Theorem xp01disjl 8477

Description: Cartesian products with the singletons of ordinals 0 and 1 are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xp01disjl	⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Proof of Theorem xp01disjl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8472	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 3018	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		disjsn2 4683	. 2 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
4		xpdisj1 6159	. 2 ⊢ (({∅} ∩ {1o}) = ∅ → (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1567   ≠ wne 2964   ∩ cin 3912  ∅c0 4294  {csn 4594   × cxp 5660  1_oc1o 8446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-opab 5178  df-xp 5668  df-rel 5669  df-suc 6367  df-1o 8453

This theorem is referenced by:  undjudom  10151  endjudisj  10152  djuen  10153  dju1dif  10156  dju1p1e2  10157  djucomen  10161  djuassen  10162  xpdjuen  10163  mapdjuen  10164  djudom1  10166  infdju1  10173  bj-2upln1upl  37548