Theorem djudom1 10143

Description: Ordering law for cardinal addition. Exercise 4.56(f) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudom1	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))

Proof of Theorem djudom1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5394	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
2	1	xpdom2 9041	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵))
3		snex 5394	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
4		xpexg 7729	. . . . 5 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
5	3, 4	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
6		domrefg 8961	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐶) ∈ V → ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶))
8		xp01disjl 8459	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
9		undom 9033	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶)) ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
10	8, 9	mpan2 691	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≼ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≼ ({1o} × 𝐶)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
11	2, 7, 10	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≼ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
12		df-dju 9861	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
13		df-dju 9861	. 2 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
14	11, 12, 13	3brtr4g 5144	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110   × cxp 5639  1_oc1o 8430   ≼ cdom 8919   ⊔ cdju 9858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-1o 8437  df-en 8922  df-dom 8923  df-dju 9861

This theorem is referenced by:  djudom2  10144  djulepw  10153  unctb  10164  infdif  10168  gchdjuidm  10628  gchpwdom  10630  gchhar  10639  pr2dom  43523  tr3dom  43524