MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djudom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djudom1 10221
Description: Ordering law for cardinal addition. Exercise 4.56(f) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
djudom1 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐶))

Proof of Theorem djudom1
StepHypRef Expression
1 snex 5442 . . . 4 {∅} ∈ V
21xpdom2 9106 . . 3 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵))
3 snex 5442 . . . . 5 {1o} ∈ V
4 xpexg 7769 . . . . 5 (({1o} ∈ V ∧ 𝐶𝑉) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
53, 4mpan 690 . . . 4 (𝐶𝑉 → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
6 domrefg 9026 . . . 4 (({1o} × 𝐶) ∈ V → ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶))
75, 6syl 17 . . 3 (𝐶𝑉 → ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶))
8 xp01disjl 8529 . . . 4 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
9 undom 9098 . . . 4 (((({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶)) ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
108, 9mpan2 691 . . 3 ((({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
112, 7, 10syl2an 596 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
12 df-dju 9939 . 2 (𝐴𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
13 df-dju 9939 . 2 (𝐵𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
1411, 12, 133brtr4g 5182 1 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  cin 3962  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  1oc1o 8498  cdom 8982  cdju 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-dju 9939
This theorem is referenced by:  djudom2  10222  djulepw  10231  unctb  10242  infdif  10246  gchdjuidm  10706  gchpwdom  10708  gchhar  10717  pr2dom  43517  tr3dom  43518
  Copyright terms: Public domain W3C validator