Theorem undjudom 10080

Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
undjudom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem undjudom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5251	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		xpsnen2g 9000	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
3	1, 2	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4		ensym 8942	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
5		endom 8918	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴) → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
7		1on 8409	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
8		xpsnen2g 9000	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
9	7, 8	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
10		ensym 8942	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵))
11		endom 8918	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵) → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
13		xp01disjl 8419	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅
14		undom 8995	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
15	13, 14	mpan2 692	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
16	6, 12, 15	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
17		df-dju 9815	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
18	16, 17	breqtrrdi 5139	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ∪ cun 3898   ∩ cin 3899  ∅c0 4284  {csn 4579   class class class wbr 5097   × cxp 5621  Oncon0 6316  1_oc1o 8390   ≈ cen 8882   ≼ cdom 8883   ⊔ cdju 9812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6319  df-on 6320  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-dju 9815

This theorem is referenced by:  djudoml  10097  unnum  10109  ficardun2  10114  pwsdompw  10115  unctb  10116  infunabs  10118  infdju  10119  infdif  10120  pr2dom  43805  tr3dom  43806