Theorem xp01disjl 8482

Description: Cartesian products with the singletons of ordinals 0 and 1 are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xp01disjl	⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Proof of Theorem xp01disjl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8477	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 3009	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		disjsn2 4673	. 2 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
4		xpdisj1 6153	. 2 ⊢ (({∅} ∩ {1o}) = ∅ → (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ≠ wne 2955   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584   × cxp 5653  1_oc1o 8451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-opab 5168  df-xp 5661  df-rel 5662  df-suc 6363  df-1o 8458

This theorem is used by:  undjudom  10173  endjudisj  10174  djuen  10175  dju1dif  10178  dju1p1e2  10179  djucomen  10183  djuassen  10184  xpdjuen  10185  mapdjuen  10186  djudom1  10188  infdju1  10195  bj-2upln1upl  37771