MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djuen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djuen 10064
Description: Disjoint unions of equinumerous sets are equinumerous. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djuen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem djuen
StepHypRef Expression
1 0ex 5263 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 relen 8847 . . . . . 6 Rel ≈
32brrelex1i 5687 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
4 xpsnen2g 8968 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
51, 3, 4sylancr 588 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
62brrelex2i 5688 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
7 xpsnen2g 8968 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
81, 6, 7sylancr 588 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
98ensymd 8904 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
10 entr 8905 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
119, 10mpdan 686 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
12 entr 8905 . . . 4 ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵)) → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
135, 11, 12syl2anc 585 . . 3 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
14 1on 8417 . . . . 5 1o ∈ On
152brrelex1i 5687 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
16 xpsnen2g 8968 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ V) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
1714, 15, 16sylancr 588 . . . 4 (𝐶𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
182brrelex2i 5688 . . . . . . 7 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
19 xpsnen2g 8968 . . . . . . 7 ((1o ∈ On ∧ 𝐷 ∈ V) → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
2014, 18, 19sylancr 588 . . . . . 6 (𝐶𝐷 → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
2120ensymd 8904 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷))
22 entr 8905 . . . . 5 ((𝐶𝐷𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷)) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
2321, 22mpdan 686 . . . 4 (𝐶𝐷𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
24 entr 8905 . . . 4 ((({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷)) → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
2517, 23, 24syl2anc 585 . . 3 (𝐶𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
26 xp01disjl 8431 . . . 4 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
27 xp01disjl 8431 . . . 4 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅
28 unen 8949 . . . 4 (((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅ ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
2926, 27, 28mpanr12 704 . . 3 ((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
3013, 25, 29syl2an 597 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
31 df-dju 9796 . 2 (𝐴𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
32 df-dju 9796 . 2 (𝐵𝐷) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷))
3330, 31, 323brtr4g 5138 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  cun 3907  cin 3908  c0 4281  {csn 4585   class class class wbr 5104   × cxp 5630  Oncon0 6316  1oc1o 8398  cen 8839  cdju 9793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6319  df-on 6320  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-1o 8405  df-er 8607  df-en 8843  df-dju 9796
This theorem is referenced by:  djuenun  10065  cardadju  10089  nnadju  10092  ficardadju  10094  pwsdompw  10099  ackbij1lem5  10119  ackbij1lem9  10123  gchhar  10574
  Copyright terms: Public domain W3C validator