Theorem xp01disjl 8104

Description: Cartesian products with the singletons of ordinals 0 and 1 are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xp01disjl	⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Proof of Theorem xp01disjl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8102	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 3041	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		disjsn2 4608	. 2 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
4		xpdisj1 5985	. 2 ⊢ (({∅} ∩ {1o}) = ∅ → (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1538   ≠ wne 2987   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  {csn 4525   × cxp 5517  1_oc1o 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-suc 6165  df-1o 8085

This theorem is referenced by:  undjudom  9578  endjudisj  9579  djuen  9580  dju1dif  9583  dju1p1e2  9584  djucomen  9588  djuassen  9589  xpdjuen  9590  mapdjuen  9591  djudom1  9593  infdju1  9600  bj-2upln1upl  34460