MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  undjudom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem undjudom 10161
Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
undjudom ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem undjudom
StepHypRef Expression
1 0ex 5307 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 xpsnen2g 9064 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
31, 2mpan 688 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4 ensym 8998 . . . 4 (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
5 endom 8974 . . . 4 (𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴) → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
7 1on 8477 . . . . 5 1o ∈ On
8 xpsnen2g 9064 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝐵𝑊) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
97, 8mpan 688 . . . 4 (𝐵𝑊 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
10 ensym 8998 . . . 4 (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵))
11 endom 8974 . . . 4 (𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵) → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
129, 10, 113syl 18 . . 3 (𝐵𝑊𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
13 xp01disjl 8491 . . . 4 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅
14 undom 9058 . . . 4 (((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
1513, 14mpan2 689 . . 3 ((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) → (𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
166, 12, 15syl2an 596 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
17 df-dju 9895 . 2 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
1816, 17breqtrrdi 5190 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474  cun 3946  cin 3947  c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   × cxp 5674  Oncon0 6364  1oc1o 8458  cen 8935  cdom 8936  cdju 9892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-dju 9895
This theorem is referenced by:  djudoml  10178  unnum  10190  ficardun2  10196  ficardun2OLD  10197  pwsdompw  10198  unctb  10199  infunabs  10201  infdju  10202  infdif  10203  pr2dom  42268  tr3dom  42269
  Copyright terms: Public domain W3C validator