Theorem xp01disjl 8492

Description: Cartesian products with the singletons of ordinals 0 and 1 are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xp01disjl	⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Proof of Theorem xp01disjl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8488	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 2996	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		disjsn2 4717	. 2 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
4		xpdisj1 6161	. 2 ⊢ (({∅} ∩ {1o}) = ∅ → (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1542   ≠ wne 2941   ∩ cin 3948  ∅c0 4323  {csn 4629   × cxp 5675  1_oc1o 8459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-suc 6371  df-1o 8466

This theorem is referenced by:  undjudom  10162  endjudisj  10163  djuen  10164  dju1dif  10167  dju1p1e2  10168  djucomen  10172  djuassen  10173  xpdjuen  10174  mapdjuen  10175  djudom1  10177  infdju1  10184  bj-2upln1upl  35905