MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djuen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djuen 10211
Description: Disjoint unions of equinumerous sets are equinumerous. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djuen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem djuen
StepHypRef Expression
1 0ex 5306 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 relen 8991 . . . . . 6 Rel ≈
32brrelex1i 5740 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
4 xpsnen2g 9106 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
51, 3, 4sylancr 587 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
62brrelex2i 5741 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
7 xpsnen2g 9106 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
81, 6, 7sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
98ensymd 9046 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
10 entr 9047 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
119, 10mpdan 687 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵))
12 entr 9047 . . . 4 ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ ({∅} × 𝐵)) → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
135, 11, 12syl2anc 584 . . 3 (𝐴𝐵 → ({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵))
14 1on 8519 . . . . 5 1o ∈ On
152brrelex1i 5740 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
16 xpsnen2g 9106 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ V) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
1714, 15, 16sylancr 587 . . . 4 (𝐶𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
182brrelex2i 5741 . . . . . . 7 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
19 xpsnen2g 9106 . . . . . . 7 ((1o ∈ On ∧ 𝐷 ∈ V) → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
2014, 18, 19sylancr 587 . . . . . 6 (𝐶𝐷 → ({1o} × 𝐷) ≈ 𝐷)
2120ensymd 9046 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷))
22 entr 9047 . . . . 5 ((𝐶𝐷𝐷 ≈ ({1o} × 𝐷)) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
2321, 22mpdan 687 . . . 4 (𝐶𝐷𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷))
24 entr 9047 . . . 4 ((({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶𝐶 ≈ ({1o} × 𝐷)) → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
2517, 23, 24syl2anc 584 . . 3 (𝐶𝐷 → ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷))
26 xp01disjl 8531 . . . 4 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
27 xp01disjl 8531 . . . 4 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅
28 unen 9087 . . . 4 (((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅ ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐷)) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
2926, 27, 28mpanr12 705 . . 3 ((({∅} × 𝐴) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ ({1o} × 𝐷)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
3013, 25, 29syl2an 596 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶)) ≈ (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷)))
31 df-dju 9942 . 2 (𝐴𝐶) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐶))
32 df-dju 9942 . 2 (𝐵𝐷) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐷))
3330, 31, 323brtr4g 5176 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cun 3948  cin 3949  c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142   × cxp 5682  Oncon0 6383  1oc1o 8500  cen 8983  cdju 9939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dju 9942
This theorem is referenced by:  djuenun  10212  cardadju  10236  nnadju  10239  ficardadju  10241  pwsdompw  10244  ackbij1lem5  10264  ackbij1lem9  10268  gchhar  10720
  Copyright terms: Public domain W3C validator