Theorem xp01disjl 8419

Description: Cartesian products with the singletons of ordinals 0 and 1 are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xp01disjl	⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Proof of Theorem xp01disjl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8415	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 2986	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		disjsn2 4669	. 2 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
4		xpdisj1 6119	. 2 ⊢ (({∅} ∩ {1o}) = ∅ → (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1541   ≠ wne 2932   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  {csn 4580   × cxp 5622  1_oc1o 8390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-opab 5161  df-xp 5630  df-rel 5631  df-suc 6323  df-1o 8397

This theorem is referenced by:  undjudom  10078  endjudisj  10079  djuen  10080  dju1dif  10083  dju1p1e2  10084  djucomen  10088  djuassen  10089  xpdjuen  10090  mapdjuen  10091  djudom1  10093  infdju1  10100  bj-2upln1upl  37225