Theorem vtoclga 3528

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.) Avoid ax-10 2144 and ax-11 2160. (Revised by GG, 20-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclga.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2819	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
2		vtoclga.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
4		vtoclga.2	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)
5	3, 4	vtoclg 3507	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓))
6	5	pm2.43i 52	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806

This theorem is referenced by:  vtocl2ga  3529  vtocl3ga  3534  vtoclri  3540  disjxiun  5086  wfis3  6304  opabiota  6904  fvmpt3  6933  fvmptss  6941  fnressn  7091  fressnfv  7093  caovord  7557  caovmo  7583  ordunisuc  7762  tfis3  7788  fpr2a  8232  frrdmcl  8238  onfununi  8261  smogt  8287  tz7.44-1  8325  tz7.44-2  8326  tz7.44-3  8327  nnacl  8526  nnmcl  8527  nnecl  8528  nnacom  8532  nnaass  8537  nndi  8538  nnmass  8539  nnmsucr  8540  nnmcom  8541  nnmordi  8546  ixpfn  8827  findcard  9073  findcard2  9074  marypha1  9318  cantnfle  9561  cantnflem1  9579  cnfcom  9590  frr2  9653  fseqenlem1  9915  nnadju  10089  ackbij1lem8  10117  cardcf  10143  cfsmolem  10161  wunex2  10629  ingru  10706  recrecnq  10858  prlem934  10924  nn1suc  12147  uzind4s2  12807  rpnnen1lem6  12880  cnref1o  12883  xmulasslem  13184  om2uzsuci  13855  expcl2lem  13980  hashpw  14343  seqcoll  14371  climub  15569  climserle  15570  sumrblem  15618  fsumcvg  15619  summolem2a  15622  infcvgaux2i  15765  prodfn0  15801  prodfrec  15802  prodrblem  15836  fprodcvg  15837  prodmolem2a  15841  divalglem8  16311  bezoutlem1  16450  alginv  16486  algcvg  16487  algcvga  16490  algfx  16491  prmind2  16596  prmpwdvds  16816  cnextfvval  23980  xrsxmet  24725  xrhmeo  24871  cmetcaulem  25215  bcth3  25258  itg2addlem  25686  taylfval  26293  sinord  26470  logexprlim  27163  lgsdir2lem4  27266  noseqind  28222  hlim2  31172  elnlfn  31908  lnconi  32013  chirredlem3  32372  chirredlem4  32373  cnre2csqlem  33923  eulerpartlemsf  34372  eulerpartlemn  34394  bnj1321  35039  bnj1418  35052  subfacp1lem1  35223  nn0prpwlem  36366  findreccl  36497  weiunlem2  36507  mptsnunlem  37382  rdgeqoa  37414  domalom  37448  poimirlem22  37681  poimirlem26  37685  mblfinlem3  37698  mblfinlem4  37699  ismblfin  37700  ftc1anclem3  37734  ftc1anclem8  37739  sdclem2  37781  iscringd  38037  renegclALT  39061  zindbi  43038  fmuldfeq  45682  sumnnodd  45729  iblspltprt  46070  stoweidlem2  46099  stoweidlem17  46114  stoweidlem21  46118  stoweidlem43  46140  stoweidlem51  46148  wallispi  46167