Theorem djuen 10083

Description: Disjoint unions of equinumerous sets are equinumerous. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Proof of Theorem djuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5229	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		relen 8888	. . . . . 6 ⊢ Rel ≈
3	2	brrelex1i 5674	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
4		xpsnen2g 8998	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
5	1, 3, 4	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2	brrelex2i 5675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		xpsnen2g 8998	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
8	1, 6, 7	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
9	8	ensymd 8942	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
10		entr 8943	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
11	9, 10	mpdan 693	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
12		entr 8943	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵)) → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
13	5, 11, 12	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
14		1on 8407	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
15	2	brrelex1i 5674	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
16		xpsnen2g 8998	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ V) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
17	14, 15, 16	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
18	2	brrelex2i 5675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
19		xpsnen2g 8998	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐷 ∈ V) → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
20	14, 18, 19	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
21	20	ensymd 8942	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷))
22		entr 8943	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐷 ∧ 𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷)) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
23	21, 22	mpdan 693	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
24		entr 8943	. . . 4 ⊢ ((({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷)) → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
25	17, 23, 24	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
26		xp01disjl 8417	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
27		xp01disjl 8417	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅
28		unen 8982	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅ ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
29	26, 27, 28	mpanr12 711	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
30	13, 25, 29	syl2an 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
31		df-dju 9816	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
32		df-dju 9816	. 2 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐷) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷))
33	30, 31, 32	3brtr4g 5106	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4261  {csn 4555   class class class wbr 5072   × cxp 5616  Oncon0 6310  1_oc1o 8388   ≈ cen 8880   ⊔ cdju 9813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dju 9816

This theorem is referenced by:  djuenun  10084  cardadju  10108  nnadju  10111  ficardadju  10113  pwsdompw  10116  ackbij1lem5  10136  ackbij1lem9  10140  gchhar  10593