5628  Predcpred 6303  Oncon0 6368  ωcom 7868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-tr 5263  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-om 7869

This theorem is referenced by: (None)