MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  undjudom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem undjudom 10206
Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
undjudom ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem undjudom
StepHypRef Expression
1 0ex 5313 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 xpsnen2g 9104 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
31, 2mpan 690 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4 ensym 9042 . . . 4 (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
5 endom 9018 . . . 4 (𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴) → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
7 1on 8517 . . . . 5 1o ∈ On
8 xpsnen2g 9104 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝐵𝑊) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
97, 8mpan 690 . . . 4 (𝐵𝑊 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
10 ensym 9042 . . . 4 (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵))
11 endom 9018 . . . 4 (𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵) → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
129, 10, 113syl 18 . . 3 (𝐵𝑊𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
13 xp01disjl 8529 . . . 4 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅
14 undom 9098 . . . 4 (((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
1513, 14mpan2 691 . . 3 ((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) → (𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
166, 12, 15syl2an 596 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
17 df-dju 9939 . 2 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
1816, 17breqtrrdi 5190 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  cin 3962  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  Oncon0 6386  1oc1o 8498  cen 8981  cdom 8982  cdju 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-dju 9939
This theorem is referenced by:  djudoml  10223  unnum  10235  ficardun2  10240  pwsdompw  10241  unctb  10242  infunabs  10244  infdju  10245  infdif  10246  pr2dom  43517  tr3dom  43518
  Copyright terms: Public domain W3C validator