MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  undjudom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem undjudom 10157
Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
undjudom ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem undjudom
StepHypRef Expression
1 0ex 5305 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 xpsnen2g 9060 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
31, 2mpan 689 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4 ensym 8994 . . . 4 (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
5 endom 8970 . . . 4 (𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴) → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
7 1on 8472 . . . . 5 1o ∈ On
8 xpsnen2g 9060 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝐵𝑊) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
97, 8mpan 689 . . . 4 (𝐵𝑊 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
10 ensym 8994 . . . 4 (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵))
11 endom 8970 . . . 4 (𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵) → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
129, 10, 113syl 18 . . 3 (𝐵𝑊𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
13 xp01disjl 8486 . . . 4 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅
14 undom 9054 . . . 4 (((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
1513, 14mpan2 690 . . 3 ((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) → (𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
166, 12, 15syl2an 597 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
17 df-dju 9891 . 2 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
1816, 17breqtrrdi 5188 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cun 3944  cin 3945  c0 4320  {csn 4626   class class class wbr 5146   × cxp 5672  Oncon0 6360  1oc1o 8453  cen 8931  cdom 8932  cdju 9888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-1o 8460  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-dju 9891
This theorem is referenced by:  djudoml  10174  unnum  10186  ficardun2  10192  ficardun2OLD  10193  pwsdompw  10194  unctb  10195  infunabs  10197  infdju  10198  infdif  10199  pr2dom  42210  tr3dom  42211
  Copyright terms: Public domain W3C validator