Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djuen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djuen 9629
 Description: Disjoint unions of equinumerous sets are equinumerous. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djuen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem djuen
StepHypRef Expression
1 0ex 5177 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 relen 8532 . . . . . 6 Rel ≈
32brrelex1i 5577 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
4 xpsnen2g 8631 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
51, 3, 4sylancr 590 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
62brrelex2i 5578 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
7 xpsnen2g 8631 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
81, 6, 7sylancr 590 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
98ensymd 8578 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
10 entr 8579 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
119, 10mpdan 686 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
12 entr 8579 . . . 4 ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵)) → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
135, 11, 12syl2anc 587 . . 3 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
14 1on 8119 . . . . 5 1o ∈ On
152brrelex1i 5577 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
16 xpsnen2g 8631 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ V) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
1714, 15, 16sylancr 590 . . . 4 (𝐶𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
182brrelex2i 5578 . . . . . . 7 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
19 xpsnen2g 8631 . . . . . . 7 ((1o ∈ On ∧ 𝐷 ∈ V) → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
2014, 18, 19sylancr 590 . . . . . 6 (𝐶𝐷 → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
2120ensymd 8578 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷))
22 entr 8579 . . . . 5 ((𝐶𝐷𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷)) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
2321, 22mpdan 686 . . . 4 (𝐶𝐷𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
24 entr 8579 . . . 4 ((({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷)) → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
2517, 23, 24syl2anc 587 . . 3 (𝐶𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
26 xp01disjl 8131 . . . 4 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
27 xp01disjl 8131 . . . 4 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅
28 unen 8616 . . . 4 (((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅ ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
2926, 27, 28mpanr12 704 . . 3 ((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
3013, 25, 29syl2an 598 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
31 df-dju 9363 . 2 (𝐴𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
32 df-dju 9363 . 2 (𝐵𝐷) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷))
3330, 31, 323brtr4g 5066 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∪ cun 3856   ∩ cin 3857  ∅c0 4225  {csn 4522   class class class wbr 5032   × cxp 5522  Oncon0 6169  1oc1o 8105   ≈ cen 8524   ⊔ cdju 9360 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dju 9363 This theorem is referenced by:  djuenun  9630  cardadju  9654  nnadju  9657  ficardadju  9659  pwsdompw  9664  ackbij1lem5  9684  ackbij1lem9  9688  gchhar  10139
 Copyright terms: Public domain W3C validator