MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djuen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djuen 10239
Description: Disjoint unions of equinumerous sets are equinumerous. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djuen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem djuen
StepHypRef Expression
1 0ex 5325 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 relen 9008 . . . . . 6 Rel ≈
32brrelex1i 5756 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
4 xpsnen2g 9131 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
51, 3, 4sylancr 586 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
62brrelex2i 5757 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
7 xpsnen2g 9131 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
81, 6, 7sylancr 586 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
98ensymd 9065 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
10 entr 9066 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
119, 10mpdan 686 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
12 entr 9066 . . . 4 ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵)) → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
135, 11, 12syl2anc 583 . . 3 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
14 1on 8534 . . . . 5 1o ∈ On
152brrelex1i 5756 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
16 xpsnen2g 9131 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ V) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
1714, 15, 16sylancr 586 . . . 4 (𝐶𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
182brrelex2i 5757 . . . . . . 7 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
19 xpsnen2g 9131 . . . . . . 7 ((1o ∈ On ∧ 𝐷 ∈ V) → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
2014, 18, 19sylancr 586 . . . . . 6 (𝐶𝐷 → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
2120ensymd 9065 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷))
22 entr 9066 . . . . 5 ((𝐶𝐷𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷)) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
2321, 22mpdan 686 . . . 4 (𝐶𝐷𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
24 entr 9066 . . . 4 ((({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷)) → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
2517, 23, 24syl2anc 583 . . 3 (𝐶𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
26 xp01disjl 8548 . . . 4 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
27 xp01disjl 8548 . . . 4 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅
28 unen 9112 . . . 4 (((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅ ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
2926, 27, 28mpanr12 704 . . 3 ((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
3013, 25, 29syl2an 595 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
31 df-dju 9970 . 2 (𝐴𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
32 df-dju 9970 . 2 (𝐵𝐷) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷))
3330, 31, 323brtr4g 5200 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  Vcvv 3488  cun 3974  cin 3975  c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166   × cxp 5698  Oncon0 6395  1oc1o 8515  cen 9000  cdju 9967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dju 9970
This theorem is referenced by:  djuenun  10240  cardadju  10264  nnadju  10267  ficardadju  10269  pwsdompw  10272  ackbij1lem5  10292  ackbij1lem9  10296  gchhar  10748
  Copyright terms: Public domain W3C validator