MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djucomen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djucomen 10200
Description: Commutative law for cardinal addition. Exercise 4.56(c) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 24-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djucomen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐵𝐴))

Proof of Theorem djucomen
StepHypRef Expression
1 1oex 8496 . . . 4 1o ∈ V
2 xpsnen2g 9089 . . . 4 ((1o ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
31, 2mpan 689 . . 3 (𝐴𝑉 → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4 0ex 5307 . . . 4 ∅ ∈ V
5 xpsnen2g 9089 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
64, 5mpan 689 . . 3 (𝐵𝑊 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7 ensym 9023 . . . 4 (({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
8 ensym 9023 . . . 4 (({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
9 incom 4201 . . . . . 6 (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐴))
10 xp01disjl 8512 . . . . . 6 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐴)) = ∅
119, 10eqtri 2756 . . . . 5 (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = ∅
12 djuenun 10193 . . . . 5 ((𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
1311, 12mp3an3 1447 . . . 4 ((𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
147, 8, 13syl2an 595 . . 3 ((({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
153, 6, 14syl2an 595 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
16 df-dju 9924 . . 3 (𝐵𝐴) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐴))
1716equncomi 4154 . 2 (𝐵𝐴) = (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵))
1815, 17breqtrrdi 5190 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3471  cun 3945  cin 3946  c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5148   × cxp 5676  1oc1o 8479  cen 8960  cdju 9921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dju 9924
This theorem is referenced by:  djudom2  10206  djulepw  10215  infdju  10231  alephadd  10600  gchdomtri  10652  pwxpndom  10689  gchpwdom  10693  gchhar  10702
  Copyright terms: Public domain W3C validator