Theorem xp01disjl 8538

Description: Cartesian products with the singletons of ordinals 0 and 1 are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xp01disjl	⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Proof of Theorem xp01disjl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8533	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 3013	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		disjsn2 4674	. 2 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
4		xpdisj1 6170	. 2 ⊢ (({∅} ∩ {1o}) = ∅ → (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ≠ wne 2959   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  {csn 4588   × cxp 5656  1_oc1o 8507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-opab 5174  df-xp 5664  df-rel 5665  df-suc 6394  df-1o 8514

This theorem is used by:  undjudom  10285  endjudisj  10286  djuen  10287  dju1dif  10290  dju1p1e2  10291  djucomen  10295  djuassen  10296  xpdjuen  10297  mapdjuen  10298  djudom1  10300  infdju1  10307  bj-2upln1upl  38152