Theorem infdju1 10189

Description: An infinite set is equinumerous to itself added with one. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdju1	⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difun2 4444	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
2		df-dju 9903	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
3		df1o2 8466	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
4	3	xpeq2i 5690	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
5		1oex 8469	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
6		0ex 5272	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	5, 6	xpsn 7140	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
8	4, 7	eqtr2i 2789	. . . . . 6 ⊢ {⟨1o, ∅⟩} = ({1o} × 1o)
9	2, 8	difeq12i 4079	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o))
10		xp01disjl 8483	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
11		disj3 4414	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
12	10, 11	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
13	1, 9, 12	3eqtr4i 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
14		reldom 8955	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
15	14	brrelex2i 5720	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
16		1on 8472	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
17		djudoml 10184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
18	15, 16, 17	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
19		domtr 9010	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o)) → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
20	18, 19	mpdan 700	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
21		infdifsn 9633	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
23	13, 22	eqbrtrrid 5149	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
24	23	ensymd 9008	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴))
25		xpsnen2g 9065	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
26	6, 15, 25	sylancr 599	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
27		entr 9009	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
28	24, 26, 27	syl2anc 596	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {csn 4591  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111   × cxp 5661  Oncon0 6364  ωcom 7868  1_oc1o 8452   ≈ cen 8946   ≼ cdom 8947   ⊔ cdju 9900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-dju 9903

This theorem is used by:  pwdjuidm  10191  isfin4p1  10314  canthp1lem2  10655