Theorem undjudom 9781

Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
undjudom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem undjudom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5200	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		xpsnen2g 8738	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
3	1, 2	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4		ensym 8677	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
5		endom 8655	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴) → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
7		1on 8209	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
8		xpsnen2g 8738	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
9	7, 8	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
10		ensym 8677	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵))
11		endom 8655	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵) → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
13		xp01disjl 8223	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅
14		undom 8733	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
15	13, 14	mpan2 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
16	6, 12, 15	syl2an 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
17		df-dju 9517	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
18	16, 17	breqtrrdi 5095	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   ∪ cun 3864   ∩ cin 3865  ∅c0 4237  {csn 4541   class class class wbr 5053   × cxp 5549  Oncon0 6213  1_oc1o 8195   ≈ cen 8623   ≼ cdom 8624   ⊔ cdju 9514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-dju 9517

This theorem is referenced by:  djudoml  9798  unnum  9810  ficardun2  9816  ficardun2OLD  9817  pwsdompw  9818  unctb  9819  infunabs  9821  infdju  9822  infdif  9823  pr2dom  40819  tr3dom  40820