Theorem djudom1 10074

Description: Ordering law for cardinal addition. Exercise 4.56(f) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudom1	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))

Proof of Theorem djudom1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5372	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
2	1	xpdom2 8985	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵))
3		snex 5372	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
4		xpexg 7683	. . . . 5 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
5	3, 4	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
6		domrefg 8909	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐶) ∈ V → ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶))
8		xp01disjl 8407	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
9		undom 8978	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶)) ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
10	8, 9	mpan2 691	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
11	2, 7, 10	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
12		df-dju 9794	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
13		df-dju 9794	. 2 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
14	11, 12, 13	3brtr4g 5123	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896  ∅c0 4280  {csn 4573   class class class wbr 5089   × cxp 5612  1_oc1o 8378   ≼ cdom 8867   ⊔ cdju 9791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-1o 8385  df-en 8870  df-dom 8871  df-dju 9794

This theorem is referenced by:  djudom2  10075  djulepw  10084  unctb  10095  infdif  10099  gchdjuidm  10559  gchpwdom  10561  gchhar  10570  pr2dom  43630  tr3dom  43631