Theorem infdju1 10100

Description: An infinite set is equinumerous to itself added with one. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdju1	⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difun2 4433	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
2		df-dju 9813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
3		df1o2 8404	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
4	3	xpeq2i 5651	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
5		1oex 8407	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
6		0ex 5252	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	5, 6	xpsn 7086	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
8	4, 7	eqtr2i 2760	. . . . . 6 ⊢ {⟨1o, ∅⟩} = ({1o} × 1o)
9	2, 8	difeq12i 4076	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o))
10		xp01disjl 8419	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
11		disj3 4406	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
12	10, 11	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
13	1, 9, 12	3eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
14		reldom 8889	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
15	14	brrelex2i 5681	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
16		1on 8409	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
17		djudoml 10095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
18	15, 16, 17	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
19		domtr 8944	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o)) → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
20	18, 19	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
21		infdifsn 9566	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
23	13, 22	eqbrtrrid 5134	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
24	23	ensymd 8942	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴))
25		xpsnen2g 8998	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
26	6, 15, 25	sylancr 587	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
27		entr 8943	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
28	24, 26, 27	syl2anc 584	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  {csn 4580  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098   × cxp 5622  Oncon0 6317  ωcom 7808  1_oc1o 8390   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881   ⊔ cdju 9810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-dju 9813

This theorem is referenced by:  pwdjuidm  10102  isfin4p1  10225  canthp1lem2  10564