Theorem infdju1 10183

Description: An infinite set is equinumerous to itself added with one. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdju1	⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difun2 4475	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
2		df-dju 9895	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
3		df1o2 8471	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
4	3	xpeq2i 5696	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
5		1oex 8474	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
6		0ex 5300	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	5, 6	xpsn 7134	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
8	4, 7	eqtr2i 2755	. . . . . 6 ⊢ {⟨1o, ∅⟩} = ({1o} × 1o)
9	2, 8	difeq12i 4115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o))
10		xp01disjl 8490	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
11		disj3 4448	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
12	10, 11	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
13	1, 9, 12	3eqtr4i 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
14		reldom 8944	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
15	14	brrelex2i 5726	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
16		1on 8476	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
17		djudoml 10178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
18	15, 16, 17	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
19		domtr 9002	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o)) → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
20	18, 19	mpdan 684	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
21		infdifsn 9651	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
23	13, 22	eqbrtrrid 5177	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
24	23	ensymd 9000	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴))
25		xpsnen2g 9064	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
26	6, 15, 25	sylancr 586	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
27		entr 9001	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
28	24, 26, 27	syl2anc 583	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∖ cdif 3940   ∪ cun 3941   ∩ cin 3942  ∅c0 4317  {csn 4623  ⟨cop 4629   class class class wbr 5141   × cxp 5667  Oncon0 6357  ωcom 7851  1_oc1o 8457   ≈ cen 8935   ≼ cdom 8936   ⊔ cdju 9892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-dju 9895

This theorem is referenced by:  pwdjuidm  10185  isfin4p1  10309  canthp1lem2  10647