MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djucomen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djucomen 10218
Description: Commutative law for cardinal addition. Exercise 4.56(c) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 24-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djucomen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐵𝐴))

Proof of Theorem djucomen
StepHypRef Expression
1 1oex 8516 . . . 4 1o ∈ V
2 xpsnen2g 9105 . . . 4 ((1o ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
31, 2mpan 690 . . 3 (𝐴𝑉 → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4 0ex 5307 . . . 4 ∅ ∈ V
5 xpsnen2g 9105 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
64, 5mpan 690 . . 3 (𝐵𝑊 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7 ensym 9043 . . . 4 (({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
8 ensym 9043 . . . 4 (({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
9 incom 4209 . . . . . 6 (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐴))
10 xp01disjl 8530 . . . . . 6 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐴)) = ∅
119, 10eqtri 2765 . . . . 5 (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = ∅
12 djuenun 10211 . . . . 5 ((𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
1311, 12mp3an3 1452 . . . 4 ((𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
147, 8, 13syl2an 596 . . 3 ((({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
153, 6, 14syl2an 596 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
16 df-dju 9941 . . 3 (𝐵𝐴) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐴))
1716equncomi 4160 . 2 (𝐵𝐴) = (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵))
1815, 17breqtrrdi 5185 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143   × cxp 5683  1oc1o 8499  cen 8982  cdju 9938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dju 9941
This theorem is referenced by:  djudom2  10224  djulepw  10233  infdju  10247  alephadd  10617  gchdomtri  10669  pwxpndom  10706  gchpwdom  10710  gchhar  10719
  Copyright terms: Public domain W3C validator