Theorem undjudom 10128

Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
undjudom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem undjudom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5265	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		xpsnen2g 9039	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
3	1, 2	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4		ensym 8977	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
5		endom 8953	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴) → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴))
7		1on 8449	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
8		xpsnen2g 9039	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
9	7, 8	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
10		ensym 8977	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵))
11		endom 8953	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ ({1o} × 𝐵) → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵))
13		xp01disjl 8459	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅
14		undom 9033	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
15	13, 14	mpan2 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ ({1o} × 𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
16	6, 12, 15	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
17		df-dju 9861	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
18	16, 17	breqtrrdi 5152	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110   × cxp 5639  Oncon0 6335  1_oc1o 8430   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919   ⊔ cdju 9858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-dju 9861

This theorem is referenced by:  djudoml  10145  unnum  10157  ficardun2  10162  pwsdompw  10163  unctb  10164  infunabs  10166  infdju  10167  infdif  10168  pr2dom  43523  tr3dom  43524