MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infdju1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infdju1 10206
Description: An infinite set is equinumerous to itself added with one. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infdju1 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdju1
StepHypRef Expression
1 difun2 4476 . . . . 5 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
2 df-dju 9918 . . . . . 6 (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
3 df1o2 8487 . . . . . . . 8 1o = {∅}
43xpeq2i 5699 . . . . . . 7 ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
5 1oex 8490 . . . . . . . 8 1o ∈ V
6 0ex 5301 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
75, 6xpsn 7144 . . . . . . 7 ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
84, 7eqtr2i 2756 . . . . . 6 {⟨1o, ∅⟩} = ({1o} × 1o)
92, 8difeq12i 4116 . . . . 5 ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o))
10 xp01disjl 8506 . . . . . 6 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
11 disj3 4449 . . . . . 6 ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
1210, 11mpbi 229 . . . . 5 ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
131, 9, 123eqtr4i 2765 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
14 reldom 8963 . . . . . . . 8 Rel ≼
1514brrelex2i 5729 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
16 1on 8492 . . . . . . 7 1o ∈ On
17 djudoml 10201 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
1815, 16, 17sylancl 585 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
19 domtr 9021 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o)) → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
2018, 19mpdan 686 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
21 infdifsn 9674 . . . . 5 (ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
2220, 21syl 17 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
2313, 22eqbrtrrid 5178 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
2423ensymd 9019 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴))
25 xpsnen2g 9083 . . 3 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
266, 15, 25sylancr 586 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
27 entr 9020 . 2 (((𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
2824, 26, 27syl2anc 583 1 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  c0 4318  {csn 4624  cop 4630   class class class wbr 5142   × cxp 5670  Oncon0 6363  ωcom 7864  1oc1o 8473  cen 8954  cdom 8955  cdju 9915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-dju 9918
This theorem is referenced by:  pwdjuidm  10208  isfin4p1  10332  canthp1lem2  10670
  Copyright terms: Public domain W3C validator