MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djuassen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djuassen 10169
Description: Associative law for cardinal addition. Exercise 4.56(c) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 26-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djuassen ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ((𝐴𝐵) ⊔ 𝐶) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐵𝐶)))

Proof of Theorem djuassen
StepHypRef Expression
1 0ex 5306 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐴𝑉)
3 xpsnen2g 9061 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
41, 2, 3sylancr 588 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
54ensymd 8997 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
6 1oex 8471 . . . . . . 7 1o ∈ V
7 snex 5430 . . . . . . . 8 {∅} ∈ V
8 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐵𝑊)
9 xpexg 7732 . . . . . . . 8 (({∅} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
107, 8, 9sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
11 xpsnen2g 9061 . . . . . . 7 ((1o ∈ V ∧ ({∅} × 𝐵) ∈ V) → ({1o} × ({∅} × 𝐵)) ≈ ({∅} × 𝐵))
126, 10, 11sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({1o} × ({∅} × 𝐵)) ≈ ({∅} × 𝐵))
13 xpsnen2g 9061 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
141, 8, 13sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
15 entr 8998 . . . . . 6 ((({1o} × ({∅} × 𝐵)) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → ({1o} × ({∅} × 𝐵)) ≈ 𝐵)
1612, 14, 15syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({1o} × ({∅} × 𝐵)) ≈ 𝐵)
1716ensymd 8997 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐵 ≈ ({1o} × ({∅} × 𝐵)))
18 xp01disjl 8487 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) = ∅
1918a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) = ∅)
20 djuenun 10161 . . . 4 ((𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≈ ({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))))
215, 17, 19, 20syl3anc 1372 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴𝐵) ≈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))))
22 snex 5430 . . . . . . 7 {1o} ∈ V
23 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐶𝑋)
24 xpexg 7732 . . . . . . 7 (({1o} ∈ V ∧ 𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
2522, 23, 24sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
26 xpsnen2g 9061 . . . . . 6 ((1o ∈ V ∧ ({1o} × 𝐶) ∈ V) → ({1o} × ({1o} × 𝐶)) ≈ ({1o} × 𝐶))
276, 25, 26sylancr 588 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({1o} × ({1o} × 𝐶)) ≈ ({1o} × 𝐶))
28 xpsnen2g 9061 . . . . . 6 ((1o ∈ V ∧ 𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
296, 23, 28sylancr 588 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
30 entr 8998 . . . . 5 ((({1o} × ({1o} × 𝐶)) ≈ ({1o} × 𝐶) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶) → ({1o} × ({1o} × 𝐶)) ≈ 𝐶)
3127, 29, 30syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({1o} × ({1o} × 𝐶)) ≈ 𝐶)
3231ensymd 8997 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐶 ≈ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))
33 indir 4274 . . . . 5 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) ∪ (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))))
34 xp01disjl 8487 . . . . . . 7 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = ∅
35 xp01disjl 8487 . . . . . . . . 9 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
3635xpeq2i 5702 . . . . . . . 8 ({1o} × (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶))) = ({1o} × ∅)
37 xpindi 5831 . . . . . . . 8 ({1o} × (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶))) = (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))
38 xp0 6154 . . . . . . . 8 ({1o} × ∅) = ∅
3936, 37, 383eqtr3i 2769 . . . . . . 7 (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = ∅
4034, 39uneq12i 4160 . . . . . 6 ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) ∪ (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))) = (∅ ∪ ∅)
41 un0 4389 . . . . . 6 (∅ ∪ ∅) = ∅
4240, 41eqtri 2761 . . . . 5 ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) ∪ (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))) = ∅
4333, 42eqtri 2761 . . . 4 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = ∅
4443a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = ∅)
45 djuenun 10161 . . 3 (((𝐴𝐵) ≈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∧ 𝐶 ≈ ({1o} × ({1o} × 𝐶)) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = ∅) → ((𝐴𝐵) ⊔ 𝐶) ≈ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶))))
4621, 32, 44, 45syl3anc 1372 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ((𝐴𝐵) ⊔ 𝐶) ≈ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶))))
47 df-dju 9892 . . . . . 6 (𝐵𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
4847xpeq2i 5702 . . . . 5 ({1o} × (𝐵𝐶)) = ({1o} × (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
49 xpundi 5742 . . . . 5 ({1o} × (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) = (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))
5048, 49eqtri 2761 . . . 4 ({1o} × (𝐵𝐶)) = (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))
5150uneq2i 4159 . . 3 (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × (𝐵𝐶))) = (({∅} × 𝐴) ∪ (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶))))
52 df-dju 9892 . . 3 (𝐴 ⊔ (𝐵𝐶)) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × (𝐵𝐶)))
53 unass 4165 . . 3 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = (({∅} × 𝐴) ∪ (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶))))
5451, 52, 533eqtr4i 2771 . 2 (𝐴 ⊔ (𝐵𝐶)) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))
5546, 54breqtrrdi 5189 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ((𝐴𝐵) ⊔ 𝐶) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cun 3945  cin 3946  c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   × cxp 5673  1oc1o 8454  cen 8932  cdju 9889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dju 9892
This theorem is referenced by:  nnadju  10188
  Copyright terms: Public domain W3C validator