Theorem infdju1 10195

Description: An infinite set is equinumerous to itself added with one. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdju1	⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difun2 4437	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
2		df-dju 9909	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
3		df1o2 8465	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
4	3	xpeq2i 5682	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
5		1oex 8468	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
6		0ex 5264	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	5, 6	xpsn 7135	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
8	4, 7	eqtr2i 2784	. . . . . 6 ⊢ {⟨1o, ∅⟩} = ({1o} × 1o)
9	2, 8	difeq12i 4072	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o))
10		xp01disjl 8482	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
11		disj3 4407	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
12	10, 11	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
13	1, 9, 12	3eqtr4i 2793	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
14		reldom 8961	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
15	14	brrelex2i 5712	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
16		1on 8471	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
17		djudoml 10190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
18	15, 16, 17	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
19		domtr 9016	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o)) → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
20	18, 19	mpdan 700	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
21		infdifsn 9639	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
23	13, 22	eqbrtrrid 5141	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
24	23	ensymd 9014	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴))
25		xpsnen2g 9071	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
26	6, 15, 25	sylancr 599	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
27		entr 9015	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
28	24, 26, 27	syl2anc 596	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   × cxp 5653  Oncon0 6357  ωcom 7863  1_oc1o 8451   ≈ cen 8952   ≼ cdom 8953   ⊔ cdju 9906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-dju 9909

This theorem is used by:  pwdjuidm  10197  isfin4p1  10320  canthp1lem2  10665