Theorem undjudom 10082

Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
undjudom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem undjudom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5253	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		xpsnen2g 9002	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
3	1, 2	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4		ensym 8944	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
5		endom 8920	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴) → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
7		1on 8411	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
8		xpsnen2g 9002	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
9	7, 8	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
10		ensym 8944	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵))
11		endom 8920	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵) → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
13		xp01disjl 8421	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅
14		undom 8997	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
15	13, 14	mpan2 692	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
16	6, 12, 15	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
17		df-dju 9817	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
18	16, 17	breqtrrdi 5141	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4286  {csn 4581   class class class wbr 5099   × cxp 5623  Oncon0 6318  1_oc1o 8392   ≈ cen 8884   ≼ cdom 8885   ⊔ cdju 9814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-dju 9817

This theorem is referenced by:  djudoml  10099  unnum  10111  ficardun2  10116  pwsdompw  10117  unctb  10118  infunabs  10120  infdju  10121  infdif  10122  pr2dom  43835  tr3dom  43836