Theorem djudom1 10136

Description: Ordering law for cardinal addition. Exercise 4.56(f) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudom1	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))

Proof of Theorem djudom1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5391	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
2	1	xpdom2 9036	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵))
3		snex 5391	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
4		xpexg 7726	. . . . 5 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
5	3, 4	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
6		domrefg 8958	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐶) ∈ V → ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶))
8		xp01disjl 8456	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
9		undom 9029	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶)) ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
10	8, 9	mpan2 691	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
11	2, 7, 10	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
12		df-dju 9854	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
13		df-dju 9854	. 2 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
14	11, 12, 13	3brtr4g 5141	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107   × cxp 5636  1_oc1o 8427   ≼ cdom 8916   ⊔ cdju 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-1o 8434  df-en 8919  df-dom 8920  df-dju 9854

This theorem is referenced by:  djudom2  10137  djulepw  10146  unctb  10157  infdif  10161  gchdjuidm  10621  gchpwdom  10623  gchhar  10632  pr2dom  43516  tr3dom  43517