Theorem djuen 10086

Description: Disjoint unions of equinumerous sets are equinumerous. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Proof of Theorem djuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5243	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		relen 8892	. . . . . 6 ⊢ Rel ≈
3	2	brrelex1i 5681	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
4		xpsnen2g 9002	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
5	1, 3, 4	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2	brrelex2i 5682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		xpsnen2g 9002	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
8	1, 6, 7	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
9	8	ensymd 8946	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
10		entr 8947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
11	9, 10	mpdan 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
12		entr 8947	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵)) → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
13	5, 11, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
14		1on 8411	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
15	2	brrelex1i 5681	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
16		xpsnen2g 9002	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ V) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
17	14, 15, 16	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
18	2	brrelex2i 5682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
19		xpsnen2g 9002	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐷 ∈ V) → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
20	14, 18, 19	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
21	20	ensymd 8946	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷))
22		entr 8947	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐷 ∧ 𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷)) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
23	21, 22	mpdan 688	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
24		entr 8947	. . . 4 ⊢ ((({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷)) → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
25	17, 23, 24	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
26		xp01disjl 8421	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
27		xp01disjl 8421	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅
28		unen 8986	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅ ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
29	26, 27, 28	mpanr12 706	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
30	13, 25, 29	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
31		df-dju 9819	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
32		df-dju 9819	. 2 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐷) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷))
33	30, 31, 32	3brtr4g 5120	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086   × cxp 5623  Oncon0 6318  1_oc1o 8392   ≈ cen 8884   ⊔ cdju 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dju 9819

This theorem is referenced by:  djuenun  10087  cardadju  10111  nnadju  10114  ficardadju  10116  pwsdompw  10119  ackbij1lem5  10139  ackbij1lem9  10143  gchhar  10596