Theorem djudom1 10105

Description: Ordering law for cardinal addition. Exercise 4.56(f) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudom1	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))

Proof of Theorem djudom1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5381	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
2	1	xpdom2 9010	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵))
3		snex 5381	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
4		xpexg 7704	. . . . 5 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
5	3, 4	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
6		domrefg 8934	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐶) ∈ V → ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶))
8		xp01disjl 8427	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
9		undom 9003	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶)) ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
10	8, 9	mpan2 692	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
11	2, 7, 10	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
12		df-dju 9825	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
13		df-dju 9825	. 2 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
14	11, 12, 13	3brtr4g 5119	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888  ∅c0 4273  {csn 4567   class class class wbr 5085   × cxp 5629  1_oc1o 8398   ≼ cdom 8891   ⊔ cdju 9822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-1o 8405  df-en 8894  df-dom 8895  df-dju 9825

This theorem is referenced by:  djudom2  10106  djulepw  10115  unctb  10126  infdif  10130  gchdjuidm  10591  gchpwdom  10593  gchhar  10602  pr2dom  43954  tr3dom  43955