Theorem djuen 10255

Description: Disjoint unions of equinumerous sets are equinumerous. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Proof of Theorem djuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5260	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		relen 8986	. . . . . 6 ⊢ Rel ≈
3	2	brrelex1i 5707	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
4		xpsnen2g 9097	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
5	1, 3, 4	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2	brrelex2i 5708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		xpsnen2g 9097	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
8	1, 6, 7	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
9	8	ensymd 9040	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
10		entr 9041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
11	9, 10	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
12		entr 9041	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵)) → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
13	5, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
14		1on 8497	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
15	2	brrelex1i 5707	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
16		xpsnen2g 9097	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ V) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
17	14, 15, 16	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
18	2	brrelex2i 5708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
19		xpsnen2g 9097	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐷 ∈ V) → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
20	14, 18, 19	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
21	20	ensymd 9040	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷))
22		entr 9041	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐷 ∧ 𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷)) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
23	21, 22	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
24		entr 9041	. . . 4 ⊢ ((({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷)) → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
25	17, 23, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
26		xp01disjl 8508	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
27		xp01disjl 8508	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅
28		unen 9081	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅ ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
29	26, 27, 28	mpanr12 718	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
30	13, 25, 29	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
31		df-dju 9989	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
32		df-dju 9989	. 2 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐷) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷))
33	30, 31, 32	3brtr4g 5138	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  ∅c0 4277  {csn 4584   class class class wbr 5102   × cxp 5649  Oncon0 6365  1_oc1o 8477   ≈ cen 8978   ⊔ cdju 9986

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dju 9989

This theorem is used by:  djuenun  10256  cardadju  10280  nnadju  10283  ficardadju  10285  pwsdompw  10288  ackbij1lem5  10308  ackbij1lem9  10312  gchhar  10771