Theorem xp01disjl 8483

Description: Cartesian products with the singletons of ordinals 0 and 1 are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xp01disjl	⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Proof of Theorem xp01disjl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8478	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 3014	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		disjsn2 4680	. 2 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
4		xpdisj1 6160	. 2 ⊢ (({∅} ∩ {1o}) = ∅ → (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ≠ wne 2960   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {csn 4591   × cxp 5661  1_oc1o 8452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-suc 6370  df-1o 8459

This theorem is used by:  undjudom  10167  endjudisj  10168  djuen  10169  dju1dif  10172  dju1p1e2  10173  djucomen  10177  djuassen  10178  xpdjuen  10179  mapdjuen  10180  djudom1  10182  infdju1  10189  bj-2upln1upl  37719