Theorem omsindsOLD 7909

Description: Obsolete version of omsinds 7908 as of 16-Oct-2024. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
omsinds.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
omsinds.3	⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
omsindsOLD	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem omsindsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 7891	. . 3 ⊢ ω ⊆ On
2		epweon 7794	. . 3 ⊢ E We On
3		wess 5675	. . 3 ⊢ (ω ⊆ On → ( E We On → E We ω))
4	1, 2, 3	mp2 9	. 2 ⊢ E We ω
5		epse 5671	. 2 ⊢ E Se ω
6		omsinds.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		omsinds.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		predep 6353	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = (ω ∩ 𝑥))
9		ordom 7897	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
10		ordtr 6400	. . . . . . 7 ⊢ (Ord ω → Tr ω)
11		trss 5276	. . . . . . 7 ⊢ (Tr ω → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω)
13		sseqin2 4231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ω ↔ (ω ∩ 𝑥) = 𝑥)
14	12, 13	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (ω ∩ 𝑥) = 𝑥)
15	8, 14	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = 𝑥)
16	15	raleqdv 3324	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓))
17		omsinds.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
18	16, 17	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
19	4, 5, 6, 7, 18	wfis3 6384	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  Tr wtr 5265   E cep 5588   We wwe 5640  Predcpred 6322  Ord word 6385  Oncon0 6386  ωcom 7887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-om 7888

This theorem is referenced by: (None)