Theorem djuen 9856

Description: Disjoint unions of equinumerous sets are equinumerous. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Proof of Theorem djuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5226	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		relen 8696	. . . . . 6 ⊢ Rel ≈
3	2	brrelex1i 5634	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
4		xpsnen2g 8805	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
5	1, 3, 4	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2	brrelex2i 5635	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		xpsnen2g 8805	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
8	1, 6, 7	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
9	8	ensymd 8746	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
10		entr 8747	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
11	9, 10	mpdan 683	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
12		entr 8747	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵)) → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
13	5, 11, 12	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
14		1on 8274	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
15	2	brrelex1i 5634	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
16		xpsnen2g 8805	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ V) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
17	14, 15, 16	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
18	2	brrelex2i 5635	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
19		xpsnen2g 8805	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐷 ∈ V) → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
20	14, 18, 19	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
21	20	ensymd 8746	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷))
22		entr 8747	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐷 ∧ 𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷)) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
23	21, 22	mpdan 683	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
24		entr 8747	. . . 4 ⊢ ((({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷)) → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
25	17, 23, 24	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
26		xp01disjl 8288	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
27		xp01disjl 8288	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅
28		unen 8790	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅ ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
29	26, 27, 28	mpanr12 701	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
30	13, 25, 29	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
31		df-dju 9590	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
32		df-dju 9590	. 2 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐷) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷))
33	30, 31, 32	3brtr4g 5104	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070   × cxp 5578  Oncon0 6251  1_oc1o 8260   ≈ cen 8688   ⊔ cdju 9587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dju 9590

This theorem is referenced by:  djuenun  9857  cardadju  9881  nnadju  9884  ficardadju  9886  pwsdompw  9891  ackbij1lem5  9911  ackbij1lem9  9915  gchhar  10366