Theorem uzsinds 14023

Description: Strong (or "total") induction principle over an upper set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzsinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzsinds.2	⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzsinds.3	⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑦 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
uzsinds	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem uzsinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltweuz 13997	. 2 ⊢ < We (ℤ≥‘𝑀)
2		fvex 6895	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
3		exse 5622	. . 3 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∈ V → < Se (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ < Se (ℤ≥‘𝑀)
5		uzsinds.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
6		uzsinds.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
7		preduz 13678	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑥) = (𝑀...(𝑥 − 1)))
8	7	raleqdv 3329	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑦 ∈ Pred ( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))𝜓))
9		uzsinds.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑦 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
10	8, 9	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑦 ∈ Pred ( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑥)𝜓 → 𝜑))
11	1, 4, 5, 6, 10	wfis3 6359	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3461   Se wse 5613  Predcpred 6302  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101   < clt 11243   − cmin 11441  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536

This theorem is referenced by:  nnsinds  14024  nn0sinds  14025