Theorem xp01disjl 8511

Description: Cartesian products with the singletons of ordinals 0 and 1 are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xp01disjl	⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Proof of Theorem xp01disjl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8506	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 3012	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		disjsn2 4672	. 2 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
4		xpdisj1 6157	. 2 ⊢ (({∅} ∩ {1o}) = ∅ → (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ≠ wne 2958   ∩ cin 4091  ∅c0 4280  {csn 4587   × cxp 5652  1_oc1o 8480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-opab 5170  df-xp 5660  df-rel 5661  df-suc 6374  df-1o 8487

This theorem is used by:  undjudom  10256  endjudisj  10257  djuen  10258  dju1dif  10261  dju1p1e2  10262  djucomen  10266  djuassen  10267  xpdjuen  10268  mapdjuen  10269  djudom1  10271  infdju1  10278  bj-2upln1upl  38064