Theorem undjudom 10121

Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
undjudom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem undjudom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5262	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		xpsnen2g 9034	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
3	1, 2	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4		ensym 8974	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
5		endom 8950	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴) → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
7		1on 8446	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
8		xpsnen2g 9034	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
9	7, 8	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
10		ensym 8974	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵))
11		endom 8950	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵) → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
13		xp01disjl 8456	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅
14		undom 9029	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
15	13, 14	mpan2 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
16	6, 12, 15	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
17		df-dju 9854	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
18	16, 17	breqtrrdi 5149	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107   × cxp 5636  Oncon0 6332  1_oc1o 8427   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ⊔ cdju 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-dju 9854

This theorem is referenced by:  djudoml  10138  unnum  10150  ficardun2  10155  pwsdompw  10156  unctb  10157  infunabs  10159  infdju  10160  infdif  10161  pr2dom  43516  tr3dom  43517