MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djucomen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djucomen 10121
Description: Commutative law for cardinal addition. Exercise 4.56(c) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 24-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djucomen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐵𝐴))

Proof of Theorem djucomen
StepHypRef Expression
1 1oex 8426 . . . 4 1o ∈ V
2 xpsnen2g 9015 . . . 4 ((1o ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
31, 2mpan 689 . . 3 (𝐴𝑉 → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4 0ex 5268 . . . 4 ∅ ∈ V
5 xpsnen2g 9015 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
64, 5mpan 689 . . 3 (𝐵𝑊 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7 ensym 8949 . . . 4 (({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
8 ensym 8949 . . . 4 (({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
9 incom 4165 . . . . . 6 (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐴))
10 xp01disjl 8442 . . . . . 6 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐴)) = ∅
119, 10eqtri 2761 . . . . 5 (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = ∅
12 djuenun 10114 . . . . 5 ((𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
1311, 12mp3an3 1451 . . . 4 ((𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
147, 8, 13syl2an 597 . . 3 ((({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
153, 6, 14syl2an 597 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
16 df-dju 9845 . . 3 (𝐵𝐴) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐴))
1716equncomi 4119 . 2 (𝐵𝐴) = (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵))
1815, 17breqtrrdi 5151 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  cun 3912  cin 3913  c0 4286  {csn 4590   class class class wbr 5109   × cxp 5635  1oc1o 8409  cen 8886  cdju 9842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dju 9845
This theorem is referenced by:  djudom2  10127  djulepw  10136  infdju  10152  alephadd  10521  gchdomtri  10573  pwxpndom  10610  gchpwdom  10614  gchhar  10623
  Copyright terms: Public domain W3C validator