Proof of Theorem djuen
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | 0ex 5306 | . . . . 5
⊢ ∅
∈ V | 
| 2 |  | relen 8991 | . . . . . 6
⊢ Rel
≈ | 
| 3 | 2 | brrelex1i 5740 | . . . . 5
⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V) | 
| 4 |  | xpsnen2g 9106 | . . . . 5
⊢ ((∅
∈ V ∧ 𝐴 ∈ V)
→ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) | 
| 5 | 1, 3, 4 | sylancr 587 | . . . 4
⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) | 
| 6 | 2 | brrelex2i 5741 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V) | 
| 7 |  | xpsnen2g 9106 | . . . . . . 7
⊢ ((∅
∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
→ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) | 
| 8 | 1, 6, 7 | sylancr 587 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) | 
| 9 | 8 | ensymd 9046 | . . . . 5
⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) | 
| 10 |  | entr 9047 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵)) | 
| 11 | 9, 10 | mpdan 687 | . . . 4
⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵)) | 
| 12 |  | entr 9047 | . . . 4
⊢
((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵)) → ({∅} ×
𝐴) ≈ ({∅}
× 𝐵)) | 
| 13 | 5, 11, 12 | syl2anc 584 | . . 3
⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵)) | 
| 14 |  | 1on 8519 | . . . . 5
⊢
1o ∈ On | 
| 15 | 2 | brrelex1i 5740 | . . . . 5
⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ∈ V) | 
| 16 |  | xpsnen2g 9106 | . . . . 5
⊢
((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ V) → ({1o} ×
𝐶) ≈ 𝐶) | 
| 17 | 14, 15, 16 | sylancr 587 | . . . 4
⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶) | 
| 18 | 2 | brrelex2i 5741 | . . . . . . 7
⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V) | 
| 19 |  | xpsnen2g 9106 | . . . . . . 7
⊢
((1o ∈ On ∧ 𝐷 ∈ V) → ({1o} ×
𝐷) ≈ 𝐷) | 
| 20 | 14, 18, 19 | sylancr 587 | . . . . . 6
⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷) | 
| 21 | 20 | ensymd 9046 | . . . . 5
⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷)) | 
| 22 |  | entr 9047 | . . . . 5
⊢ ((𝐶 ≈ 𝐷 ∧ 𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷)) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷)) | 
| 23 | 21, 22 | mpdan 687 | . . . 4
⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷)) | 
| 24 |  | entr 9047 | . . . 4
⊢
((({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷)) → ({1o}
× 𝐶) ≈
({1o} × 𝐷)) | 
| 25 | 17, 23, 24 | syl2anc 584 | . . 3
⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o}
× 𝐷)) | 
| 26 |  | xp01disjl 8531 | . . . 4
⊢
(({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅ | 
| 27 |  | xp01disjl 8531 | . . . 4
⊢
(({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅ | 
| 28 |  | unen 9087 | . . . 4
⊢
(((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} ×
𝐶) ≈ ({1o}
× 𝐷)) ∧
((({∅} × 𝐴)
∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅ ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} ×
𝐷)) = ∅)) →
(({∅} × 𝐴)
∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} ×
𝐷))) | 
| 29 | 26, 27, 28 | mpanr12 705 | . . 3
⊢
((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} ×
𝐶) ≈ ({1o}
× 𝐷)) →
(({∅} × 𝐴)
∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} ×
𝐷))) | 
| 30 | 13, 25, 29 | syl2an 596 | . 2
⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} ×
𝐶)) ≈ (({∅}
× 𝐵) ∪
({1o} × 𝐷))) | 
| 31 |  | df-dju 9942 | . 2
⊢ (𝐴 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) | 
| 32 |  | df-dju 9942 | . 2
⊢ (𝐵 ⊔ 𝐷) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)) | 
| 33 | 30, 31, 32 | 3brtr4g 5176 | 1
⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷)) |