MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infdju1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infdju1 9991
Description: An infinite set is equinumerous to itself added with one. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infdju1 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdju1
StepHypRef Expression
1 difun2 4420 . . . . 5 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
2 df-dju 9703 . . . . . 6 (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
3 df1o2 8335 . . . . . . . 8 1o = {∅}
43xpeq2i 5627 . . . . . . 7 ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
5 1oex 8338 . . . . . . . 8 1o ∈ V
6 0ex 5240 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
75, 6xpsn 7045 . . . . . . 7 ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
84, 7eqtr2i 2765 . . . . . 6 {⟨1o, ∅⟩} = ({1o} × 1o)
92, 8difeq12i 4061 . . . . 5 ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o))
10 xp01disjl 8353 . . . . . 6 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
11 disj3 4393 . . . . . 6 ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
1210, 11mpbi 229 . . . . 5 ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
131, 9, 123eqtr4i 2774 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
14 reldom 8770 . . . . . . . 8 Rel ≼
1514brrelex2i 5655 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
16 1on 8340 . . . . . . 7 1o ∈ On
17 djudoml 9986 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
1815, 16, 17sylancl 587 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
19 domtr 8828 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o)) → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
2018, 19mpdan 685 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
21 infdifsn 9459 . . . . 5 (ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
2220, 21syl 17 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
2313, 22eqbrtrrid 5117 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
2423ensymd 8826 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴))
25 xpsnen2g 8890 . . 3 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
266, 15, 25sylancr 588 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
27 entr 8827 . 2 (((𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
2824, 26, 27syl2anc 585 1 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3437  cdif 3889  cun 3890  cin 3891  c0 4262  {csn 4565  cop 4571   class class class wbr 5081   × cxp 5598  Oncon0 6281  ωcom 7744  1oc1o 8321  cen 8761  cdom 8762  cdju 9700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-dju 9703
This theorem is referenced by:  pwdjuidm  9993  isfin4p1  10117  canthp1lem2  10455
  Copyright terms: Public domain W3C validator