Theorem djuen 10169

Description: Disjoint unions of equinumerous sets are equinumerous. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Proof of Theorem djuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5272	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		relen 8954	. . . . . 6 ⊢ Rel ≈
3	2	brrelex1i 5719	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
4		xpsnen2g 9065	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
5	1, 3, 4	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2	brrelex2i 5720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		xpsnen2g 9065	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
8	1, 6, 7	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
9	8	ensymd 9008	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
10		entr 9009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
11	9, 10	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
12		entr 9009	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵)) → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
13	5, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
14		1on 8472	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
15	2	brrelex1i 5719	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
16		xpsnen2g 9065	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ V) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
17	14, 15, 16	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
18	2	brrelex2i 5720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
19		xpsnen2g 9065	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐷 ∈ V) → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
20	14, 18, 19	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
21	20	ensymd 9008	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷))
22		entr 9009	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐷 ∧ 𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷)) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
23	21, 22	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
24		entr 9009	. . . 4 ⊢ ((({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷)) → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
25	17, 23, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
26		xp01disjl 8483	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
27		xp01disjl 8483	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅
28		unen 9049	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅ ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
29	26, 27, 28	mpanr12 718	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
30	13, 25, 29	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
31		df-dju 9903	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
32		df-dju 9903	. 2 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐷) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷))
33	30, 31, 32	3brtr4g 5147	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111   × cxp 5661  Oncon0 6364  1_oc1o 8452   ≈ cen 8946   ⊔ cdju 9900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dju 9903

This theorem is used by:  djuenun  10170  cardadju  10194  nnadju  10197  ficardadju  10199  pwsdompw  10202  ackbij1lem5  10222  ackbij1lem9  10226  gchhar  10681