Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djucomen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djucomen 9592
 Description: Commutative law for cardinal addition. Exercise 4.56(c) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 24-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djucomen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐵𝐴))

Proof of Theorem djucomen
StepHypRef Expression
1 1oex 8097 . . . 4 1o ∈ V
2 xpsnen2g 8597 . . . 4 ((1o ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
31, 2mpan 689 . . 3 (𝐴𝑉 → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4 0ex 5178 . . . 4 ∅ ∈ V
5 xpsnen2g 8597 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
64, 5mpan 689 . . 3 (𝐵𝑊 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7 ensym 8545 . . . 4 (({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
8 ensym 8545 . . . 4 (({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
9 incom 4131 . . . . . 6 (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐴))
10 xp01disjl 8108 . . . . . 6 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐴)) = ∅
119, 10eqtri 2824 . . . . 5 (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = ∅
12 djuenun 9585 . . . . 5 ((𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
1311, 12mp3an3 1447 . . . 4 ((𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
147, 8, 13syl2an 598 . . 3 ((({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
153, 6, 14syl2an 598 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
16 df-dju 9318 . . 3 (𝐵𝐴) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐴))
1716equncomi 4085 . 2 (𝐵𝐴) = (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵))
1815, 17breqtrrdi 5075 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐵𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883  ∅c0 4246  {csn 4528   class class class wbr 5033   × cxp 5521  1oc1o 8082   ≈ cen 8493   ⊔ cdju 9315 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dju 9318 This theorem is referenced by:  djudom2  9598  djulepw  9607  infdju  9623  alephadd  9992  gchdomtri  10044  pwxpndom  10081  gchpwdom  10085  gchhar  10094
 Copyright terms: Public domain W3C validator